專題13最短路徑問題（人教版）

專題13最短路徑問題一、背景知識(shí)：【傳說】早在古羅馬時(shí)代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．【問題原型】將軍飲馬造橋選址費(fèi)馬點(diǎn)【涉及知識(shí)】兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系；軸對(duì)稱；平移；【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直。二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動(dòng)型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小。類型1：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點(diǎn)Q，Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。類型2：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.作法：作定點(diǎn)B關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC，與直線l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短2.兩動(dòng)一定型類型3：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得△BAC周長最短．作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A’’

，連接A’A’’，與OM交于點(diǎn)B，與ON交于點(diǎn)C，連接AB，AC，△ABC即為所求．類型4：在∠MON的內(nèi)部有點(diǎn)A和點(diǎn)B，在OM上找一點(diǎn)C，在ON上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’，作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B’

，連接A’B’，與OM交于點(diǎn)C，與ON交于點(diǎn)D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．3.兩定兩動(dòng)型最值類型5：已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線l上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N，且MN長度等于定長d（動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定長的動(dòng)點(diǎn)問題一定要考慮平移作法一：將點(diǎn)A向右平移長度d得到點(diǎn)A’，作A’關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’’，連接A’’B，交直線l于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移長度d，得到點(diǎn)M。作法二：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1，將點(diǎn)A1向右平移長度d得到點(diǎn)A2，連接A2B，交直線l于點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q向左平移長度d，得到點(diǎn)Q。類型6：（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個(gè)點(diǎn)C，直線l2上找一個(gè)點(diǎn)D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．作法：將點(diǎn)A沿CD方向向下平移CD長度d至點(diǎn)A’，連接A’B，交l2于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥l2于點(diǎn)C，連接AC．則橋CD即為所求．此時(shí)最小值為A’B+CD4.垂線段最短型類型7：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得AB＋BC最短．點(diǎn)A是定點(diǎn)，OM，ON是定線，點(diǎn)B、點(diǎn)C是OM、ON上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)．作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A’，過點(diǎn)A’作A’C⊥ON，交OM于點(diǎn)B，B、C即為所求。類型8：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最小，即|PAPB|最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P此時(shí)|PAPB|=0類型9：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PAPB|最大作法：延長BA交l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求，即點(diǎn)B、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，最大值為AB的長度。類型10：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PAPB|最大作法：作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，交交l于點(diǎn)P即為所求，最大值為AB的長度。模型訓(xùn)練1．（2021·陜西·榆林市第一中學(xué)分校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長是4，點(diǎn)E是DC上一個(gè)點(diǎn)，且DE＝1，P點(diǎn)在AC上移動(dòng)，則PE＋PD的最小值是（

）A．4 B．4.5 C．5.5 D．5【答案】D【解析】【分析】連接BE，交AC于點(diǎn)N'，連接DN'，N'即為所求的點(diǎn)，則BE的長即為DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的長即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BE，交AC于點(diǎn)N'，連接DN'，∴DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+EN'BD，則BE的長即為DP+PE的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CE=CDDE=41=3，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∴BE=5，即DP+PE的最小值為5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問題，兩點(diǎn)之間，線段最短等知識(shí)，將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關(guān)鍵．2．（2021·四川資陽·八年級(jí)期末）已知線段AB及直線l，在直線上確定一點(diǎn)，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A．B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，∴作B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'與l的交點(diǎn)為P，由對(duì)稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，掌握兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離最短的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2018·全國·七年級(jí)單元測試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線DE分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，若△AEC的周長是14，則直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為（）A．28 B．18 C．10 D．7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，B和C關(guān)于直線DE對(duì)稱，EB=EC，因此E點(diǎn)就是DE上到A、C距離和最小的點(diǎn)，由△AEC的周長可求．【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=EC，B和C關(guān)于直線DE對(duì)稱∴E點(diǎn)就是DE上到A、C距離和最小的點(diǎn)，∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周長為14，∴AB=14﹣4=10，即直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為10．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題和線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握求最短路線問題的方法和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對(duì)稱性以及，對(duì)線段長度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P分別作P點(diǎn)關(guān)于OB、OA邊的對(duì)稱點(diǎn)、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點(diǎn)N、M，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，此時(shí)點(diǎn)M、N的位置是使得周長的最小的位置．由對(duì)稱性可知：，，為等邊三角形的周長===3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點(diǎn)之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·云南昭通·八年級(jí)期末）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)為______．【答案】30°##30度【解析】【分析】連接BP，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD為BC的垂直平分線，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)時(shí)．最后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即得出CP平分，從而可求出．【詳解】如圖連接BP．∵為等邊三角形，∴AD為BC的垂直平分線，∴BP=CP，∵△PCE的周長=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴當(dāng)PE+BP最小時(shí)，△PCE的周長最小，∵PE+BP最小時(shí)為BE的長，即此時(shí)BE與AD的交點(diǎn)為P，如圖．又∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，AD為高，為等邊三角形，∴P點(diǎn)即為等邊角平分線的交點(diǎn)，∴CP平分，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．理解要使△PCE的周長最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．（2022·北京鐵路二中八年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN＋MN的最小值是______．【答案】10【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：∵正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴連接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN＋MN＝BN＋MN，連接BM交AC于點(diǎn)P，∵點(diǎn)N為AC上的動(dòng)點(diǎn)，由三角形兩邊和大于第三邊，知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值為BM的長度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．7．（2022·甘肅慶陽·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，∴F是AB的中點(diǎn)，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形和軸對(duì)稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．8．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)F是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】6【解析】【分析】過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小，證△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最?。ǜ鶕?jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），由于C和B關(guān)于AD對(duì)稱，則BF+EF=CF，∵等邊△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線（三線合一），∴C和B關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．9．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為______．【答案】5【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點(diǎn)，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段PC轉(zhuǎn)化為，然后利用點(diǎn)三點(diǎn)共線和勾股定理求值即可．【詳解】如解圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點(diǎn)．點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，，此時(shí)，此時(shí)取得最小值．，，．在中，由勾股定理得，，即的最小值為5．故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理和正方形的性質(zhì)，能夠作出輔助線并轉(zhuǎn)化線段PC是解題的關(guān)鍵．10．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，是上一點(diǎn)，且，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，連接，與交于點(diǎn)，連接，則，此時(shí)取得最小值，求出即可．【詳解】如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，易得為等邊三角形，連接，與交于點(diǎn)，連接，則，．此時(shí)取得最小值．過點(diǎn)作于點(diǎn)．，．．，，．，．．，．．在中，由勾股定理得，即的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）在直角坐標(biāo)系中有和兩點(diǎn)，是軸上的任意一點(diǎn)，則長度的最小值是？【答案】【解析】【分析】先做出P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P＇，連接與x軸的交點(diǎn)就是M點(diǎn)，此時(shí)PM+QM的最小值就是的長，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出的長，即可知PM+QM的最小值．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P＇，則p＇(2,2)連接則線段的長就是PM+QM長度的最小值，∵Q(5,8)則PM+QM長度的最小值是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)使它到已知兩點(diǎn)的距離之和最小，實(shí)質(zhì)是將軍飲馬問題，掌握這一模型并且會(huì)用兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（2021·山東·煙臺(tái)市福山區(qū)教學(xué)研究中心七年級(jí)期中）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4華里（長度單位）的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8華里北7華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?【答案】17華里【解析】【分析】作出A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交MN于點(diǎn)P，則就是最短路線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，根據(jù)勾股定理得出，即可求出最短路徑．【詳解】解：作出A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交MN于點(diǎn)P，則就是最短路線，如圖所示：，，，∵M(jìn)N垂直平分，∴，∵在中，，∴，∴（華里）．答：牧童所走的最短里程是17華里．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意作出最短路徑，是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇南通·一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（m，m＋2），點(diǎn)Q（n，0），點(diǎn)M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)P（m，m＋2）可知，點(diǎn)P在一次函數(shù)的圖像上移動(dòng)，作出圖示，并作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時(shí)PQ＋QM最小，最小值為的長度，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，由題意可知，點(diǎn)P（m，m＋2）在一次函數(shù)的圖像上移動(dòng),一次函數(shù)分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時(shí)PQ＋QM最小，最小值為的長．點(diǎn)M（1，1）,由對(duì)稱性質(zhì)可知：點(diǎn)一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)令，解得，即點(diǎn)，令，解得，即點(diǎn)為等腰三角形，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了最值問題，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”以及根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求點(diǎn)之間的距離，思考問題時(shí)參照“將軍飲馬”模型，根據(jù)“垂線段最短”原理，將問題轉(zhuǎn)化為求垂線段的長度是解決本題的關(guān)鍵．14．（2021·山東·德州市第五中學(xué)八年級(jí)期中）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．（1）作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：A1（），B1（），C1（）；（2）直接寫出△ABC的面積為；（3）在x軸上畫點(diǎn)P，使PA+PC最?。敬鸢浮浚?）作圖見解析，（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）5；（3）見解析【解析】【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用△ABC所在長方形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案；（3）先確定A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，再連接交軸于則此時(shí)滿足要求．【詳解】解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求，A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；故答案為：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）△ABC的面積為：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；故答案為：5；（3）如圖所示：點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的作圖，坐標(biāo)與圖形，掌握“利用軸對(duì)稱確定線段和取最小值時(shí)點(diǎn)的位置”是解本題的關(guān)鍵.15．（2021·福建省羅源第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在銳角∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，試在∠AOB的兩邊上各取一點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【答案】見詳解【解析】【分析】作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，N，△PMN即為所求求作三角形．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，△PMN即為所求作三角形．理由：由軸對(duì)稱的性質(zhì)得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)△PP1P2的周長最短．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．16．（2021·云南昭通·八年級(jí)期中）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，，求周長的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)，繼而求得；（2）利用最短路線模型計(jì)算即可；【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，的周長最小，理由：∵，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，，此時(shí)最小值等于的長，∴的周長最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了最短