2024-2025學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)金陵中學(xué)河西分校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)金陵中學(xué)河西分校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.）1．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．0 B．1 C．0和1 D．0和﹣12．（2分）關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0（m為常數(shù)）的兩實(shí)數(shù)根之和是（）A．2 B．﹣2 C．m2 D．﹣m23．（2分）某商品單價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)從144元降至81元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程（）A．144（1+x）2＝81 B．144（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝144 D．81（1﹣x）2＝1444．（2分）在某次比賽中，有10位同學(xué)參加了“10進(jìn)5”的淘汰賽，他們的比賽成績各不相同．其中一位同學(xué)要知道自己能否晉級(jí)，還需要了解10位參賽同學(xué)成績的（）A．平均數(shù) B．加權(quán)平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)5．（2分）如圖，正方形ABCD、等邊三角形AEF內(nèi)接于同一個(gè)圓，則的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（2分）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。7．（2分）寫一個(gè)一元二次方程，使它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：（寫出一個(gè)即可）．8．（2分）已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，則扇形的弧長為．9．（2分）圓錐的底面半徑為2，母線長為5的側(cè)面積為．10．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝4，則OC的長為．11．（2分）若一元二次方程x2﹣mx+1＝0（m為常數(shù)）的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是．12．（2分）某單位要招聘1名英語翻譯，小亮參加招聘考試的各門成績?nèi)绫硭救舭崖牎⒄f、讀、寫的成績按3：3：2：2計(jì)算平均成績，則小亮的平均成績?yōu)椋?xiàng)目聽說讀寫成績（分）7090858513．（2分）正六邊形的半徑是2，則其內(nèi)切圓半徑是．14．（2分）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形OEF的半徑和弧上．若∠O＝45°，OE＝5．15．（2分）如圖，將半徑OB＝4的半圓繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)A'．16．（2分）如圖，矩形ABCD中，，BC＝1，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，則AG的最大值為．三、解答題（本大題共11小題，共88分.；17．（8分）解下列一元二次方程（1）x（x+2）＝5（x+2）；（2）x2+5x+3＝0．18．（6分）一塊矩形菜地的面積是130m2．若將它的長、寬分別增加5m，8m，它恰成為一塊正方形菜地．請(qǐng)建立一元二次方程模型求原矩形菜地的長和寬．19．（7分）證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條?。阎喝鐖D，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，．求證：．證明：20．（7分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．21．（7分）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E，且AB＝CD．求證：ED＝EB．22．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0．（1）當(dāng)k為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）說明：無論k為何值，方程總有一個(gè)不變的根．23．（8分）甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射擊10次，結(jié)果如下：命中的環(huán)數(shù)/環(huán)5678910甲命中次數(shù)124210乙命中次數(shù)142111（1）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是環(huán)，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是環(huán)；（2）求甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（3）經(jīng)過計(jì)算可知，乙同學(xué)10次射擊的平均數(shù)是7環(huán)，方差是2.2環(huán)2．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，從集中趨勢和離散程度這兩個(gè)不同的角度來評(píng)價(jià)甲、乙兩名學(xué)生的射擊水平．24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，垂足為D，且＝，BE分別交CD、AC于點(diǎn)F、G．（1）求證：∠CAB＝∠DCB；（2）求證：F是BG的中點(diǎn)．25．（9分）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，切點(diǎn)是A，連接PO，與⊙O交于點(diǎn)C，連接PC．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，PA＝4，求BC的長度．26．（9分）【習(xí)題再現(xiàn)】（教材P74第10題）如圖（1），I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．BD和ID相等嗎？為什么？（不需解答，請(qǐng)看下面的問題）【逆向思考】（1）如圖（1），I為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．若DB＝DI＝DC；【拓展提高】（2）如圖（2），⊙O的半徑長為5，弦BC＝8上（不與B、C重合），I是△ABC的內(nèi)心．①點(diǎn)I到⊙O上某點(diǎn)的距離始終不變，請(qǐng)用無刻度的直尺找出該點(diǎn)；②AI的最大值為．27．（12分）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形（如圖2），這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實(shí)踐】（2）如圖3，圖①是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進(jìn)行操作，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)P為端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系為；【探究應(yīng)用】（3）類比【問題情境】中的方法解決問題：如圖5，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，AB＝5，CD＝3．（4）如圖6，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△PDC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，PF＝5，當(dāng)∠DAP最大時(shí)；（5）利用圖4中的結(jié)論解決問題：如圖7，分別過矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)作其內(nèi)部的⊙O的切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，BF＝b，DH＝c.（用含a，b，c的代數(shù)式表示）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)金陵中學(xué)河西分校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.）1．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．0 B．1 C．0和1 D．0和﹣1【解答】解：∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣8）＝0，則x＝0或x﹣3＝0，解得x1＝8，x2＝1，故選：C．2．（2分）關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0（m為常數(shù)）的兩實(shí)數(shù)根之和是（）A．2 B．﹣2 C．m2 D．﹣m2【解答】解：關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0（m為常數(shù)）的兩實(shí)數(shù)根之和是﹣＝2．故選：A．3．（2分）某商品單價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)從144元降至81元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程（）A．144（1+x）2＝81 B．144（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝144 D．81（1﹣x）2＝144【解答】解：依題意得：144（1﹣x）2＝81．故選：B．4．（2分）在某次比賽中，有10位同學(xué)參加了“10進(jìn)5”的淘汰賽，他們的比賽成績各不相同．其中一位同學(xué)要知道自己能否晉級(jí)，還需要了解10位參賽同學(xué)成績的（）A．平均數(shù) B．加權(quán)平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)【解答】解：由于總共有10個(gè)人，且他們的成績各不相同，要判斷是否能晉級(jí)．故選：D．5．（2分）如圖，正方形ABCD、等邊三角形AEF內(nèi)接于同一個(gè)圓，則的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知圖形是以正方形ABCD的對(duì)角線AC所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所對(duì)的圓周角，∴所對(duì)的圓心角等于8×15°＝30°，∴的度數(shù)為30°，故選：D．6．（2分）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F，H，G，OH，∴四邊形OHCG是正方形，由切線長定理可知：AF＝AG，∵DE是⊙O的切線，∴MD＝MF，EM＝EG，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴內(nèi)切圓的半徑＝（AC+BC﹣AB）＝1，∴CG＝1，∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3，∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝6AG＝6．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。7．（2分）寫一個(gè)一元二次方程，使它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x2+2x+1＝0（寫出一個(gè)即可）．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠4）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＝4，∴符合題意的一元二次方程可以為：x2+2x+6＝0，故答案為：x2+8x+1＝0（答案不唯一）．8．（2分）已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，則扇形的弧長為．【解答】解：弧長l＝＝．故答案為：．9．（2分）圓錐的底面半徑為2，母線長為5的側(cè)面積為10π．【解答】解：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：πrl＝π×2×5＝10π，故答案為：10π．10．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝4，則OC的長為．【解答】解：∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∴CE＝DE＝CD＝8，設(shè)OC＝r，則OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）4+22＝r7，解得r＝，即OC的長為．故答案為．11．（2分）若一元二次方程x2﹣mx+1＝0（m為常數(shù)）的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是2﹣．【解答】解：設(shè)方程的根為：x1＝2+，x2，則（2+）?x2＝1，解得x3＝＝2﹣．故答案為：6﹣．12．（2分）某單位要招聘1名英語翻譯，小亮參加招聘考試的各門成績?nèi)绫硭救舭崖?、說、讀、寫的成績按3：3：2：2計(jì)算平均成績，則小亮的平均成績?yōu)?2分．項(xiàng)目聽說讀寫成績（分）70908585【解答】解：小亮的平均成績?yōu)椋海?0×3+90×3+85×2+85×2）÷（3+7+2+2）＝（210+270+170+170）÷10＝820÷10＝82（分）．故小亮的平均成績?yōu)?（2分）．故答案為：8（6分）．13．（2分）正六邊形的半徑是2，則其內(nèi)切圓半徑是．【解答】解：如圖，⊙O是正六邊形的內(nèi)切圓，連接OA，OB，∴OH⊥AB，∵∠AOB＝＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAH＝60°．∵OH⊥AB，∴sin∠OAH＝sin60°＝＝，∵正六邊形的半徑是2，∴AO＝2，∴OH＝，∴內(nèi)切圓半徑是．故答案為：．14．（2分）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形OEF的半徑和弧上．若∠O＝45°，OE＝5．【解答】解：如圖，連接OD，∴OD＝OE＝5，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝AD＝BC，在Rt△AOB中，∠AOB＝45°，∴∠OAB＝45°＝∠AOB，∴AB＝OB＝BC＝DC，∴OC＝2DC，在Rt△OCD中，OD5＝OC2+DC2，∴22＝（2DC）8+（DC）2，解得DC＝，∴AB＝DC＝．故答案為：．15．（2分）如圖，將半徑OB＝4的半圓繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)A'．【解答】解：由題知，∵半徑OB＝4，∴直徑AB＝8，∴＝．由旋轉(zhuǎn)可知，S半圓O＝S半圓O′．又∵S扇形BAA′+S半圓O′＝S陰影+S半圓O，∴．故答案為：．16．（2分）如圖，矩形ABCD中，，BC＝1，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，則AG的最大值為1．【解答】解：連接AC，交EF于O，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB＝，BC＝1，∴AC＝＝＝2，∵動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB，D運(yùn)動(dòng)，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝8，∵AG⊥EF，∴點(diǎn)G在以AO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴AG為直徑時(shí)，AG有最大值為1，故答案為：1．三、解答題（本大題共11小題，共88分.；17．（8分）解下列一元二次方程（1）x（x+2）＝5（x+2）；（2）x2+5x+3＝0．【解答】解：（1）∵x（x+2）＝5（x+8），∴x（x+2）﹣5（x+2）＝0，則（x+2）（x﹣8）＝0，∴x+2＝5或x﹣5＝0，解得x5＝﹣2，x2＝6；（2）∵a＝1，b＝5，∴Δ＝82﹣4×4×3＝13＞0，則x＝＝，即x1＝，x2＝．18．（6分）一塊矩形菜地的面積是130m2．若將它的長、寬分別增加5m，8m，它恰成為一塊正方形菜地．請(qǐng)建立一元二次方程模型求原矩形菜地的長和寬．【解答】解：設(shè)正方形菜地的邊長為xm，則原矩形菜地的長為（x﹣5）m，依題意得：（x﹣5）（x﹣8）＝130，整理得：x2﹣13x﹣90＝0，解得：x4＝18，x2＝﹣5（不合題意，舍去），∴x﹣6＝18﹣5＝13，x﹣8＝18﹣4＝10．答：原矩形菜地的長為13m，寬為10m．19．（7分）證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條?。阎喝鐖D，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD．求證：CE＝DE，＝，＝．證明：【解答】解：已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD．求證：CE＝DE，＝，＝．證明：連接OC、OD，在△OCD中，∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∠COB＝∠DOB，∴∠AOC＝∠AOD，∴＝，＝．故答案為：AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．20．（7分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．21．（7分）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E，且AB＝CD．求證：ED＝EB．【解答】證明：如圖，連接BD．∵AB＝CD，∴＝．∴﹣＝﹣．∴＝．∴∠B＝∠D．∴BE＝DE．22．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0．（1）當(dāng)k為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）說明：無論k為何值，方程總有一個(gè)不變的根．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝（k+4），∴Δ＝b7﹣4ac＝（k+4）6﹣4×1×（k+7）＝k2+4k+6＝（k+2）2．∵方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴（k+2）2＞0，即k+5≠0，∴k≠﹣2，∴當(dāng)k≠﹣6時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）∵x2﹣（k+4）x+k+2＝0，即（x﹣1）[x﹣（k+2）]＝0，∴x﹣1＝8或x﹣（k+3）＝0，∴x2＝1，x2＝k+8，∴無論k為何值，方程總有一個(gè)不變的根為x＝1．23．（8分）甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，在相同條件下各射擊10次，結(jié)果如下：命中的環(huán)數(shù)/環(huán)5678910甲命中次數(shù)124210乙命中次數(shù)142111（1）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是7環(huán)，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是6環(huán)；（2）求甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（3）經(jīng)過計(jì)算可知，乙同學(xué)10次射擊的平均數(shù)是7環(huán)，方差是2.2環(huán)2．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，從集中趨勢和離散程度這兩個(gè)不同的角度來評(píng)價(jià)甲、乙兩名學(xué)生的射擊水平．【解答】解：（1）根據(jù)題意，把甲學(xué)生10次射擊命中的環(huán)數(shù)從小到大排列后，所以甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是＝7，乙同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)最多的是6環(huán)，所以眾數(shù)是6；故答案為：7；6；（2）甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：，甲同學(xué)10次射擊命中環(huán)數(shù)的方差為：＝×[（4﹣5）2+4×（7﹣6）3+（7﹣7）4+2×（7﹣4）2+（7﹣6）2]＝1.3；（3）從平均水平看，甲、乙兩名學(xué)生射擊的環(huán)數(shù)平均數(shù)均為7環(huán)；從離散程度看，S2甲＜S5乙，甲的成績比乙更加穩(wěn)定；從集中趨勢看，甲的眾數(shù)比乙大；所以甲的射擊水平更好一些．24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，垂足為D，且＝，BE分別交CD、AC于點(diǎn)F、G．（1）求證：∠CAB＝∠DCB；（2）求證：F是BG的中點(diǎn)．【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠DCB；（2）∵弧CE＝弧BC，∴∠CBE＝∠CAB，∵∠CAB＝∠DCB，∴∠CBE＝∠BCD，∴FB＝FC，∵∠CGB+∠CBG＝∠DCG+∠BCF＝90°，∴∠CGB＝∠DCG，∴FC＝FG，∴FB＝FG，∴F是BG的中點(diǎn)．25．（9分）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，切點(diǎn)是A，連接PO，與⊙O交于點(diǎn)C，連接PC．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，PA＝4，求BC的長度．【解答】（1）證明：如圖1，連接OC，∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥AP，∵BC∥PO，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠AOP＝∠COP，在△AOP和△COP中，，∴△AOP≌△COP（SAS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接AC，在Rt△OAP中，OP＝，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OAP＝∠BCA，∵∠AOP＝∠CBA，∴△AOP∽△CBA，∴＝，即＝，解得：BC＝．26．（9分）【習(xí)題再現(xiàn)】（教材P74第10題）如圖（1），I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．BD和ID相等嗎？為什么？（不需解答，請(qǐng)看下面的問題）【逆向思考】（1）如圖（1），I為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．若DB＝DI＝DC；【拓展提高】（2）如圖（2），⊙O的半徑長為5，弦BC＝8上（不與B、C重合），I是△ABC的內(nèi)心．①點(diǎn)I到⊙O上某點(diǎn)的距離始終不變，請(qǐng)用無刻度的直尺找出該點(diǎn)；②AI的最大值為10﹣2．【解答】（1）證明：如圖（1），連接IB，∵DB＝DI＝DC，∴∠DBI＝∠DIB，＝，∴∠DAB＝∠DAC，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠DBI＝∠IBC+∠DBC，∠DIB＝∠IBA+∠DAB，∴∠IBC+∠DBC＝∠IBA+∠DAB，∴∠IBC＝∠IBA，∴點(diǎn)I是△ABC中∠BAC的平分線與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，∴I為△ABC的內(nèi)心．（2）解：①如圖（2），延長AI交⊙O于點(diǎn)M，點(diǎn)M就是所求的點(diǎn)．理由：連接BI、BM，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠MAB＝∠MAC，∠IBC＝∠IBA，∴＝，∴M為的中點(diǎn)，∴MB的長為定值，∵∠MBC＝∠MAC，∴∠MBC＝∠MAB，∴∠MBI＝∠MBC+∠IBC＝∠MAB+∠IBA＝∠MIB，∴MI＝MB，∴點(diǎn)I到⊙O上的點(diǎn)M的距離始終不變，∴點(diǎn)M就是所求的點(diǎn)．②如圖（2），連接OA、OM，∵⊙O的半徑長為5，弦BC＝8的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝OM＝5，OM⊥BCBC＝2，∴∠OLB＝∠MLB＝90°，∴OL＝＝＝3，∴ML＝OM﹣OL＝5﹣5＝2，∴MI＝MB＝＝＝2，∵AM≤OA+OB，∴AI+2≤7+5，∴AI≤10﹣2，∴AI的最大值為10﹣2，故答案為：10﹣7．27．（12分）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形（如圖2），這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的2倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實(shí)踐】（2）如圖3，圖①是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進(jìn)行操作，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)P為端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系為PA2+PC2＝PB2+PD2；【探究應(yīng)用】（3）類比【問題情境】中的方法解決問題：如圖5，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，AB＝5，CD＝3π．（4）如圖6，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△PDC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，PF＝5，當(dāng)∠DAP最大時(shí)；（5）利用圖4中的結(jié)論解決問題：如圖7，分別過矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)作其內(nèi)部的⊙O的切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，BF＝b，DH＝c.（用含a，b，c的代數(shù)式表示）【解答】解：如