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專(zhuān)題4.2平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例【八大題型】【浙教版】TOC\o"13"\h\u【題型1“#”字型】 1【題型2“X”字型】 2【題型3“A”字型】 4【題型4“8”字型】 5【題型5判斷比例式】 6【題型6平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例與三角形的中位線(xiàn)的綜合】 7【題型7多次利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例進(jìn)行計(jì)算】 8【題型8平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例中的常作輔助線(xiàn)】 9【知識(shí)點(diǎn)1平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理】?jī)蓷l直線(xiàn)被三條平行線(xiàn)所截,所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例,簡(jiǎn)稱(chēng)為平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理.如圖:如果,則,,.【小結(jié)】若將所截出的小線(xiàn)段位置靠上的(如AB)稱(chēng)為上,位置靠下的稱(chēng)為下,兩條線(xiàn)段合成的線(xiàn)段稱(chēng)為全,則可以形象的表示為,,.【題型1“#”字型】【例1】(2022?醴陵市模擬)如圖,直線(xiàn)l1∥l2∥l3,直線(xiàn)AC和DF被l1,l2,l3所截,如果AB=2,BC=3,EF=2,那么DE的長(zhǎng)是()A.2 B.43 C.1 D.【變式11】(2022?福建模擬)如圖,a∥b∥c,兩條直線(xiàn)與這三條平行線(xiàn)分別交于點(diǎn)A,B,C和D,E,F(xiàn).已知AB=3,BC=2,DE=6,則DF等于()A.4 B.9 C.10 D.15【變式12】(2022秋?清苑區(qū)期中)如圖,直線(xiàn)a∥b∥c,點(diǎn)A,B在直線(xiàn)a上,點(diǎn)C,D在直線(xiàn)c上,線(xiàn)段AC,BD分別交直線(xiàn)b于點(diǎn)E,F(xiàn),則下列線(xiàn)段的比與AEACA.CEAC B.BFBD C.BFFD 【變式13】(2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)如圖,直線(xiàn)l1、l2、l3分別交直線(xiàn)l4于點(diǎn)A、B、C,交直線(xiàn)l5于點(diǎn)D、E、F,且l1∥l2∥l3.已知DE:DF=3:8,AC=24(1)求BC的長(zhǎng);(2)當(dāng)AD=4,CF=20時(shí),求BE的長(zhǎng).【題型2“X”字型】【例2】(2022春?萊西市期末)如圖:AB∥CD∥EF,AD:DF=3:1,BE=12,那么CE的長(zhǎng)為()A.3 B.4 C.5 D.6【變式21】(2022?廣西模擬)如圖,AB∥CD∥EF,AF與BE相交于點(diǎn)G,且DG=2,DF=10,BCBE=3A.2 B.3 C.4 D.5【變式22】(2022秋?船山區(qū)校級(jí)期末)如圖:AB∥CD∥EF,AD:AF=3:5,BE=12,那么CE的長(zhǎng)為()A.2 B.4 C.245 D.【變式23】(2022秋?合肥校級(jí)期末)如圖,AB∥CD∥EF,BE與AF相交于點(diǎn)H,且AH=2HD=12DF,則A.1 B.34 C.23 D【知識(shí)點(diǎn)2平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論】平行于三角形一邊的直線(xiàn),截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)),所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.如圖:如果EF//BC,則,,.平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論的逆定理若或或,則有EF//BC.【注意】對(duì)于一般形式的平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的逆定理不成立,反例:任意四邊形中一對(duì)對(duì)邊的中點(diǎn)的連線(xiàn)與剩下兩條邊,這三條直線(xiàn)滿(mǎn)足分線(xiàn)段成比例,但是它們并不平行.【小結(jié)】推論也簡(jiǎn)稱(chēng)“A”和“8”,逆定理的證明可以通過(guò)同一法,做交AC于點(diǎn),再證明與F重合即可.【題型3“A”字型】【例3】(2022秋?零陵區(qū)期末)如圖,已知AD為△ABC的角平分線(xiàn),DE∥AB交AC于E,如果AEEC=35,那么A.3:5 B.5:3 C.8:5 D.3:8【變式31】(2022秋?越城區(qū)期末)如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E,若AE=4,EC=2,則ADABA.23 B.12 C.13 【變式32】(2022秋?新民市期末)如圖,點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上,若BC=23,則A.1 B.43 C.2 D.【變式33】(2022秋?覃塘區(qū)期末)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在線(xiàn)段AD上,且BD∥EF∥AC.若DE=5,DF=3,CE=AD,則EFBD的值為【題型4“8”字型】【例4】(2022?鏡湖區(qū)校級(jí)一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)F是AD上的點(diǎn),AF=2FD,直線(xiàn)BF交AC于點(diǎn)E,交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,則BEEGA.12 B.13 C.23 【變式41】(2022秋?金牛區(qū)期末)如圖,△ABC中,D、E分別為BA、CA延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn),DE∥BC,BD=3AD,若CE=6,則AC的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.4 D.5【變式42】(2022秋?南皮縣校級(jí)月考)如圖,AB.CD相交于點(diǎn)E,且AC∥EF∥DB,點(diǎn)C,F(xiàn),B在同一條直線(xiàn)上.已知AC=p,EF=r,DB=q.嘉嘉得出結(jié)論pq=rA.只有嘉嘉正確 B.只有淇淇正確 C.兩人均正確 D.兩人均不正確【變式43】(2022秋?宜興市校級(jí)月考)如圖,l1∥l2,AF:BF=2:5,BC:CD=4:1,則AE:EC的值為()A.5:2 B.1:4 C.2:1 D.3:2【題型5判斷比例式】【例5】(2022春?濰坊期末)如圖,AB∥CD∥EF,AF交BE于點(diǎn)G,若AC=CG,AG=FG,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.DGBG=12 B.CDEF=12【變式51】(2022春?東平縣期末)已知,在△ABC中,點(diǎn)D為AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,DH∥AC分別交AC、BC于點(diǎn)E、H,點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連接FD交AC于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.ADDB=AEDH B.CFDE=DHCG【變式52】(2022秋?青浦區(qū)期末)如圖,點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、BC上,下列條件中一定能判定DE∥AC的是()A.ADDB=BECE B.BDAD=BEEC【變式53】(2022?香坊區(qū)一模)如圖,AB∥CD∥EF,AF交BE于點(diǎn)G,若AC=CG,AG=FG,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.DGBG=12 B.DGBE=13【題型6平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例與三角形的中位線(xiàn)的綜合】【例6】(2022?沁陽(yáng)市模擬)如圖,BE是△ABC的中線(xiàn),點(diǎn)F在BE上,延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D,若BF=3EF,則BDDCA.43 B.32 C.65 【變式61】(2022春?任城區(qū)校級(jí)期末)如圖,AD是△ABC的中線(xiàn),E是AD上一點(diǎn),且AE:ED=1:2,BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于F,則AF:FC=.【變式62】(2009秋?北京校級(jí)期中)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),點(diǎn)P在AD上,過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC交AB于點(diǎn)M,作PN∥AB交AC于點(diǎn)N.(1)若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),且AP:PD=2:1,求AM:AB的值;(2)若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),試證明AMAB(3)若點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn),試證明AMAB【變式63】(2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中)如圖,在△ABC中,AD是BC上的中線(xiàn),點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,設(shè)AEEC=m,EFFB=n,則A.12 B.23 C.56 【題型7多次利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例進(jìn)行計(jì)算】【例7】(2022?寧陽(yáng)縣一模)如圖,在△ABC中,D在AC邊上,AD:DC=1:2,O是BD的中點(diǎn),連接AO并延長(zhǎng)交BC于E,若BE=1,則EC=()A.32 B.2 C.3 D.【變式71】(2022秋?虹口區(qū)期末)在△ABC中,點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上,聯(lián)結(jié)DE、DF,如果DE∥AC,DF∥AB,AE:EB=3:2,那么AF:FC的值是()A.32 B.23 C.25 【變式72】(2022秋?亳州期末)如圖,AD∥EF∥BC,點(diǎn)G是EF的中點(diǎn),EFBC=35,若EF=A.6 B.132 C.7 D.【變式73】(2022?邢臺(tái)模擬)在△ABC中,E、F是BC邊上的三等分點(diǎn),BM是AC邊上的中線(xiàn),AE、AF分BM為三段的長(zhǎng)分別是x、y、z,若這三段有x>y>z,則x:y:z等于()A.3:2:1 B.4:2:1 C.5:2:1 D.5:3:2【題型8平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例中的常作輔助線(xiàn)】【例8】(2022?襄陽(yáng))如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),△ABC的角平分線(xiàn)AE交BD于點(diǎn)F,若BF:FD=3:1,AB+BE=33,則△ABC的周長(zhǎng)為.【變式81】(2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬)如圖,已知點(diǎn)F在AB上,且AF:BF=1:2,點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),BC:CD=2:1,連接FD與AC交于點(diǎn)M,則FN:ND
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