專題13最短路徑問題（人教版）

專題13最短路徑問題一、背景知識：【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．【問題原型】將軍飲馬造橋選址費馬點【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關系；軸對稱；平移；【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉直。二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小。類型1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點Q，Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點之間線段最短。類型2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.作法：作定點B關于定直線l的對稱點C，連接AC，與直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點之間，線段最短2.兩動一定型類型3：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．作法：作點A關于OM的對稱點A’，作點A關于ON的對稱點A’’

，連接A’A’’，與OM交于點B，與ON交于點C，連接AB，AC，△ABC即為所求．類型4：在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點A關于OM的對稱點A’，作點B關于ON的對稱點B’

，連接A’B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．3.兩定兩動型最值類型5：已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。作法二：作點A關于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2B，交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。類型6：（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD4.垂線段最短型類型7：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．點A是定點，OM，ON是定線，點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點．作法：作點A關于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON，交OM于點B，B、C即為所求。類型8：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即|PAPB|最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P此時|PAPB|=0類型9：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PAPB|最大作法：延長BA交l于點C，點C即為所求，即點B、A、C三點共線時，最大值為AB的長度。類型10：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PAPB|最大作法：作點B關于l的對稱點B，連接AB，交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。模型訓練1．（2021·陜西·榆林市第一中學分校九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是DC上一個點，且DE＝1，P點在AC上移動，則PE＋PD的最小值是（

）A．4 B．4.5 C．5.5 D．5【答案】D【解析】【分析】連接BE，交AC于點N'，連接DN'，N'即為所求的點，則BE的長即為DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的長即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與點D關于直線AC對稱，連接BE，交AC于點N'，連接DN'，∴DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+EN'BD，則BE的長即為DP+PE的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CE=CDDE=41=3，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∴BE=5，即DP+PE的最小值為5，故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，兩點之間，線段最短等知識，將PE+PD的最小值轉化為BE的長是解題的關鍵．2．（2021·四川資陽·八年級期末）已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A．B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：∵點A，B在直線l的同側，∴作B點關于l的對稱點B'，連接AB'與l的交點為P，由對稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點在直線同側時，在直線上找一點到兩點距離最短的方法是解題的關鍵．3．（2018·全國·七年級單元測試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線DE分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是14，則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（）A．28 B．18 C．10 D．7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，B和C關于直線DE對稱，EB=EC，因此E點就是DE上到A、C距離和最小的點，由△AEC的周長可求．【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=EC，B和C關于直線DE對稱∴E點就是DE上到A、C距離和最小的點，∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周長為14，∴AB=14﹣4=10，即直線DE上任意一點到A、C距離和最小為10．故選C．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題和線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握求最短路線問題的方法和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點是內(nèi)任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉化為所學知識“兩點之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及，對線段長度進行等量轉化即可．【詳解】解：如圖所示，過點P分別作P點關于OB、OA邊的對稱點、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點N、M，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點M、N的位置是使得周長的最小的位置．由對稱性可知：，，為等邊三角形的周長===3故答案為：3【點睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關鍵．5．（2022·云南昭通·八年級期末）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為______．【答案】30°##30度【解析】【分析】連接BP，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD為BC的垂直平分線，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長最小，即P點為BE與AD的交點時．最后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即得出CP平分，從而可求出．【詳解】如圖連接BP．∵為等邊三角形，∴AD為BC的垂直平分線，∴BP=CP，∵△PCE的周長=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴當PE+BP最小時，△PCE的周長最小，∵PE+BP最小時為BE的長，即此時BE與AD的交點為P，如圖．又∵點E為中點，AD為高，為等邊三角形，∴P點即為等邊角平分線的交點，∴CP平分，∴．故答案為：【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識．理解要使△PCE的周長最小，即P點為BE與AD的交點是解題關鍵．6．（2022·北京鐵路二中八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．【答案】10【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關于直線AC為對稱軸的對稱點，∴連接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN＋MN＝BN＋MN，連接BM交AC于點P，∵點N為AC上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當點N運動到點P時，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值為BM的長度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案為：10．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用．7．（2022·甘肅慶陽·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點E關于AD的對稱點F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點E關于AD的對應點為點F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴F是AB的中點，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關鍵．8．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學校八年級期中）如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，，點F是線段AD上的動點，則的最小值為______．【答案】6【解析】【分析】過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小，證△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最?。ǜ鶕?jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），由于C和B關于AD對稱，則BF+EF=CF，∵等邊△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線（三線合一），∴C和B關于直線AD對稱，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6．故答案為：6．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點的綜合運用．9．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，點在邊上，且，點是上一動點，連接、，則的最小值為______．【答案】5【解析】【分析】作點關于的對稱點，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點，然后利用軸對稱的性質(zhì)將線段PC轉化為，然后利用點三點共線和勾股定理求值即可．【詳解】如解圖，作點關于的對稱點，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點．點，關于對稱，，此時，此時取得最小值．，，．在中，由勾股定理得，，即的最小值為5．故答案為：5【點睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理和正方形的性質(zhì)，能夠作出輔助線并轉化線段PC是解題的關鍵．10．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，是上一點，且，是上的動點，連接、，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】作點關于的對稱點，連接，，連接，與交于點，連接，則，此時取得最小值，求出即可．【詳解】如圖，作點關于的對稱點，連接，，，易得為等邊三角形，連接，與交于點，連接，則，．此時取得最小值．過點作于點．，．．，，．，．．，．．在中，由勾股定理得，即的最小值為．【點睛】此題考查了軸對稱最短路線問題，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關鍵．11．（2022·上海·七年級期末）在直角坐標系中有和兩點，是軸上的任意一點，則長度的最小值是？【答案】【解析】【分析】先做出P點關于x軸的對稱點P＇，連接與x軸的交點就是M點，此時PM+QM的最小值就是的長，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求出的長，即可知PM+QM的最小值．【詳解】解：如圖，作點關于軸的對稱點P＇，則p＇(2,2)連接則線段的長就是PM+QM長度的最小值，∵Q(5,8)則PM+QM長度的最小值是．【點睛】本題主要考查了在坐標軸上找一點使它到已知兩點的距離之和最小，實質(zhì)是將軍飲馬問題，掌握這一模型并且會用兩點之間距離公式計算是解題的關鍵．12．（2021·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心七年級期中）如圖，一個牧童在小河的南4華里（長度單位）的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8華里北7華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?【答案】17華里【解析】【分析】作出A點關于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，根據(jù)勾股定理得出，即可求出最短路徑．【詳解】解：作出A點關于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，如圖所示：，，，∵MN垂直平分，∴，∵在中，，∴，∴（華里）．答：牧童所走的最短里程是17華里．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意作出最短路徑，是解題的關鍵．13．（2022·江蘇南通·一模）平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m＋2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點P（m，m＋2）可知，點P在一次函數(shù)的圖像上移動，作出圖示，并作M關于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長度，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，由題意可知，點P（m，m＋2）在一次函數(shù)的圖像上移動,一次函數(shù)分別交x軸、y軸于點A，B，作M關于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長．點M（1，1）,由對稱性質(zhì)可知：點一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點令，解得，即點，令，解得，即點為等腰三角形，點P為AB的中點，則點故答案為：【點睛】本題考查了最值問題，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”以及根據(jù)兩點坐標求點之間的距離，思考問題時參照“將軍飲馬”模型，根據(jù)“垂線段最短”原理，將問題轉化為求垂線段的長度是解決本題的關鍵．14．（2021·山東·德州市第五中學八年級期中）已知：如圖，在平面直角坐標系中．（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點的坐標：A1（），B1（），C1（）；（2）直接寫出△ABC的面積為；（3）在x軸上畫點P，使PA+PC最?。敬鸢浮浚?）作圖見解析，（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）5；（3）見解析【解析】【分析】（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；（2）直接利用△ABC所在長方形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；（3）先確定A關于軸的對稱點，再連接交軸于則此時滿足要求．【詳解】解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求，A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；故答案為：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）△ABC的面積為：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；故答案為：5；（3）如圖所示：點P即為所求．【點睛】本題考查的是軸對稱的作圖，坐標與圖形，掌握“利用軸對稱確定線段和取最小值時點的位置”是解本題的關鍵.15．（2021·福建省羅源第二中學八年級期中）如圖，在銳角∠AOB的內(nèi)部有一點P，試在∠AOB的兩邊上各取一點M，N，使得△PMN的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【答案】見詳解【解析】【分析】作點P關于直線OA的對稱點E，點P關于直線OB的對稱點F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，N，△PMN即為所求求作三角形．【詳解】解：如圖，作點P關于直線OA的對稱點E，點P關于直線OB的對稱點F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，△PMN即為所求作三角形．理由：由軸對稱的性質(zhì)得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根據(jù)兩點之間線段最短，可知此時△PP1P2的周長最短．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．16．（2021·云南昭通·八年級期中）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點P為直線上一點，，求周長的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)，繼而求得；（2）利用最短路線模型計算即可；【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）當點P與點E重合時，的周長最小，理由：∵，∴當點P與點E重合時，，此時最小值等于的長，∴的周長最小值為．【點睛】本題考查了最短