專題09雙曲線方程及其簡單幾何性質突破(原卷版+解析)VIP

1/3專題09雙曲線方程及其簡單幾何性質突破題型一雙曲線的標準方程1．與雙曲線共焦點，且離心率為的橢圓的標準方程為A． B． C． D．2．與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點的雙曲線方程是A． B． C． D．3．雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，則雙曲線的標準方程為A． B．或 C．或 D．4．設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為．5．已知、為雙曲線的左，右焦點，點在的右支上，△為等腰三角形，且，則的離心率為A． B． C． D．6．已知拋物線，若雙曲線以拋物線焦點為右焦點，且一條漸近線方程是，則該雙曲線的標準方程為A． B． C． D．7．根據下列已知條件求曲線方程．（Ⅰ）求與雙曲線共漸近線且過，點的雙曲線方程；（Ⅱ）求與橢圓有相同離心率且經過點的橢圓方程．題型二雙曲線的性質8．我們把方程分別為：和的雙曲線稱為共軛雙曲線，則共軛雙曲線有相同A．離心率 B．漸近線 C．焦點 D．頂點9．對于雙曲線和，給出下列四個結論：（1）離心率相等；（2）漸近線相同；（3）沒有公共點；（4）焦距相等，其中正確的結論是A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）10．已知雙曲線的焦點為，，過左焦點交雙曲線左支于、兩點，若，則等于．11．已知，為雙曲線的左、右焦點，斜率為的直線過分別交雙曲線左、右支于、點，，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．12．直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為A．4 B．8 C． D．13．雙曲線的右焦點到直線的距離的最大值為A． B．2 C． D．314．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點、分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，則取得最小值為．15．已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上，，當的周長最小時，的面積為A． B．9 C． D．416．定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線．以下關于共軛雙曲線的結論正確的是A．與共軛的雙曲線是 B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同 C．互為共軛的雙曲線的離心率為，，則 D．互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上題型三軌跡問題17．平面內有兩個定點和，動點滿足條件，則動點的軌跡方程是A． B． C． D．18．若動點滿足，則點的軌跡方程為．19．已知動圓與圓外切，與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為．20．設是以，為焦點的雙曲線上的動點，則△的重心的軌跡方程是A． B． C． D．21．（1）已知雙曲線中心在原點，該雙曲線過點，且漸近線方程為，求該雙曲線的方程．（2）已知圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓圓心的軌跡方程．22．（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且經過點，的雙曲線的方程．（2）已知，，若的周長為10，求頂點的軌跡方程．23．雙曲線，、為其左右焦點，是以為圓心且過原點的圓．（1）求的軌跡方程；（2）動點在上運動，滿足，求的軌跡方程．題型四雙曲線的離心率24．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為A． B． C．2 D．325．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作漸近線的垂線，垂足為，為坐標原點，且，則雙曲線的離心率為A． B．3 C． D．26．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作以為圓心、為半徑的圓的切線切點為．延長交的左支于點，若為線段的中點，且，則的離心率為A． B． C． D．27．已知雙曲線與直線相交于，兩點，直線上存在一點滿足，坐標原點為，直線的斜率為2，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．328．雙曲線，的左、右焦點分別為，，是雙曲線上一點，軸，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．229．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作直線交雙曲線的右支于，兩點，其中點在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．430．已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線右支交于點，過作的角平分線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．31．、分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．2/17專題09雙曲線方程及其簡單幾何性質突破題型一雙曲線的標準方程1．與雙曲線共焦點，且離心率為的橢圓的標準方程為A． B． C． D．【解答】解：設橢圓的半焦距為．由橢圓與雙曲線有公共焦點，得橢圓的焦點坐標為，，，再由，可得，，則橢圓的標準方程為，故選：．2．與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點的雙曲線方程是A． B． C． D．【解答】解：由，得，，，得，即橢圓的半焦距為．設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，所求雙曲線的焦點在軸上，則，雙曲線方程化為：，設雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，則，，，解得：．所求雙曲線的方程為．故選：．3．雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，則雙曲線的標準方程為A． B．或 C．或 D．【解答】解：橢圓中，，焦距，雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，設雙曲線方程為，化為標準方程，得：，當時，，解得，雙曲線方程為；當時，，解得，雙曲線方程為．雙曲線方程為或．故選：．4．設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為．【解答】解：雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，設雙曲線的方程為，，把點代入，得：，解得，雙曲線的方程為：．故答案為：．5．已知、為雙曲線的左，右焦點，點在的右支上，△為等腰三角形，且，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：因為△為等腰三角形，且，所以，所以，過點作，垂足為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，所以，故選：．6．已知拋物線，若雙曲線以拋物線焦點為右焦點，且一條漸近線方程是，則該雙曲線的標準方程為A． B． C． D．【解答】解：拋物線的焦點為，因為雙曲線以拋物線焦點為右焦點，所以①，②，雙曲線的漸近線為，所以③，由①②③，解得，，所以雙曲線的方程為．故選：．7．根據下列已知條件求曲線方程．（Ⅰ）求與雙曲線共漸近線且過，點的雙曲線方程；（Ⅱ）求與橢圓有相同離心率且經過點的橢圓方程．【解答】解：（Ⅰ）設與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為：點，在雙曲線上，所求雙曲線方程為：，即．（Ⅱ）若焦點在軸上，設所求橢圓方程為，將點代入，得，故所求方程為．若焦點在軸上，設方程為代入點，得，．題型二雙曲線的性質8．我們把方程分別為：和的雙曲線稱為共軛雙曲線，則共軛雙曲線有相同A．離心率 B．漸近線 C．焦點 D．頂點【解答】解：共軛雙曲線和的，設，，可得它們的焦點為，，漸近線方程均為，離心率分別為和，它們的頂點分別為，，故選：．9．對于雙曲線和，給出下列四個結論：（1）離心率相等；（2）漸近線相同；（3）沒有公共點；（4）焦距相等，其中正確的結論是A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）【解答】解：由題意，雙曲線，，（1）離心率分別為，；（2）漸近線相同，為；（3）沒有公共點；（4）焦距相等，為10，故選：．10．已知雙曲線的焦點為，，過左焦點交雙曲線左支于、兩點，若，則等于．【解答】解：如圖，由雙曲線定義可得：，，，又已知，，得．故答案為：．11．已知，為雙曲線的左、右焦點，斜率為的直線過分別交雙曲線左、右支于、點，，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：設，由雙曲線定義得：，，所以，作，△中，，可得，△中，勾股定理得：①，△中，勾股定理得：，可得②，由①②可得，整理可得，即可得．所以漸近線的斜率為，故漸近線方程為．故選：．12．直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為A．4 B．8 C． D．【解答】解：根據題意，雙曲線的漸近線為，又直線是雙曲線的一條漸近線，所以，①因為雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，所以點到漸近線的距離為，所以，②由①②得，，所以雙曲線的虛軸長，故選：．13．雙曲線的右焦點到直線的距離的最大值為A． B．2 C． D．3【解答】解：雙曲線的右焦點為，直線過定點，所以雙曲線的右焦點到直線的距離的最大值為線段的長，即最大值為，故選：．14．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點、分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，則取得最小值為．【解答】解：依題意，，，不妨取其中一條漸近線為，由雙曲線的定義知，，，則，當、、三點共線時且垂直于漸近線時，取得最小值．此時，到漸近線的距離為，最小值為：．故答案為：．15．已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上，，當的周長最小時，的面積為A． B．9 C． D．4【解答】解：如圖，設的右焦點為，由題意可得，，因為，所以，．的周長為，即當，，三點共線時，的周長最小，此時直線的方程為，聯立方程組，解得或，即此時的縱坐標為，故的面積為．故選：．16．定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線．以下關于共軛雙曲線的結論正確的是A．與共軛的雙曲線是 B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同 C．互為共軛的雙曲線的離心率為，，則 D．互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上【解答】解：對：根據所給定義可得與共軛的雙曲線是，故錯誤；對：由雙曲線方程與，可得其漸近線方程均為，故錯誤；對：由雙曲線方程程與，可得，，則，即，因為，均大于1，所以，則，當且僅當時取“”，故正確；對的焦點坐標為，，的焦點坐標為，這四個焦點在以原點為圓心，以為半徑的圓上，故正確．故選：．題型三軌跡問題17．平面內有兩個定點和，動點滿足條件，則動點的軌跡方程是A． B． C． D．【解答】解：由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線右支，得，，，，故動點的軌跡方程是．故選：．18．若動點滿足，則點的軌跡方程為．【解答】解：設，由于動點的軌跡方程為，則，故點到定點與到定點的距離差為6，則動點的軌跡是以為焦距，以6為實軸長的雙曲線的右支，由于，，則，故的軌跡的標準方程為：．故答案為：．19．已知動圓與圓外切，與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為．【解答】解：由圓，可得圓心，半徑；由圓可得圓心，半徑．設動圓的半徑為，由題意可得，．．由雙曲線的定義可得：動圓的圓心在以定點，為焦點的雙曲線的右支上．，．．動圓圓心的軌跡方程為．故答案為．20．設是以，為焦點的雙曲線上的動點，則△的重心的軌跡方程是A． B． C． D．【解答】解：是△的重心，，設，，則，代入雙曲線方程可得：．故選：．21．（1）已知雙曲線中心在原點，該雙曲線過點，且漸近線方程為，求該雙曲線的方程．（2）已知圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓圓心的軌跡方程．【解答】解：（1）由雙曲線的漸近線方程為，可設雙曲線方程為，把點代入，可得，即．該雙曲線的方程為；（2）圓的圓心為，半徑為2；圓的圓心為，半徑為10．設動圓圓心為，半徑為，則，，于是，動圓圓心的軌跡是以，為焦點，長軸長為12的橢圓．，，．的軌跡方程為：．22．（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且經過點，的雙曲線的方程．（2）已知，，若的周長為10，求頂點的軌跡方程．【解答】解：（1）根據題意，要求雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則設要求雙曲線的方程為，又由要求雙曲線經過點，，則有，解可得，則要求雙曲線的方程為，（2）根據題意，已知，，若的周長為10，則，分析可得：頂點的軌跡為以、為焦點的橢圓，其中，，（排除長軸的端點）則，則頂點的軌跡方程為，．23．雙曲線，、為其左右焦點，是以為圓心且過原點的圓．（1）求的軌跡方程；（2）動點在上運動，滿足，求的軌跡方程．【解答】解：（1）由已知得，，故，所以、，因為是以為圓心且過原點的圓，故圓心為，半徑為4，所以的軌跡方程為；（2）設動點，，，則，，由，得，，，即，解得，因為點在上，所以，代入得，化簡得．題型四雙曲線的離心率24．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為A． B． C．2 D．3【解答】解：設雙曲線的一條漸近線方程為，點到漸近線的距離，，在中，運用余弦定理，可得，，，，．故選：．25．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作漸近線的垂線，垂足為，為坐標原點，且，則雙曲線的離心率為A． B．3 C． D．【解答】解：如圖，不妨取漸近線為，焦點到漸近線的距離為，則，，則．故選：．26．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作以為圓心、為半徑的圓的切線切點為．延長交的左支于點，若為線段的中點，且，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由題意，得，，，，所以，解得，故選：．27．已知雙曲線與直線相交于，兩點，直線上存在一點滿足，坐標原點為，直線的斜率為2，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．3【解答】解：設，，，，、在雙曲線上，①，②，①②得：，即，點，