專題13最短路徑問題（人教版）

專題13最短路徑問題一、背景知識：【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．【問題原型】將軍飲馬造橋選址費馬點【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關系；軸對稱；平移；【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉直。二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小。類型1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點Q，Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點之間線段最短。類型2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.作法：作定點B關于定直線l的對稱點C，連接AC，與直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點之間，線段最短2.兩動一定型類型3：在∠MON的內部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．作法：作點A關于OM的對稱點A’，作點A關于ON的對稱點A’’

，連接A’A’’，與OM交于點B，與ON交于點C，連接AB，AC，△ABC即為所求．類型4：在∠MON的內部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點A關于OM的對稱點A’，作點B關于ON的對稱點B’

，連接A’B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．3.兩定兩動型最值類型5：已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。作法二：作點A關于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2B，交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。類型6：（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD4.垂線段最短型類型7：在∠MON的內部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．點A是定點，OM，ON是定線，點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點．作法：作點A關于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON，交OM于點B，B、C即為所求。類型8：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即|PAPB|最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P此時|PAPB|=0類型9：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PAPB|最大作法：延長BA交l于點C，點C即為所求，即點B、A、C三點共線時，最大值為AB的長度。類型10：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PAPB|最大作法：作點B關于l的對稱點B，連接AB，交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。模型訓練1．（2021·陜西·榆林市第一中學分校九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是DC上一個點，且DE＝1，P點在AC上移動，則PE＋PD的最小值是（

）A．4 B．4.5 C．5.5 D．5【答案】D【解析】【分析】連接BE，交AC于點N'，連接DN'，N'即為所求的點，則BE的長即為DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的長即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與點D關于直線AC對稱，連接BE，交AC于點N'，連接DN'，∴DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+EN'BD，則BE的長即為DP+PE的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CE=CDDE=41=3，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∴BE=5，即DP+PE的最小值為5，故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱最短路線問題，兩點之間，線段最短等知識，將PE+PD的最小值轉化為BE的長是解題的關鍵．2．（2021·四川資陽·八年級期末）已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A．B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對稱的性質以及兩點之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：∵點A，B在直線l的同側，∴作B點關于l的對稱點B'，連接AB'與l的交點為P，由對稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點在直線同側時，在直線上找一點到兩點距離最短的方法是解題的關鍵．3．（2018·全國·七年級單元測試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線DE分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是14，則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（）A．28 B．18 C．10 D．7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質可知，B和C關于直線DE對稱，EB=EC，因此E點就是DE上到A、C距離和最小的點，由△AEC的周長可求．【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=EC，B和C關于直線DE對稱∴E點就是DE上到A、C距離和最小的點，∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周長為14，∴AB=14﹣4=10，即直線DE上任意一點到A、C距離和最小為10．故選C．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題和線段垂直平分線的性質，熟練掌握求最短路線問題的方法和線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．4．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點是內任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉化為所學知識“兩點之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及，對線段長度進行等量轉化即可．【詳解】解：如圖所示，過點P分別作P點關于OB、OA邊的對稱點、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點N、M，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點M、N的位置是使得周長的最小的位置．由對稱性可知：，，為等邊三角形的周長===3故答案為：3【點睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關鍵．5．（2022·云南昭通·八年級期末）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為______．【答案】30°##30度【解析】【分析】連接BP，由等邊三角形的性質可知AD為BC的垂直平分線，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長最小，即P點為BE與AD的交點時．最后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質，即得出CP平分，從而可求出．【詳解】如圖連接BP．∵為等邊三角形，∴AD為BC的垂直平分線，∴BP=CP，∵△PCE的周長=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴當PE+BP最小時，△PCE的周長最小，∵PE+BP最小時為BE的長，即此時BE與AD的交點為P，如圖．又∵點E為中點，AD為高，為等邊三角形，∴P點即為等邊角平分線的交點，∴CP平分，∴．故答案為：【點睛】本題考查等邊三角形的性質，線段垂直平分線的判定和性質，兩點之間線段最短等知識．理解要使△PCE的周長最小，即P點為BE與AD的交點是解題關鍵．6．（2022·北京鐵路二中八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．【答案】10【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關于直線AC為對稱軸的對稱點，∴連接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN＋MN＝BN＋MN，連接BM交AC于點P，∵點N為AC上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當點N運動到點P時，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值為BM的長度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案為：10．【點睛】本題主要考查正方形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用．7．（2022·甘肅慶陽·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點E關于AD的對稱點F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點E關于AD的對應點為點F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴F是AB的中點，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質是本題的關鍵．8．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學校八年級期中）如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，，點F是線段AD上的動點，則的最小值為______．【答案】6【解析】【分析】過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小，證△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最?。ǜ鶕?jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），由于C和B關于AD對稱，則BF+EF=CF，∵等邊△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線（三線合一），∴C和B關于直線AD對稱，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6．故答案為：6．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質，軸對稱的性質，等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識點的綜合運用．9．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，點在邊上，且，點是上一動點，連接、，則的最小值為______．【答案】5【解析】【分析】作點關于的對稱點，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點，然后利用軸對稱的性質將線段PC轉化為，然后利用點三點共線和勾股定理求值即可．【詳解】如解圖，作點關于的對稱點，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點．點，關于對稱，，此時，此時取得最小值．，，．在中，由勾股定理得，，即的最小值為5．故答案為：5【點睛】本題主要考查軸對稱的性質，勾股定理和正方形的性質，能夠作出輔助線并轉化線段PC是解題的關鍵．10．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，是上一點，且，是上的動點，連接、，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】作點關于的對稱點，連接，，連接，與交于點，連接，則，此時取得最小值，求出即可．【詳解】如圖，作點關于的對稱點，連接，，，易得為等邊三角形，連接，與交于點，連接，則，．此時取得最小值．過點作于點．，．．，，．，．．，．．在中，由勾股定理得，即的最小值為．【點睛】此題考查了軸對稱最短路線問題，以及等邊三角形的性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．11．（2022·上?！て吣昙壠谀┰谥苯亲鴺讼抵杏泻蛢牲c，是軸上的任意一點，則長度的最小值是？【答案】【解析】【分析】先做出P點關于x軸的對稱點P＇，連接與x軸的交點就是M點，此時PM+QM的最小值就是的長，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求出的長，即可知PM+QM的最小值．【詳解】解：如圖，作點關于軸的對稱點P＇，則p＇(2,2)連接則線段的長就是PM+QM長度的最小值，∵Q(5,8)則PM+QM長度的最小值是．【點睛】本題主要考查了在坐標軸上找一點使它到已知兩點的距離之和最小，實質是將軍飲馬問題，掌握這一模型并且會用兩點之間距離公式計算是解題的關鍵．12．（2021·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心七年級期中）如圖，一個牧童在小河的南4華里（長度單位）的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8華里北7華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?【答案】17華里【解析】【分析】作出A點關于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，根據(jù)垂直平分線的性質，得出，根據(jù)勾股定理得出，即可求出最短路徑．【詳解】解：作出A點關于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，如圖所示：，，，∵MN垂直平分，∴，∵在中，，∴，∴（華里）．答：牧童所走的最短里程是17華里．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質，勾股定理，根據(jù)題意作出最短路徑，是解題的關鍵．13．（2022·江蘇南通·一模）平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m＋2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點P（m，m＋2）可知，點P在一次函數(shù)的圖像上移動，作出圖示，并作M關于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長度，利用等腰三角形的性質求解即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，由題意可知，點P（m，m＋2）在一次函數(shù)的圖像上移動,一次函數(shù)分別交x軸、y軸于點A，B，作M關于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長．點M（1，1）,由對稱性質可知：點一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點令，解得，即點，令，解得，即點為等腰三角形，點P為AB的中點，則點故答案為：【點睛】本題考查了最值問題，涉及到一次函數(shù)的性質、等腰三角形的性質“三線合一”以及根據(jù)兩點坐標求點之間的距離，思考問題時參照“將軍飲馬”模型，根據(jù)“垂線段最短”原理，將問題轉化為求垂線段的長度是解決本題的關鍵．14．（2021·山東·德州市第五中學八年級期中）已知：如圖，在平面直角坐標系中．（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點的坐標：A1（），B1（），C1（）；（2）直接寫出△ABC的面積為；（3）在x軸上畫點P，使PA+PC最?。敬鸢浮浚?）作圖見解析，（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）5；（3）見解析【解析】【分析】（1）直接利用軸對稱圖形的性質得出對應點位置進而得出答案；（2）直接利用△ABC所在長方形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；（3）先確定A關于軸的對稱點，再連接交軸于則此時滿足要求．【詳解】解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求，A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；故答案為：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）△ABC的面積為：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；故答案為：5；（3）如圖所示：點P即為所求．【點睛】本題考查的是軸對稱的作圖，坐標與圖形，掌握“利用軸對稱確定線段和取最小值時點的位置”是解本題的關鍵.15．（2021·福建省羅源第二中學八年級期中）如圖，在銳角∠AOB的內部有一點P，試在∠AOB的兩邊上各取一點M，N，使得△PMN的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【答案】見詳解【解析】【分析】作點P關于直線OA的對稱點E，點P關于直線OB的對稱點F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，N，△PMN即為所求求作三角形．【詳解】解：如圖，作點P關于直線OA的對稱點E，點P關于直線OB的對稱點F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，△PMN即為所求作三角形．理由：由軸對稱的性質得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根據(jù)兩點之間線段最短，可知此時△PP1P2的周長最短．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．16．（2021·云南昭通·八年級期中）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點P為直線上一點，，求周長的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的內角和及等腰三角形的性質求得的度數(shù)，繼而求得；（2）利用最短路線模型計算即可；【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）當點P與點E重合時，的周長最小，理由：∵，∴當點P與點E重合時，，此時最小值等于的長，∴的周長最小值為．【點睛】本題考查了最短