學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 章末檢測 新人教A版必修5

章末檢測一、選擇題1．等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為 ()A．1 B．2 C．3 D．42．公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3·a11＝16，則a5等于 ()A．1 B．2 C．4 D．83．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于 ()A．58 B．88 C．143 D．1764．若{an}是等比數(shù)列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差數(shù)列，則q等于 ()A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－25．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的是 ()A．S7 B．S8 C．S13 D．S156．等比數(shù)列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的兩根，則a4等于 ()A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不對7．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于 ()A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶38．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)等于 ()A.eq\f(15,14) B.eq\f(12,13) C.eq\f(13,16) D.eq\f(15,16)9．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是 ()A．21 B．20 C．19 D．1810．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S17＋S33＋S50等于 ()A．0 B．1 C．－1 D．211．已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于 ()A．7 B．5 C．－5 D．－712．?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，則a8等于 ()A．0 B．3 C．8 D．11二、填空題13.eq\r(2)－1與eq\r(2)＋1的等比中項(xiàng)是________．14．“嫦娥奔月，舉國歡慶”，據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神六”的“長征二號”系列火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為2km，以后每秒鐘通過的路程都增加2km，在達(dá)到離地面240km的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程大約需要的時間是________秒．15．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且aeq\o\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.16．等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為Tn，并且滿足條件a1>1，a99a100－1>0，eq\f(a99－1,a100－1)<0.給出下列結(jié)論：①0<q<1；②a99a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于198.其中正確的結(jié)論是________．(填寫所有正確的序號)三、解答題17．成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是等比數(shù)列．18．已知數(shù)列{log2(an－1)}(n∈N*)為等差數(shù)列，且a1＝3，a3＝9.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：eq\f(1,a2－a1)＋eq\f(1,a3－a2)＋…＋eq\f(1,an＋1－an)<1.19．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項(xiàng)和．20．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)設(shè)bn＝eq\f(an,2n－1).證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.21．已知正項(xiàng)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Bn＝eq\f(1,4)(bn＋1)2，求{bn}的通項(xiàng)公式．22．甲、乙兩大超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經(jīng)營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為eq\f(a,2)(n2－n＋2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1萬元．(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達(dá)式；(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現(xiàn)在第幾年？

答案1．B2.A3.B4.C5.C6.A7.A8．C9.B10.B11.D12.B13.±114.1515.2n16.①②④17．(1)解設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a－d，a，a＋d，依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d,10,18＋d.依題意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝eq\f(5,4).所以{bn}是以eq\f(5,4)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn＝eq\f(5,4)·2n－1＝5·2n－3.(2)證明數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(\f(5,4)1－2n,1－2)＝5·2n－2－eq\f(5,4)，即Sn＋eq\f(5,4)＝5·2n－2.所以S1＋eq\f(5,4)＝eq\f(5,2)，eq\f(Sn＋1＋\f(5,4),Sn＋\f(5,4))＝eq\f(5·2n－1,5·2n－2)＝2.因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是以eq\f(5,2)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．18．(1)解設(shè)等差數(shù)列{log2(an－1)}的公差為d.由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，則d＝1.所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.(2)證明因?yàn)閑q\f(1,an＋1－an)＝eq\f(1,2n＋1－2n)＝eq\f(1,2n)，所以eq\f(1,a2－a1)＋eq\f(1,a3－a2)＋…＋eq\f(1,an＋1－an)＝eq\f(1,21)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,2n)<1.19．解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由aeq\o\al(2,3)＝9a2a6得aeq\o\al(2,3)＝9aeq\o\al(2,4)，所以q2＝eq\f(1,9).由條件可知q>0，故q＝eq\f(1,3).由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝eq\f(1,3)故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,3n).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3＝－(1＋2＋…＋n)＝－eq\f(nn＋1,2).故eq\f(1,bn)＝－eq\f(2,nn＋1)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，eq\f(1,b1)＋eq\f(1,b2)＋…＋eq\f(1,bn)＝－2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))]＝－eq\f(2n,n＋1).所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項(xiàng)和為－eq\f(2n,n＋1).20．(1)證明由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．(2)解由(1)知，bn＝n，eq\f(an,2n－1)＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1兩邊乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，兩式相減得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.21．解當(dāng)n＝1時，B1＝b1，∴b1＝eq\f(1,4)(b1＋1)2，解得b1＝1.當(dāng)n≥2時，bn＝Bn－Bn－1＝eq\f(1,4)(bn＋1)2－eq\f(1,4)(bn－1＋1)2＝eq\f(1,4)(beq\o\al(2,n)－beq\o\al(2,n－1)＋2bn－2bn－1)，整理得beq\o\al(2,n)－beq\o\al(2,n－1)－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0.∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1－2＝0.∴{bn}為首項(xiàng)b1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．∴bn＝2(n－1)＋1＝2n－1，即{bn}的通項(xiàng)bn＝2n－1.22．解(1)設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an，bn.則有a1＝a，當(dāng)n≥2時，an＝eq\f(a,2)(n2－n＋2)－eq\f(a,2)[(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n＝1，,n－1a，n≥2.))bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－2\b\lc\(\rc\)(\a\