第14章《整式的乘法與因式分解》（原卷版）

20222023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練第14章《整式的乘法與因式分解》知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)點(diǎn)01：冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方：(為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方：(為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0,為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.細(xì)節(jié)剖析:公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式，還可以表示多項(xiàng)式；靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.知識(shí)點(diǎn)02：整式的乘法和除法1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即(都是單項(xiàng)式).3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.細(xì)節(jié)剖析:運(yùn)算時(shí)，要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)前面的“＋”“－”號(hào)是性質(zhì)符號(hào)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式各項(xiàng)的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫成省略加號(hào)的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，能得出一個(gè)應(yīng)用比較廣泛的公式：.4.單項(xiàng)式相除把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.5.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即：知識(shí)點(diǎn)03：乘法公式1.平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 細(xì)節(jié)剖析:在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.細(xì)節(jié)剖析:公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.知識(shí)點(diǎn)04：因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項(xiàng)法等.細(xì)節(jié)剖析:落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)完全或十字；四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式1．（2022秋?福州月考）若計(jì)算（3x2+2ax+1）?（﹣3x）﹣4x2的結(jié)果中不含有x2項(xiàng)，則a的值為（）A．2 B．0 C．﹣ D．﹣2．（2022秋?商水縣月考）數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，李剛拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫（）A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy23．（2021秋?沐川縣期末）已知A是多項(xiàng)式，若A×2xy＝x2y2﹣2x2y﹣3xy2，則A＝．4．（2019秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記本復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你認(rèn)為□處應(yīng)填寫．5．（2021秋?廉江市期末）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過(guò)程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多項(xiàng)式；（2）若x＝，y＝，求所捂多項(xiàng)式的值．考點(diǎn)02：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式6．（2022秋?鐵西區(qū)校級(jí)月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，則（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣17．（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）已知（x2+ax）（x2﹣2x+b）的乘積中不含x3和x2項(xiàng)，那么b﹣a＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．48．（2022春?溫州期中）用如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片若干張，拼成一個(gè)長(zhǎng)為3a+2b，寬為a+b的長(zhǎng)方形，需要B類卡片（）張．A．3 B．4 C．5 D．69．（2022春?通川區(qū)期末）已知（x﹣m）（x2﹣2x+n）?展開后得到多項(xiàng)式為x3﹣（m+2）x2+x+5?，則n2+4m2?的值為．10．（2022春?和平區(qū)校級(jí)月考）已知4x＝10，25y＝10，則（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值為．11．（2022春?雅安期末）已知x≠1．觀察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝；（2）應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝．（3）判斷2100+299+298+…+22+2+1的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說(shuō)明你的理由．12．（2022春?全椒縣期末）數(shù)學(xué)課上，老師用圖1中的一張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片A，1張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片B和2張寬與長(zhǎng)分別為a與b的長(zhǎng)方形紙片C，拼成了如圖2所示的大正方形，觀察圖形并解答下列問(wèn)題：（1）由圖1和圖2可以得到的等式為（用含a，b的等式表示）；（2）莉莉想用這三種紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）的大長(zhǎng)方形，求需A，B，C三種紙片各多少?gòu)?；?）如圖3，S1，S2分別表示邊長(zhǎng)為p，q的正方形的面積，且A，B，C三點(diǎn)在一條直線上，S1+S2＝20，p+q＝6．求圖中陰影部分的面積．考點(diǎn)03：同底數(shù)冪的除法13．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）下列運(yùn)算正確的是（）A．（x3）2＝x5 B．3x2+2x2＝5x4 C．x8÷x2＝x6 D．（2xy）2＝2x2y214．（2022秋?蘭考縣月考）下列運(yùn)算不正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．a(chǎn)5÷a＝a4 C．a(chǎn)4﹣2a4＝﹣a4 D．（﹣a2）3＝﹣a515．（2021秋?淮陽(yáng)區(qū)期末）已知25a?52b＝5b，4b÷4a＝4，則代數(shù)式a2+b2值是．16．（2022春?東臺(tái)市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，則2a÷4b×的值是．17．（2021春?畢節(jié)市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．18．（2021春?海州區(qū)校級(jí)期中）嘗試解決下列有關(guān)冪的問(wèn)題：（1）若9×27x＝317，求x的值；（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，請(qǐng)比較x與y的大小．考點(diǎn)04：完全平方公式19．（2022春?北碚區(qū)校級(jí)期中）設(shè)a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，則c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．2020．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，則A、B的大小關(guān)系為（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B21．（2022春?漢壽縣期末）若x+y＝3，xy＝﹣5，則（x﹣y）2＝．22．（2022春?萊西市期中）小淇將（2018x+2019）2展開后得到a1x2+b1x+c1；小堯?qū)ⅲ?019x﹣2018）2展開后得到a2x2+b2x+c2，若兩人計(jì)算過(guò)程無(wú)誤，則c1﹣c2的值為．23．（2022春?招遠(yuǎn)市期末）利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以導(dǎo)出下面這個(gè)形式優(yōu)美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，該等式從左到右的變形，不僅保持了結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧、簡(jiǎn)潔美．（1）請(qǐng)你檢驗(yàn)這個(gè)等式的正確性；（2）若a＝2020，b＝2021，c＝2022，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值嗎？考點(diǎn)05：完全平方公式的幾何背景24．（2022春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，其中AI＝5，JC＝3，兩個(gè)陰影部分都是正方形且面積和為60，則重疊部分FJDI的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．3125．（2022春?錢塘區(qū)期末）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中放置兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a，b（a＜6，b＜6）的長(zhǎng)方形，若長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16，面積為15.75，則圖中陰影部分面積S1+S2+S3＝．26．（2022春?皇姑區(qū)校級(jí)期中）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于；（2）觀察圖2寫出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，則：①（m+n）2的值為；②m2+n2的值為；③m4+n4的值為．考點(diǎn)06：平方差公式27．（2022春?新城區(qū)校級(jí)期中）下列等式成立的是（）A．（﹣x﹣1）（﹣x﹣1）＝x2﹣2x+1 B．（﹣x+1）（﹣x+1）＝﹣x2﹣2x+1 C．（1+x）（﹣x+1）＝1﹣x2 D．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝﹣x2﹣128．（2021秋?望城區(qū)期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么這個(gè)正整數(shù)就稱為“智慧數(shù)”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一個(gè)智慧數(shù)，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一個(gè)智慧數(shù)，則下列各數(shù)不是智慧數(shù)的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．202429．（2022春?鐵嶺期中）若a2﹣b2＝﹣72，a﹣b＝12，則a+b的值為．30．（2021秋?如皋市期中）小麗在計(jì)算3×（4+1）×（42+1）時(shí)，把3寫成（4﹣1）后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．用類似方法計(jì)算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．31．（2022春?蓮池區(qū)期末）閱讀理解：我們知道，（a+b）2＝a2+2ab+b2，①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，②①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．所以．利用上面乘法公式的變形有時(shí)能簡(jiǎn)化計(jì)算，例如：．發(fā)現(xiàn)運(yùn)用：根據(jù)閱讀解答問(wèn)題（1）利用上面乘法公式的變形填空：101×99＝（）2﹣（）2．（2）利用上面乘法公式的變形計(jì)算：9.2×10.8．（3）根據(jù)平方差公式可得：（m+2）（m﹣2）＝m2﹣22，請(qǐng)利用上面乘法公式的變形驗(yàn)證此等式成立．考點(diǎn)07：平方差公式的幾何背景32．（2021秋?臺(tái)江區(qū)期中）能夠用如圖中已有圖形的面積說(shuō)明的等式是（）A．a(chǎn)（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2）2＝a2+4a+433．（2020秋?叢臺(tái)區(qū)期末）如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是．34．（2019秋?奈曼旗期末）如圖1，將邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），將剩下的陰影部分沿圖中的虛線剪開，拼接后得到圖2，這種變化可以用含字母a，b的等式表示為．35．（2022春?濰坊期末）如圖1，將邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后將剩余部分拼成圖2所示長(zhǎng)方形．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b）（2）應(yīng)用你從（1）中選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．考點(diǎn)08：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用36．（2021春?灤州市期末）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2y﹣y3＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）37．（2012春?揭西縣校級(jí)期中）下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)38．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）把a(bǔ)b3﹣9ab分解因式的結(jié)果是．39．（2022?本溪模擬）把多項(xiàng)式ax2﹣4ay2分解因式的結(jié)果是．40．（2022春?江干區(qū)校級(jí)期中）（1）解方程組：．（2）因式分解①a2﹣6ab+9b2．②a2b﹣16b．考點(diǎn)09：因式分解十字相乘法等41．（2022春?高新區(qū)校級(jí)期末）若多項(xiàng)式2x2+ax﹣6能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣542．（2019秋?天心區(qū)校級(jí)月考）把多項(xiàng)式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正確的結(jié)果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2） C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）43．（2022春?酒泉期末）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式，