第10講三角恒等變換、解三角形(原卷版+解析)

第10講三角恒等變換、解三角形【題型精講】題型一:三角恒等變換1．（2021·福建寧德·高三期中）已知，則（）A． B． C． D．2．（2021·全國·高三月考（文））已知，則（）A． B．C． D．3．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學高三期中（文））已知，且，則（）A． B． C． D．題型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模擬預測（理））已知中，角所對的邊分別為，若，則的面積為（）A． B． C．1 D．2．（2021·河南·高三月考（文））在銳角中，角的對邊分別為，若則的取值范圍為（）A． B．C． D．3．（2021·江蘇省蘇州第十中學校高三月考）中，為邊的中點，，，，則的面積為___________.4．（2021·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，角，，則的取值范圍是__________．題型三：正余弦定理的實際應用1．（2021·湖北·高三月考）如圖，在凸四邊形ABCD中，，，若，則四邊形ABCD面積的最大值為________．2．（2021·河南·高三月考（文））如圖所示，公園直立的路燈桿BC正前方有棵挺拔的小樹NH，在路燈桿前的點A（BC，NH，點A在同一平面內）處測得路燈頂點B處和小樹頂點N處的仰角分別為45°和30°.再朝小樹正前方行走到點M，此時M，N，B三點在同一條直線上.在點M處測得MH=1m，小樹頂點N處的仰角為60°，則路燈桿BC的長為___________m.3．（2021·全國·高三月考（文））如圖，設的內角，，所對的邊分別為，，，若，，是外一點，，，則四邊形面積的最大值是___________.4．（2021·安徽省舒城中學三模（理））如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設立一個水文監(jiān)測中心（大小忽略不計），在其正東方向相距的點A處安裝一套監(jiān)測設備．為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準確，在半圓弧上的點B以及湖中的點C處，再分別安裝一套監(jiān)測設備，且，．定義：四邊形及其內部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”，設．則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________．【課后精練】一、單選題1．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預測（理））中國古代數(shù)學家趙爽設計的弦圖（如圖1）是由四個全等的直角三角形拼成，四個全等的直角三角形也可拼成圖2所示的菱形，已知弦圖中，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則圖2中菱形的一個銳角的余弦值為（）A． B． C． D．2．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學二模（文））已知函數(shù)．若關于x的方程在上有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．3．（2021·全國·高三專題練習）1471年德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（）A． B．C． D．4．（2021·遼寧·高三月考）人們通常把頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，因為它的底邊和腰長的比值等于黃金分割比，我們熟悉的五角星就是由5個黃金三角形和1個正五邊形組成的，如圖，三角形ABC就是一個黃金三角形，根據(jù)以上信息，可得=（）A． B． C． D．5．（2021·重慶市第七中學校高三月考）已知，則（）A． B． C． D．6．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））已知，則（）A． B． C． D．7．（2021·北京市第十三中學高三期中）從長度分別為的根細木棒中選擇三根圍成一個三角形，則最大內角（）A．可能是銳角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于8．（2021·陜西渭南·高三月考（理））在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則最小內角的正弦值為（）A． B． C． D．9．（2021·河南·高三月考（理））已知銳角三角形的三邊長分別為2，5，，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．（2021·福建·莆田第二十五中學高三月考）數(shù)學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法∶先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是（）A． B．C． D．11．（2021·全國·高三專題練習）旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃景觀臺等近年來熱搜不斷，因其驚險刺激的體驗備受追捧．某景區(qū)順應趨勢，為擴大營收，準備在如圖所示的山峰和山峰間建一座空中玻璃觀景橋．已知兩座山峰的高度都是，從點測得點的仰角，點的仰角以及，則兩座山峰之間的距離（）A． B． C． D．12．（2021·遼寧·模擬預測）英國數(shù)學家約翰?康威在數(shù)學上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點仍在一個圓上，這個圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．二、填空題13．（2021·廣東·湛江二十一中高三月考）若，則__________．14．（2021·廣西桂林·高三月考（文））下面有四個命題：①函數(shù)的最小正周期是.②函數(shù)的圖象關于直線對稱；③在同一坐標系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個公共點.④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象.其中真命題的序號是___________（寫出所有真命題的編號）15．（2021·廣東茂名·高三月考）某學生在勞動技術課活動中設計了如圖所示的幾何圖形，其中為半圓的圓心，則該圖形的面積為_________.16．（2021·全國·高三專題練習）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑.1996年經國務院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點之一.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美，小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為米，在它們之間的地面上的點（、、三點共線）處測得樓頂．教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度為______米．第10講三角恒等變換、解三角形【題型精講】題型一:三角恒等變換1．（2021·福建寧德·高三期中）已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以由，，故選：A2．（2021·全國·高三月考（文））已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：故選：B3．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學高三期中（文））已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴，∵，∴，則，∴，故選：B.題型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模擬預測（理））已知中，角所對的邊分別為，若，則的面積為（）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】由余弦定理得：，又因為，，又，所以，所以，故選：B2．（2021·河南·高三月考（文））在銳角中，角的對邊分別為，若則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】在中，由及正弦定理得：，，于是得因為為銳角三角形，則有，即，解得，有，則，所以的取值范圍為．故選：A3．（2021·江蘇省蘇州第十中學校高三月考）中，為邊的中點，，，，則的面積為___________.【答案】【詳解】不妨設在和中，由余弦定理由于故，代入長度可得在中，由余弦定理，又由面積公式，故答案為：4．（2021·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，角，，則的取值范圍是__________．【答案】．【詳解】如圖1，延長，，相交于點E．由圖易知將邊向上或向下平行移動，條件，并不改變．所以當點D趨近于點C時，最小當點D趨近于點E時，最大．因此問題轉化為在中求的值，以及在三角形中求的值．在中，,所以,由余弦定理易求得：在中，,所以,由正弦定理易求得：,即，所以所以的取值范圍是．故答案為：．題型三：正余弦定理的實際應用1．（2021·湖北·高三月考）如圖，在凸四邊形ABCD中，，，若，則四邊形ABCD面積的最大值為________．【答案】【詳解】如圖連接AC，設∠ADC，由，，，可知，∴四邊形ABCD面積：，其中，當時，.故答案為：.2．（2021·河南·高三月考（文））如圖所示，公園直立的路燈桿BC正前方有棵挺拔的小樹NH，在路燈桿前的點A（BC，NH，點A在同一平面內）處測得路燈頂點B處和小樹頂點N處的仰角分別為45°和30°.再朝小樹正前方行走到點M，此時M，N，B三點在同一條直線上.在點M處測得MH=1m，小樹頂點N處的仰角為60°，則路燈桿BC的長為___________m.【答案】##【詳解】設，在中，有，，所以，在中，有，，則，所以，由題意可知，可得，即，解得，所以.故答案為：.3．（2021·全國·高三月考（文））如圖，設的內角，，所對的邊分別為，，，若，，是外一點，，，則四邊形面積的最大值是___________.【答案】【詳解】在中，由余弦定理可得，即，所以，因為，所以為等邊三角形，在中，由余弦定理可得，由于，，代入上式可得，所以，所以當即時，最大為，四邊形面積的最大值為，故答案為：.4．（2021·安徽省舒城中學三模（理））如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設立一個水文監(jiān)測中心（大小忽略不計），在其正東方向相距的點A處安裝一套監(jiān)測設備．為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準確，在半圓弧上的點B以及湖中的點C處，再分別安裝一套監(jiān)測設備，且，．定義：四邊形及其內部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”，設．則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________．【答案】【詳解】在中，，，，，，則（其中），當時，取最大值，所以“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【課后精練】一、單選題1．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預測（理））中國古代數(shù)學家趙爽設計的弦圖（如圖1）是由四個全等的直角三角形拼成，四個全等的直角三角形也可拼成圖2所示的菱形，已知弦圖中，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則圖2中菱形的一個銳角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，大正方形的面積為25，其邊長為5，小正方形的面積為1，其邊長為1，每個直角三角形的面積為，設圖1中一個直角三角形的短直角邊長為m，則另一條直角邊長m+1，有，解得，設直角三角形中短邊對的角為，則，所以，即圖2中菱形的一個銳角的余弦值為.故選：A2．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學二模（文））已知函數(shù)．若關于x的方程在上有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】,當時，，所以，故的值域為，因為在上有解即在上有解，故即，故選：C.3．（2021·全國·高三專題練習）1471年德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由米勒問題的解答可知，此人應站在離塔水平距離為處觀察，設此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，則，則，故.故選：B4．（2021·遼寧·高三月考）人們通常把頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，因為它的底邊和腰長的比值等于黃金分割比，我們熟悉的五角星就是由5個黃金三角形和1個正五邊形組成的，如圖，三角形ABC就是一個黃金三角形，根據(jù)以上信息，可得=（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在中，，由正弦定理得，即，由倍角公式得，，解得，，故選：A5．（2021·重慶市第七中學校高三月考）已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，又因為，，所以，所以.故選：D6．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】A解：因為，所以，即，，所以故選：A7．（2021·北京市第十三中學高三期中）從長度分別為的根細木棒中選擇三根圍成一個三角形，則最大內角（）A．可能是銳角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于【答案】D【詳解】解：從長度分別為的根細木棒中選擇三根有，，，，，，，，，共10種取法，其中能夠圍成三角形的有，，，若三邊為，設最大角為，則，故最大角為鈍角，即；若三邊為，設最大角為，則，故最大角為鈍角即；若三邊為，設最大角為，則，故最大角為直角，即；故最大內角一定小于；故選：D8．（2021·陜西渭南·高三月考（理））在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則最小內角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為，所以則，可知的最小內角為角A，所以，又，所以.故選：D.9．（2021·河南·高三月考（理））已知銳角三角形的三邊長分別為2，5，，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因2，5，是三角形的三邊，則且，解得，設這個三角形中長為5，m的邊所對角分別為，顯然長為2的邊所對角必為銳角，而這個三角形為銳角三角形，則由余弦定理得：，且，即且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B10．（2021·福建·莆田第二十五中學高三月考）數(shù)學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法∶先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由已知得：，則，故扇形的面積為，法1：弓形的面積為，∴所求面積為．法2：扇形面積的3倍減去三角形面積的2倍，∴所求面積為．故選：D11．（2021·全國·高三專題練習）旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃景觀臺等近年來熱搜不斷，因其驚險刺激的體驗備受追捧．某景區(qū)順應趨勢，為擴大營收，準備在如圖所示的山峰和山峰間建一座空中玻璃觀景橋．已知兩座山峰的高度都是，從點測得點的仰角，點的仰角以及，則兩座山峰之間的距離（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知：，，，由余弦定理得故選：C12．（2021·遼寧·模擬預測）英國數(shù)學家約翰?康威在數(shù)學上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點仍在一個圓上，這個圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】康威圓的圓心即為三角形內切圓的圓心，正三角形內切圓的圓心即為中心，所以其康威圓半徑為，故面積為．故選:C.二、填空題13．（2021·廣東·湛江二十一中高三月考）若，則__________．【答案】【詳解】解：由得，整理得，