專題4.2平行線分線段成比例（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題4.2平行線分線段成比例【八大題型】【浙教版】TOC\o"13"\h\u【題型1“#”字型】 1【題型2“X”字型】 2【題型3“A”字型】 4【題型4“8”字型】 5【題型5判斷比例式】 6【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 7【題型7多次利用平行線分線段成比例進(jìn)行計(jì)算】 8【題型8平行線分線段成比例中的常作輔助線】 9【知識(shí)點(diǎn)1平行線分線段成比例定理】?jī)蓷l直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，簡(jiǎn)稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．【題型1“#”字型】【例1】（2022?醴陵市模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的長(zhǎng)是（）A．2 B．43 C．1 D．【變式11】（2022?福建模擬）如圖，a∥b∥c，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，則DF等于（）A．4 B．9 C．10 D．15【變式12】（2022秋?清苑區(qū)期中）如圖，直線a∥b∥c，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列線段的比與AEACA．CEAC B．BFBD C．BFFD 【變式13】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24（1）求BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)AD＝4，CF＝20時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【題型2“X”字型】【例2】（2022春?萊西市期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式21】（2022?廣西模擬）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且DG＝2，DF＝10，BCBE=3A．2 B．3 C．4 D．5【變式22】（2022秋?船山區(qū)校級(jí)期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．245 D．【變式23】（2022秋?合肥校級(jí)期末）如圖，AB∥CD∥EF，BE與AF相交于點(diǎn)H，且AH＝2HD=12DF，則A．1 B．34 C．23 D【知識(shí)點(diǎn)2平行線分線段成比例定理的推論】平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．平行線分線段成比例定理的推論的逆定理若或或，則有EF//BC．【注意】對(duì)于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對(duì)對(duì)邊的中點(diǎn)的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．【小結(jié)】推論也簡(jiǎn)稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過(guò)同一法，做交AC于點(diǎn)，再證明與F重合即可．【題型3“A”字型】【例3】（2022秋?零陵區(qū)期末）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于E，如果AEEC=35，那么A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8【變式31】（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，若AE＝4，EC＝2，則ADABA．23 B．12 C．13 【變式32】（2022秋?新民市期末）如圖，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若BC=23，則A．1 B．43 C．2 D．【變式33】（2022秋?覃塘區(qū)期末）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，則EFBD的值為【題型4“8”字型】【例4】（2022?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，AF＝2FD，直線BF交AC于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BEEGA．12 B．13 C．23 【變式41】（2022秋?金牛區(qū)期末）如圖，△ABC中，D、E分別為BA、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式42】（2022秋?南皮縣校級(jí)月考）如圖，AB．CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出結(jié)論pq=rA．只有嘉嘉正確 B．只有淇淇正確 C．兩人均正確 D．兩人均不正確【變式43】（2022秋?宜興市校級(jí)月考）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【題型5判斷比例式】【例5】（2022春?濰坊期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點(diǎn)G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．DGBG=12 B．CDEF=12【變式51】（2022春?東平縣期末）已知，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點(diǎn)E、H，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FD交AC于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=DHCG【變式52】（2022秋?青浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定DE∥AC的是（）A．ADDB=BECE B．BDAD=BEEC【變式53】（2022?香坊區(qū)一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點(diǎn)G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．DGBG=12 B．DGBE=13【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】【例6】（2022?沁陽(yáng)市模擬）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D，若BF＝3EF，則BDDCA．43 B．32 C．65 【變式61】（2022春?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，且AE：ED＝1：2，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，則AF：FC＝．【變式62】（2009秋?北京校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC交AB于點(diǎn)M，作PN∥AB交AC于點(diǎn)N．（1）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；（2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，試證明AMAB（3）若點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，試證明AMAB【變式63】（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC上的中線，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，設(shè)AEEC=m，EFFB=n，則A．12 B．23 C．56 【題型7多次利用平行線分線段成比例進(jìn)行計(jì)算】【例7】（2022?寧陽(yáng)縣一模）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，若BE＝1，則EC＝（）A．32 B．2 C．3 D．【變式71】（2022秋?虹口區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（）A．32 B．23 C．25 【變式72】（2022秋?亳州期末）如圖，AD∥EF∥BC，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，EFBC=35，若EF＝A．6 B．132 C．7 D．【變式73】（2022?邢臺(tái)模擬）在△ABC中，E、F是BC邊上的三等分點(diǎn)，BM是AC邊上的中線，AE、AF分BM為三段的長(zhǎng)分別是x、y、z，若這三段有x＞y＞z，則x：y：z等于（）A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2【題型8平行線分線段成比例中的常作輔助線】【例8】（2022?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，則△ABC的周長(zhǎng)為．【變式81】（2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知點(diǎn)F在AB上，且AF：BF＝1：2，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC：CD＝2：1，連接FD與AC交于點(diǎn)M，則FN：ND