專題3.5圓周角定理（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題3.5圓周角定理【十大題型】【浙教版】TOC\o"13"\h\u【題型1圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角的一半的運用】 2【題型2同弧或等弧所對的圓周角相等的運用】 5【題型3直徑所對的圓周角是90°的運用】 9【題型4翻折中的圓周角的運用】 13【題型5利用圓周角求最值】 18【題型6圓周角中的證明】 22【題型7圓周角中的多結(jié)論問題】 28【題型8構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】 32【題型9圓周角與量角器的綜合運用】 37【題型10利用圓周角求取值范圍】 40【知識點1圓周角定理及其推論】圓周角定理定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的圓心角度數(shù)的一半是所對的圓心角，是所對的圓周角，推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等和都是所對的圓周角推論2：直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑是的直徑是所對的圓周角是所對的圓周角是的直徑【題型1圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角的一半的運用】【例1】（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，CD是⊙O的直徑，⊙O上的兩點A，B分別在直徑CD的兩側(cè)，且∠ABC＝78°，則∠AOD的度數(shù)為（）A．12° B．22° C．24° D．44°【變式11】（2022?溫州）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，連結(jié)OB，OC．若∠DOE＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．130°【變式12】（2022?藍山縣一模）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，則∠B＝（）A．100° B．70° C．55° D．65°【變式13】（2022春?漢陽區(qū)校級月考）如圖，AB，CD為⊙O的兩條弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，則⊙O的半徑為（）A．25 B．27 C．2153 D【題型2同弧或等弧所對的圓周角相等的運用】【例2】（2022?保亭縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在圓上，CE⊥AB于點E，若∠D＝48°，則∠1＝（）A．42° B．45° C．48° D．52°【變式21】（2022?南充）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OF⊥BC于點F，∠BOF＝65°，則∠AOD為（）A．70° B．65° C．50° D．45°【變式22】（2022?十堰二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D．E是⊙O上一點，且CE=CD，連接OE．過點E作EF⊥OE，交AC的延長線于點F，則∠A．92° B．108° C．112° D．124°【變式23】（2022?本溪模擬）如圖，在⊙O中，AB=BC，直徑CD⊥AB于點N，P是AC上一點，則∠BPD的度數(shù)是【題型3直徑所對的圓周角是90°的運用】【例3】（2022?中山市三模）如圖，AB是⊙O的直徑，若AC＝2，∠D＝60°，則BC長等于（）A．4 B．5 C．3 D．2【變式31】（2022?濰坊二模）如圖，已知以△ABC的邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C，OD⊥AC交⊙O于點D，連接BD．若∠BAC＝36°，則∠ODB的度數(shù)為（）A．32° B．27° C．24° D．18°【變式32】（2022?江夏區(qū)校級開學(xué)）如圖，⊙O的直徑AB為8，D為AC上的一點，DE⊥AC于點E，若CE＝3AE，∠BAC＝30°，則DE的長是（）A．85 B．13-2 C．3 D【變式33】（2022秋?如皋市校級期中）在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連接CD．（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC＝2，求⊙O的半徑r；（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度數(shù)．【題型4翻折中的圓周角的運用】【例4】（2022春?福田區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點D，再將BD沿AB翻折交BC于點E．若BE=DE，則∠A．22.5° B．30° C．45° D．60°【變式41】（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點D，連結(jié)CD，若∠BAC＝25°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．65° D．70°【變式42】（2022秋?硚口區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的一條弦，C為⊙O上一點，OC∥AB．將劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于點D．若D為翻折后弧AB的中點，則∠ABC＝（）A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°【變式43】（2022秋?丹江口市期中）已知⊙O的直徑AB長為10，弦CD⊥AB，將⊙O沿CD翻折，翻折后點B的對應(yīng)點為點B′，若AB′＝6，CB′的長為（）A．45 B．25或45 C．25 D【題型5利用圓周角求最值】【例5】（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN＝2，則△PMN周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式51】（2022?陳倉區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是邊BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于點E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為．【變式52】（2022秋?大連期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2，點C在⊙O上，∠CAB＝30°，D為BC的中點，E是直徑AB上一動點，則CE+DE最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．2【變式53】（2022?杏花嶺區(qū)校級三模）如圖，矩形ABCD中，AB=32，BC＝AB2，E為射線BA上一動點，連接CE交以BE為直徑的圓于點H，則線段DH長度的最小值為【題型6圓周角中的證明】【例6】（2022秋?定陶區(qū)期末）如圖1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，點E在劣弧AC上運動，連接EC，BE，交AC于點F．（1）求∠E的度數(shù)；（2）當(dāng)點E運動到使BE⊥AC時，連接AO并延長，交BE于點D，交BC于點G，交⊙O于點M，依據(jù)題意在備用圖中畫出圖形．并證明：G為DM的中點．【變式61】（2022春?金山區(qū)校級月考）已知CD為⊙O的直徑，A、B為⊙O上兩點，點C為劣弧AB中點，連接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求證：∠D＝30°；（2）F、G分別為線段CD、AC上兩點，滿足DF＝AG，連接AF、OG，取OG中點H，連接CH，請猜測AF與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式62】（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD．（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB＝10，BE＝210，求BC的長．【變式63】（2022?南召縣四模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB+BD．小明認為可以利用“截長法”，如圖2：在線段CB上從C點截取一段線段CN＝AB，連接MA，MB，MC，MN．小麗認為可以利用“垂線法”，如圖3：過點M作MH⊥AB于點H，連接MA，MB，MC．任務(wù)：（1）請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程．（2）就圖3證明：MC2﹣MB2＝BC?AB．【題型7圓周角中的多結(jié)論問題】【例7】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，AC=CD=DB，點E是點D關(guān)于AB的對稱點，①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式71】（2022秋?淅川縣期末）如圖，已知：點A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列結(jié)論：①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．其中正確的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式72】（2022秋?廈門期末）在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點D．要使得⊙O與AC邊的交點E關(guān)于直線AD的對稱點在線段OA上（不與端點重合），需滿足的條件可以是．（寫出所有正確答案的序號）①∠BAC＞60°；②45°＜∠ABC＜60°；③BD＞12AB；④12AB＜DE【變式73】（2022秋?東臺市月考）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD與BC，OC分別相交于點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的結(jié)論是．（填序號）【題型8構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】【例8】（2022春?杏花嶺區(qū)校級月考）如圖，A，B兩點的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點C在y軸正半軸上，且∠ACB＝45°，則點C的坐標(biāo)為（）A．（0，7） B．（0，210） C．（0，6） D．（0，35）【變式81】（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，則∠ADC＝°．【變式82】（2022?北京模擬）已知三角形ABC是銳角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，設(shè)BC邊上的高為h，則h的取值范圍是．【變式83】（2022春?西湖區(qū)校級月考）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，點E為BC的中點，以CE為弦作圓，設(shè)該圓與四邊形ABCD的一邊的交點為P，若∠CPE＝30°，則EP的長為．【題型9圓周角與量角器的綜合運用】【例9】（2022?南召縣模擬）以O(shè)為中心點的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與斜邊AB重合．點D為斜邊AB上一點，作射線CD交弧AB于點E，如果點E所對應(yīng)的讀數(shù)為50°，那么∠BDE的大小為（）A．100° B．110° C．115° D．130°【變式91】（2022秋?南京期中）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙片上，使點O在半圓圓心上，點B在半圓上，邊AB，AO分別交半圓于點C，D，點B，C，D對應(yīng)的讀數(shù)分別為160°、72°、50°，則∠A＝．【變式92】（2022秋?高港區(qū)期中）如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，點D對應(yīng)的刻度值為50°，則∠BCD的度數(shù)為．【變式93】（2022秋?北京期末）如圖，量角器的直徑與直角三角尺ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點E，則第20秒點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是°．【題型10利用圓周角求取值范圍】【例10】（2022?觀山湖區(qū)模擬）如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB＝OB，直徑CD⊥AB．若點P是線段OD上的動點，點P不與O，D重合，連接PA．設(shè)∠PAB＝β，則β的取值范圍是．【變式101】（2022?河南三模）如圖，點O是以AC為直徑的半圓的圓心，點B在AC上，∠ACB＝30°，AC＝2．點D是直徑AC上一動點（與點A，C不重合），記OD的長為m．連接BD，點A關(guān)于BD的對稱點為點A′，當(dāng)點A′落在由直徑AC，弦AB，BC圍成的封閉圖形內(nèi)部時（不包含邊界），m的取值范圍是【變式102】（2022秋?臺州期中）如圖，已知AB是⊙O的一條弦，點C是⊙