解答題精準(zhǔn)限時(shí)訓(xùn)練4(新高考版)(原卷版+解析)

解答題精準(zhǔn)限時(shí)訓(xùn)練4（新高考版）(建議用時(shí)60-70分鐘）四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟。）17．（2021·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（2021·上海浦東新·一模）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過(guò)弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.（1）求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）19．（2021·河北·高三階段練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有紅色和白色小球共8個(gè).若從中任取2個(gè)球，取到一紅球和一白球的概率為，媽媽陪小明和小蘭兄弟倆玩游戲，游戲規(guī)劃如下：“現(xiàn)小明和小蘭兩人從盒子中輪流取出一個(gè)小球，小明先取，小蘭后取，然后小明再取，……，取后均不放回，直到有一人取到紅球時(shí)游戲終止，該人獲勝.”每個(gè)小球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的，用隨機(jī)變量表示游戲終止時(shí)所取出球的個(gè)數(shù).（1）游戲之前，分別求盒子中紅色和白色小球的個(gè)數(shù)；（2）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）請(qǐng)說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.20．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體中，側(cè)面為菱形，平面，平面，，是的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)點(diǎn)位于棱的什么位置時(shí)，面與面，所成的二面角的正弦值最?。?1．（2021·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為.記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）過(guò)軸上一點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解答題精準(zhǔn)限時(shí)訓(xùn)練4（新高考版）(建議用時(shí)60-70分鐘）四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟。）17．（2021·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，即18．（2021·上海浦東新·一模）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過(guò)弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.（1）求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）【答案】（1）米（2）55076元（1），岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離為米.（2）△中，，，，（），設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為元，則，當(dāng)，即時(shí)，（元）所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高約為55076元.19．（2021·河北·高三階段練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有紅色和白色小球共8個(gè).若從中任取2個(gè)球，取到一紅球和一白球的概率為，媽媽陪小明和小蘭兄弟倆玩游戲，游戲規(guī)劃如下：“現(xiàn)小明和小蘭兩人從盒子中輪流取出一個(gè)小球，小明先取，小蘭后取，然后小明再取，……，取后均不放回，直到有一人取到紅球時(shí)游戲終止，該人獲勝.”每個(gè)小球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的，用隨機(jī)變量表示游戲終止時(shí)所取出球的個(gè)數(shù).（1）游戲之前，分別求盒子中紅色和白色小球的個(gè)數(shù)；（2）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）請(qǐng)說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.【答案】（1）盒子中有紅色小球4個(gè)，有白色小球4個(gè).（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.（3）這個(gè)游戲規(guī)則不公平.（1）解：設(shè)盒子中有紅色小球（，且）個(gè)，得有白色小球（8-n）個(gè)，由從盒子中任取2個(gè)球，取到一紅球和一白球的概率為，有，解得，故盒子中有紅色小球4個(gè)，有白色小球4個(gè)；（2）解：隨機(jī)變量的可能取值分別為，有，，，，，故隨機(jī)變量的分布列為12345；（3）解：小明獲勝的概率為，小蘭獲勝的概率為，由，所以小明更容易獲勝，這個(gè)游戲規(guī)則不公平.20．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體中，側(cè)面為菱形，平面，平面，，是的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)點(diǎn)位于棱的什么位置時(shí)，面與面，所成的二面角的正弦值最小？【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)為棱靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)．【詳解】∵面，面，∴，，由側(cè)面為菱形知：，又，則，又，∴平面，面∴，則，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線，，為軸、軸、軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，（1）證明：由上，，，則，∴，又，，∴平面，而平面，∴平面平面（2）設(shè)，則，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，有，令，則，，∴．又平面，則平面的一個(gè)法向量為，∴．當(dāng)，即點(diǎn)為棱靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，面與面所成的二面角余弦值的絕對(duì)值最大，此時(shí)正弦值最?。?1．（2021·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為.記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）過(guò)軸上一點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.（1）設(shè)，則直線，的斜率之積為，∴整理得，即，因此，點(diǎn)的軌跡曲線的方程為.（2）設(shè)，，，.由，得，當(dāng)時(shí)，，，∴.又線段的中點(diǎn)為，即，∴線段的垂直平分線為，令，得，故.由，得，整理得，∴，則有，即.22．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）答案見(jiàn)解析（1）當(dāng)時(shí)，，，令，則，所以在上是減函數(shù).由于，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)x>1時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由于，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即的零點(diǎn)個(gè)數(shù).，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，有唯一