2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（湘教版）第四章 相交線與平行線（知識歸納+題型突破）（原卷版）

第四章相交線與平行線（知識歸納+題型突破）1、理解對頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的補(bǔ)角相等的性質(zhì)．2、理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線．3、能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線．4、掌握基本事實：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．5、理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.6、識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.7、理解平行線的概念.8、掌握平行線基本事實I：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.9、掌握平行線基本事實Ⅱ：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.10、探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），那么這兩條直線平行.11、掌握平行線的性質(zhì)定理I：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.12、探索并證明平行線的性質(zhì)定理Ⅱ：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.13、能用三角板和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線.14、能用尺規(guī)作圖：過直線外一點作這條直線的平行線.15、了解平行于同一條直線的兩條直線平行.一、知識框架二、知識概念1.鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補(bǔ)角。2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。5.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截所形成的八個角中，有四對同位角，兩對內(nèi)錯角，兩對同旁內(nèi)角。同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對角叫做同位角。內(nèi)錯角：∠4與∠6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。同旁內(nèi)角：∠4與∠5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。7.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。8.對應(yīng)點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。9.定理與性質(zhì)對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。10垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。11.平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。12.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。13.平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。題型一平面上兩條直線的位置關(guān)系【例1】（23-24七年級上·山東聊城·期中）平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【例2】平面內(nèi)兩兩相交的條直線，其交點個數(shù)最少為個，最多為個，則等于（

）A． B． C． D．以上都不對【例3】（23-24七年級下·貴州黔東南·階段練習(xí)）如圖所示，直線和相交于點O，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【例4】（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，直線，被直線和所截，則下列說法錯誤的是（）A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯角C．與是同旁內(nèi)角 D．，，互為鄰補(bǔ)角鞏固訓(xùn)練：1．如下圖，在一張白紙上畫條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（1）），畫條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（2）），畫條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（3）），......，當(dāng)在一張白紙上畫條直線，最多能把白紙分成（）A．部分 B．部分 C．部分 D．部分2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）當(dāng)光線從空氣中射入水中時，光線的傳播方向發(fā)生了變化，這種現(xiàn)象叫做光的折射．如圖，直線與相交于點，一束光線沿射入水面，在點處發(fā)生折射，沿射入水中，如果，，那么光的傳播方向改變了（）A． B． C． D．3．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．與是鄰補(bǔ)角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯角 D．與是同旁內(nèi)角4．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，的同位角有（）A． B．或 C．或 D．或或5．（2024·廣東佛山·一模）兩條直線被第三條直線所截，形成了常說的“三線八角”，為了便于記憶，同學(xué)們可用雙手表示“三線八角”（兩大拇指代表被截直線，兩只食指在同一直線上代表截線），如圖，它們構(gòu)成的一對角可以看成（

）A．同位角 B．同旁內(nèi)角 C．內(nèi)錯角 D．對頂角6．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，三條直線兩兩相交，與是角，與是角，與是角．7．（23-24七年級下·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，直線a、b相交于點O，若，則度．9．（23-24七年級下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，已知直線相交于點O，射線把分成兩部分．（1）寫出圖中的對頂角，的補(bǔ)角是；（2）已知，且，則的度數(shù)為．10．（22-23七年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）問題：我們知道平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：相交、平行，那在同一平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系又如何？現(xiàn)準(zhǔn)備研究在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的條直線產(chǎn)生的交點個數(shù)情況．（是不小于3的正整數(shù)）(1)【初探】當(dāng)時，交點個數(shù)有________個；當(dāng)時，交點個數(shù)有________個；(2)【再探】當(dāng)時，交點個數(shù)最多有________個；(3)【歸納】請你求出在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的條直線最多能產(chǎn)生多少個交點；(4)【運(yùn)用】在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的12條直線最多能產(chǎn)生多少個交點，此時，圖中共有多少對對頂角？11．（23-24七年級下·貴州黔東南·階段練習(xí)）觀察以下圖形，尋找對頂角及鄰補(bǔ)角．

(1)圖（1）中共有對對頂角，對鄰補(bǔ)角．(2)圖（2）中共有對對頂角，對鄰補(bǔ)角．(3)圖（3）中共有對對頂角，對鄰補(bǔ)角．(4)根據(jù)上面的規(guī)律，直線條數(shù)與對頂角對數(shù)之間的關(guān)系為∶若n條直線相交于一點，則可形成對對頂角，對鄰補(bǔ)角．(5)若100條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補(bǔ)角？題型二平移【例1】（2024七年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖所示的圖案分別是奔馳、奧迪、大眾、三菱汽車的車標(biāo)，其中，可以看作由“基本圖案”經(jīng)過平移得到的是（

）A．B．C． D．【例2】（23-24八年級下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，將沿方向平移得到，若的周長為，則四邊形的周長為．【例3】（23-24七年級下·河南·階段練習(xí)）如圖，三角形的邊長為，將三角形向右平移得到三角形，已知四邊形為長方形，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【例4】（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）某公園內(nèi)有一長方形花壇，想在花壇內(nèi)修筑同樣寬的兩條小路（陰影部分）供游客賞花，現(xiàn)有如圖所示甲、乙兩種設(shè)計方案（兩種方案中小路寬度一樣），則關(guān)于兩種設(shè)計方案中的小路，以下說法正確的是（

）A．面積相等，周長不相等 B．面積不相等，周長相等C．面積和周長都相等 D．面積和周長都不相等鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，直徑為4的第一個圓向右平移得到第二個圓，若圖中陰影部分的周長為，則平移的距離為（）A． B． C． D．2．（23-24七年級下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個沿點B到點C的方向平移到的位置，，，，平移距離為12，則陰影部分的面積（

）A．160 B．168 C．180 D．1923．（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，中，，把沿直線向右平移3個單位長度得到，則四邊形的面積是（

）

A．22 B．18 C．15 D．244．（23-24八年級上·山東淄博·期末）如圖，將沿方向平移到，若A，D之間的距離為2，，則等于（

）

A．6 B．7 C．8 D．95．（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，，將直角三角形沿著射線方向平移，得三角形，已知，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．6．（23-24七年級下·江西上饒·階段練習(xí)）如圖，把一個三角形紙板的一邊緊靠數(shù)軸平移，則點平移的距離為．7．（22-23七年級下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，是一塊長方形場地，米，米，從兩處入口的小路都為1米，兩小路匯合處路寬為2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為米．8．（23-24七年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，原來是重疊的兩個直角三角形，將其中一個三角形沿著方向平移線段的距離，就得到此圖形，陰影部分面積為．9．（23-24七年級下·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖所示，三角形的邊在數(shù)軸上，，將三角形沿數(shù)軸的負(fù)方向平移至三角形的位置(1)和的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；度；(2)若點D表示的數(shù)為，點A表示的數(shù)為0，點C表示的數(shù)為4①求點F表示的數(shù)；②若，求四邊形的周長10．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，是由沿箭頭方向平移得到的．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的長；(3)若，求，的長．題型三平行線的性質(zhì)與判定【例1】（23-24七年級上·山東濱州·期末）如圖，，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【例2】（22-23八年級上·貴州六盤水·期末）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【例3】（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，有直線，已知，，，，…，按此規(guī)律下去，若，則的值可以是（）A．42 B．47 C．63 D．85【例4】（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）根據(jù)解答過程填空（理由或數(shù)學(xué)式）已知：如圖，平分交于點，求證：．證明：（已知），（______），（______），平分（已知），（______），（等量代換），（已知），（等量代換），（______），（______）．【例5】（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知，，交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級上·山東青島·期末）如圖：，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（22-23七年級下·江蘇南通·期末）如圖，在中，，點在直線上，點在直線上，且直線∥MN，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中，，．若，則的度數(shù)為．4．（23-24八年級上·山東菏澤·期末）如圖所示，已知，直線分別交于E、F兩點，平分，交于點G．若，則度．5．（22-23七年級下·四川成都·期末）將一個含有角的直角三角板如圖所示放置，其中一個角的頂點落在直線上，含角的頂點落在直線上．若，，則的度數(shù)為．6．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）一桿古秤在稱物體時的狀態(tài)如圖所示，已知，則的度數(shù)是．

7．（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）如圖所示，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是度．8．（23-24七年級上·河南南陽·期末）如圖，直線，且分別與直線交于，兩點，把一塊含角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若，則．

9．（23-24七年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，直線被直線所截，添加一個條件，使．10．（23-24七年級下·江蘇·周測）如圖，，，，求和的度數(shù)．

11．（23-24七年級下·吉林·階段練習(xí)）如圖，已知，求證：．

12．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，，，求證：．13．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)，有2024條互不重合的直線，若，，以此類推，試判斷和的位置關(guān)系．14．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，，．求證：．證明：（

），又，（

），（

），（

），又，，（

）．題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的度數(shù)與關(guān)系【例1】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“一個含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動．已知兩直線，，且，直角三角尺中，，．圖1

圖2

圖3(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)三角尺的頂點在直線上時，若，則______；(2)【探索證明】如圖2，當(dāng)三角尺的頂點在直線上時，請寫出與間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，把三角尺的頂點放在直線上且保持不動，旋轉(zhuǎn)三角尺，點始終在直線（為直線上一點）的上方，若存在（），請直接寫出射線與直線所夾銳角的度數(shù)．【例2】（23-24七年級上·四川遂寧·期末）如圖，直線，直線與分別交于點G，H，．小明將一個直角三角形按如圖①放置，使點N、M分別在直線上，且在點C、H的右側(cè)，．(1)填空：度；(2)若的平分線交直線于點O，如圖②．①當(dāng)時，求α的度數(shù)；②小明將三角形沿直線左右移動，保持，點N、M分別在直線和直線上移動，請直接寫出的度數(shù)（用含α的式子表示）．【例3】（23-24七年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，已知為直線上一點，動點在直線上（在的右側(cè)）且滿足在外部且平分交于點．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線上有一點滿足，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)如圖3，若，射線從與射線重合的位置出發(fā)，繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線從與射線重合的位置出發(fā)，繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當(dāng)射線和射線平行時，求出的值．【例4】（23-24七年級上·浙江金華·期末）如圖，三角尺的直角頂點P在直線上，其中，．

(1)如圖①，若，求的度數(shù)．(2)如圖②，若，平分，求的度數(shù)．(3)在（1）的條件下，將三角尺繞點P以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)t秒后得到三角尺，如圖③，當(dāng)時，求t的值．鞏固訓(xùn)練1．（22-23八年級上·河南駐馬店·期末）（1）【感知】如圖①，，點在直線上，點在直線上，點為之間一點，求證：．小明想到以下的方法，請你幫忙完成推理過程．證明：如圖①，過點作．（已知），（_______），（_______），（等式的基本性質(zhì)），．（2）【應(yīng)用】小明同學(xué)進(jìn)行了更進(jìn)一步的思考：利用【感知】中的結(jié)論進(jìn)行證明如圖②，直線，點在直線上，點在直線上，直線分別平分，且交于點．猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．（3）【拓展】如圖③，，直線與分別交于點，點在上，點在上，，若動點在線段上移動（不與重合），連接和的平分線交于點，補(bǔ)全圖形（不必尺規(guī)作圖），請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．2．（23-24七年級上·山東濟(jì)南·期末）【閱讀探究】（1）如圖1，分別是上的點，點在兩平行線之間，，求的度數(shù)．解：過點作，所以______，因為，所以，所以______，因為，所以．（2）從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線可將和“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．進(jìn)一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系為________．【方法應(yīng)用】（3）如圖2，分別是上的點，點在兩平行線之間，，求的度數(shù)．【應(yīng)用拓展】（4）如圖3，分別是上的點，點在兩平行線之間，作和的平分線，交于點（交點在兩平行線之間），若，則的度數(shù)為________（用含的式子表示）．3．（23-24七年級上·四川宜賓·期末）如圖，，點、分別在直線，上，為直線和之間的一個動點，且滿足．(1)如圖1，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)如圖2，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，，分別平分和，點在左側(cè)，點在右側(cè)．①若，求的度數(shù)．②猜想規(guī)律：與的數(shù)量關(guān)系可表示為．③如圖4，若與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，……依此類推，則與的數(shù)量關(guān)系是．4．（23-24八年級上·山西運(yùn)城·期末）已知，直線，點P為平面上一點，連接與．(1)如圖1，點P在直線，之間，當(dāng)，時，求的度數(shù)．(2)如圖2，點P在直線，之間，與的角平分線相交于點K，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，點P落在外．①直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系為______．②與的角平分線相交于點K，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．5．（23-24八年級上·江西吉安·期末）如圖，已知，．點是射線上一動點（與點不重合），，分別平分和交射線于點E，F(xiàn)．(1)求的度數(shù)，若，請直接用含的式子表示；(2)隨著點的運(yùn)動，設(shè)，，與之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請求出此數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由；(3)當(dāng)時，請直接寫出的度數(shù)．6．（23-24七年級上·四川宜賓·期末）已知直線，在三角形紙板中，，(1)將三角形按如圖1放置，點E和點G分別在直線上，若，則°(2)將三角形按如圖2放置，點E和點G分別在直線上，交于點H，若，，試求、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在圖2中，若，，將三角形繞點F以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)三角形兩條直角邊分別與平行時，求出相應(yīng)t的值（直接寫出答案）．7．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．問題遷移：(1)如圖2，，點P在射線上運(yùn)動，當(dāng)點P在A，B兩點之間運(yùn)動時，，，求，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)在（1）的條件下，如果點P在A，B兩點外側(cè)運(yùn)動時（點P與點A，B，O三點不重合），請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．8．（23-24八年級上·陜西榆林·期末）綜合與探究某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：已知直線，若直線，則．他們發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論運(yùn)用很廣、請你利用這個結(jié)論解決以下問題．已知直線，點在，之間，點，分別在直線，上，連接，．(1)如圖1，作，運(yùn)用上述結(jié)論，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，，，求出與之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，直接寫出，，，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________．9．（23-24八年級上·重慶長壽·期末）如圖，直線，連接線段，直線、及線段把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定∶線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連接、，構(gòu)成、、三個角．(1)當(dāng)動點P落在第①部分時，如圖1，求證：；(2)當(dāng)動點P落在第②部分時，是否成立？在圖2中畫出圖形，若成立，寫出推理過程，若不成立，直接寫出這三個角之間的關(guān)系．(3)當(dāng)動點P落在第③部分時，延長，點P在射線的左側(cè)和右側(cè)時，分別探究、、之間的關(guān)系，在圖3中畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．10．（23-24七年級上·重慶渝中·期末）如圖，直線，直線分別交、于點、．點在直線上方，點在直線上（在點的右邊），連接，平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，直線交于點，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）問的條件下，連接并延長．若，，將繞著點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線始終平分，是內(nèi)部一條射線，平分，當(dāng)，且的度數(shù)為射線與直線所夾銳角的倍時，直接寫出的值（本題研究的所有角度均小于）．11．（22-23七年級上·河南南陽·期末）如圖，已知．點P是射線上一動點（與點A不重合），，的角平分線分別交射線于點C，D．(1)①的度數(shù)是______；②∵，∴______；(2)求的度數(shù)；(3)當(dāng)點P運(yùn)動時，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系；若變化，請寫出變化規(guī)律．(4)當(dāng)點P運(yùn)動到使時，的度數(shù)是______．12．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）已知直線，和，分別交于，點，點，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點在直線上，且不和點，重合．(1)如圖1，點P在線段上，，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點P在直線上運(yùn)動時，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要說明理由．題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【例1】（21-22六年級下·山東東營·期末）實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角．(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡．已知光線經(jīng)過平面鏡反射時，有，，請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線是平行的？（請把證明過程補(bǔ)充完整）理由：∵（已知），∴（①），∵，（已知），∴（②），∴，即：，∴（③）(2)顯然，改變兩面平面鏡AB、CD之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變，如圖3，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線n和光線m平行，且，則∠6=______°，∠ABC=______°．(3)請你猜想：圖3中，當(dāng)兩平面鏡AB、CD的夾角∠ABC=______°時，可以使任何入射光線m經(jīng)過平面鏡AB、CD的兩次反射后，與反射光線n平行、請說明理由．【例2】（22-23七年級下·吉林松原·期末）如圖，，、分別為直線、上兩點，且，若射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點、點不停地旋轉(zhuǎn)，若射線轉(zhuǎn)動的速度是秒，射線轉(zhuǎn)動的速度是秒，且、滿足．（友情提醒：鐘表指針走動的方向為順時針方向）(1)，；(2)若射線、射線同時旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線、射線互相垂直．(3)若射線繞點順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線才開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線到達(dá)之前，問射線再轉(zhuǎn)動多少秒時，射線、射線互相平行？【例3】（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）如圖1是一盞可折疊臺燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時與水平方向的夾角的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（22-23七年級下·云南昆明·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，若平行光線由水中射向空氣時所形成的，則為（）A． B． C． D．2．（21-22七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，與在原來的方向的垂直方向前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐3．（23-24九年級上·貴州貴陽·期中）如圖，一條街道有兩個拐角和，已知，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（22-23七年級下·河北滄州·期末）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線m與出射光線n平行，若入射光線m與鏡面的夾角，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（22-23七年級下·貴州黔南·期中）如圖，的一邊是平面鏡，，點C是上一點，一束光線從點C射出，經(jīng)過平面鏡上的點D反射后沿射線射出，已知，要使反射光線，則的度數(shù)是度．

6．（22-23七年級下·河北承德·期末）為保證安全，某兩段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B，探照燈的光線可看作射線如圖，燈A的光線從射線開始，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至射線上便立即回轉(zhuǎn)，燈B光線從射線開始，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至射線便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．已知，連接，，則；若燈B的光線先轉(zhuǎn)動，每秒轉(zhuǎn)動，45秒后燈A的光線才開始轉(zhuǎn)動，每秒轉(zhuǎn)動，在燈B的光線第一次到達(dá)之前，燈A的光線轉(zhuǎn)動秒時，兩燈的光線互相平行．

7．（2023七年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線按順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至邊便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至邊就停止旋轉(zhuǎn)，此時光線也停止旋轉(zhuǎn)．若光線先轉(zhuǎn)4秒，光線才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)時，光線旋轉(zhuǎn)的時間為秒．8．（22-23七年級上·福建泉州·期末）光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向會發(fā)生改變，這就是折射現(xiàn)象．如圖，水面與底面平行，光線從空氣射入水里時發(fā)生了折射，變成光線射到水底C處射線X是光線的延長線，，，則的度數(shù)為．9．（23-24八年級上·山西大同·階段練習(xí)）如圖、一艘輪船由B處向C處航行，C處在B處的北偏東方向上，在海島上的觀察所A測得B在A的南偏西方向上，若輪船行駛到C處時測得，求從C處看A、B兩處的視角的度數(shù)．

題型六垂線【例1】（23-24七年級下·山東青島·單元測試）下列圖形中，線段的長表示點A到直線距離的是（

）A．B． C．D．【例2】（23-24七年級上·浙江·期末）如圖，直線，相交于點，平分，設(shè)，，下列結(jié)論：①，則；②若，則；③若，則；④若平分．則其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【例3】（23-24七年級下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)過點O作已知直線a的平行線和垂線，可作的條數(shù)分別是m條和n條，則的值為（

）

A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【例4】（23-24七年級下·山東青島·單元測試）如圖，要在渠岸上找一點，在點處開溝，把水渠中的水引到點，要使溝最短，線段與渠岸的位置關(guān)系應(yīng)是，理由是．【例5】（22-23七年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，中，，，，，P為直線上一動點，連接，則線段的最小值是，原因是．【例6】（23-24七年級上·江蘇宿遷·期末）解答下列問題：(1)畫線段、，并延長、相交于點E；(2)畫直線，射線；(3)過D點作；(4)過D點作．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）為直線外一點，，，為直線上三點，，，，則點到直線的距離為（）A．，或 B．C．小于 D．不大于2．（23-24七年級下·河南·階段練習(xí)）為直線外一點，為直線上三點，，，，則點到直線的距離不可能是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年級上·河南鶴壁·期末）點P為直線m外一點，點P到直線m上的三點A，B，C的距離分別為，，，則點P到直線m的距離可能為（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm4．（23-24七年級上·吉林長春·期末）如圖，點A，D在直線m上，點，在直線上，，，，點A到直線的距離是（）A．線段的長度 B．線段的長度C．線段的長度 D．線段的長度5．（22-23七年級下·云南迪慶·期末）如圖所示，直線，相交于點，于點，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（23-24七年級下·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，中，，，，，P為直線上一動點，連接，則線段的最小值是．7．（23-24七年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，這是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)測量的方法，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．8．（23-24七年級下·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，點C到直線的距離是線段的長度.9．（22-23七年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，已知，，若，．10．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知，．若，則．

11．（23-24七年級上·四川綿陽·期末）如圖，已知點在直線上，平分，點在直線的上方，設(shè)與互補(bǔ)，平分，則．（用含的式子表示）12．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖，是的邊上一點．(1)過點畫的垂線，垂足為點．(2)________（填“”、“”或“”），依據(jù)是________________．13．（23-24七年級下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）火車站，碼頭分別位于兩點，直線分別表示鐵路與河流．按下列要求，請畫圖并說明理由：(1)從火車站到碼頭怎樣走最近？(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近？14．（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，一輛汽車在直線形公路上由A向B行駛，點C，D分別是位于公路兩側(cè)的村莊，設(shè)汽車行駛到點E時，離村莊C最近，行駛到點F時，離村莊D最近．(1)請你在上分別畫出E，F(xiàn)兩點的位置；(2)如果在公路上有一個點P到村莊C和村莊D的距離之和最短，請在公路上畫出點P．15．（23-24七年級上·福建福州·期末）按照下列要求完成畫圖及問題解答．(1)分別畫直線和射線；(2)畫線段，取的中點；(3)過點畫直線的垂線，交直線于點；(4)測量點到直線的距離為______．16．（23-24七年級下·河南·階段練習(xí)）如圖，已知，，，將下面“判斷與的位置關(guān)系”的過程補(bǔ)充完整．證明：，（已知）______．（兩直線平行，______），，（______）______，______，（______），（等量代換）____________，即．______．（______，兩直線平行）17．（22-23七年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，直線、相交于點O，，且平分，若，求的度數(shù)．18．（23-24七年級下·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點O，垂直，垂直，是的平分線．(1)請直接寫出圖中的鄰補(bǔ)角；(2)如果，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，經(jīng)過點O在內(nèi)部作射線，使得，求的度數(shù)．題型七兩條平行線間的距離【例1】（22-23七年級上·河北秦皇島·開學(xué)考試）如圖，平行線間的三個圖形，下列說法正確的是（

）

A．平行四邊形的面積大B．三角形的面積大C．梯形的面積大