專題12比例式等積式的常見證明方法-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常考題專練（北師大版）

專題12比例式、等積式的常見證明方法題型一找線段對(duì)應(yīng)的三角形，利用相似證明1．如圖，中，、分別是、上的點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，，，，，；（2），，，，．2．如圖，已知在中，平分交于，點(diǎn)在延長線上，且．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1）平分，，．即，；（2），，，，，，，，即．3．已知如圖：在中，，在上，且交于，點(diǎn)在上，且．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1）在中，，．，．．．（2）證明．，．．．．．4．如圖，已知四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，，，，；（2），，，，，即：．5．如圖，在中，和是的高，連接．（1）求證：；（2）求證：．【解答】解：（1）證明：在中，和是的高，．又，；（2），．．又，．．．6．已知：如圖，四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，，，求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1），，，，，，，，，，（2），，同法可得，，，，，，．7．中，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在邊上，、交于點(diǎn)，，，，（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，，，，，；（2），，，．題型二利用等線段代換8．如圖，在四邊形中，，與相交于點(diǎn)，．求證：．【解答】證明：，，，，，，，即，，；9．如圖，中，是中線，且．求證：．【解答】證明：是中線，，，，，，，，．10．如圖，已知在中，，平分，，點(diǎn)在線段的延長線上，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，，，．11．已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，點(diǎn)在邊上，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求證：．【解答】證明：（1），，而，，，，，，；（2）作交的延長線于，如圖，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，即．12．在中，是的外角平分線，，求證：．【解答】證明：，，，是的外角平分線，，，，，，，．13．如圖，中，平分，的垂直平分線交的延長線于，求證：．【解答】證明：連接，的垂直平分線交于，，，，，，，，，，即．14．如圖，中，點(diǎn)、在邊上，且是等邊三角形，，求證：．【解答】證明：是等邊三角形，，，，，，，，，，．題型三找中間比利用等積式代換15．如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）求證：．【解答】解：（1）過點(diǎn)作交于，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，且，；（2）證明：延長至點(diǎn)，使，連、，則四邊形是平行四邊形．，，，，，，．16．如圖，已知：過的底邊的中點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)．求證：．【解答】證明：，，，，，為的中點(diǎn)，，，．17．如圖，在中，，．求證：．【解答】解：，，，，，即．18．已知：如圖，在四邊形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接交線段于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）連接，求證：．【解答】證明：（1），．又，．．，．．（2），，．．又，．．．19．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)，，交邊于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，，，，又，，即，；（2），，，，，，，，．20．已知，如圖，在四邊形中，，延長、相交于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1），，；（2），，，，，，．21．如圖，在中，點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，平分，且．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，是公共角，，，平分，，，（2），，，，，，．22．如圖，在中，是上一點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，過作的平行線交的延長線于，與交于，求證：．【解答】證明：，，，即，①，，，即，②由①②得：，．23．如圖，在中，為的中點(diǎn)，交于，交的延長線于，求證：．【解答】證明：過作交于，，，，，為的中點(diǎn)，，，．24．如圖，在中，，于，是上一點(diǎn)，于，求證：．【解答】證明：，，又，，，即，，，，，又，，即．2