數(shù)學(xué)教材梳理二倍角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學(xué)1。二倍角公式在兩角和三角公式中,令α=β就可以得到下面的結(jié)論:sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α—sin2α,tan2α=，由于sin2α+cos2α=1，所以公式cos2α=cos2α-sin2α還可以變形為cos2α=2cos2α—1,cos2α=1-2sin2α.上面的幾個(gè)等式稱為倍角公式.倍角公式是和角公式的特例.記憶要訣在兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式的推導(dǎo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶.深化升華倍角公式的推導(dǎo)，是化一般為特殊的化歸思想的具體運(yùn)用。對于倍角公式應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)在二倍角的正、余弦公式中，角α的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)，在二倍角的正切公式中，α≠+,α≠kπ+(k∈Z）.特別地，當(dāng)α=+kπ(k∈Z）時(shí)，顯然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的,這時(shí)求tan2α的值,可用誘導(dǎo)公式進(jìn)行，即tan2（+kπ）=tan（π+2kπ)=tanπ=0。公式中的角可以是具體的數(shù)，也可以是字母和代數(shù)式。(2）二倍角只是一個(gè)相對的概念,如：是的倍角，α±β是的倍角，在公式中角α可以是數(shù)、字母或代數(shù)式，是一個(gè)不可分割的整體.在運(yùn)用倍角公式對半角的三角函數(shù)進(jìn)行變換時(shí)，無論正用還是逆用，都可直接使用這一公式.例sin=2sincos，cos=cos2-sin2=2cos2—1=1—2sin2；sin3α·cos3α=(2sin3αcos3α)=sin6α；cos22α—sin22α=cos4α；sincos=sin3α；tan3x=；=tan70°等。應(yīng)熟悉倍角公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，加強(qiáng)訓(xùn)練.（3)二倍角公式的幾種變形形式：(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α；cos2α=；sin2α=.其中升冪換半角公式是1+cosα=2cos2，1—cosα=2sin2,利用該公式能消去常數(shù)項(xiàng),便于提取公因式化簡三角函數(shù)式；降冪換倍角公式是cos2α=，sin2α=，利用該公式能使之降次,便于合并同類項(xiàng)化簡三角函數(shù)式。深化升華由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得sin2α=、cos2α=，利用這兩個(gè)公式我們可以用單角的正切表示二倍角的三角函數(shù).2.二倍角公式的應(yīng)用利用倍角公式可以求值、證明三角恒等式和化簡三角函數(shù)式。在運(yùn)用公式時(shí)，要注意審查公式成立的條件，要做到三會：會正用;會逆用；會變形應(yīng)用.公式的正用是常見的,但逆用和變形使用往往容易被忽視，而公式的逆用和變形使用更能開拓思路.只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才真正掌握了公式的應(yīng)用。學(xué)法一得運(yùn)用二倍角公式的先決條件是認(rèn)識它的本質(zhì)，要善于避開表面的東西，正確捕捉公式的原形，更好地運(yùn)用公式.典題·熱題知識點(diǎn)1二倍角公式例1已知sinα=,α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.思路分析：本題是倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用及已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法。思路一:可根據(jù)已知條件求出cosα，再利用倍角公式求出sin2α,cos2α，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出tan2α。此外，也可以求出tanα的值利用倍角公式求tan2α。思路二：也可以只求出sin2α，cos2α，tan2α中的一個(gè),其余的利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解。解:方法一∵sinα=,α∈（,π），∴cosα=-=-.∴sin2α=2sinαcosα=-，cos2α=1-2sin2α=，tan2α=-.方法二∵sinα=,∴cos2α=1—2sin2α=。又∵α∈(，π），∴2α∈(π，2π).∴sin2α=-=—，tan2α=-。方法歸納在三角部分經(jīng)常用到“湊公式”的方法解題，但要注意已知條件和所求式子中角之間的關(guān)系.當(dāng)已知一個(gè)三角函數(shù)值而求其他的三角函數(shù)值時(shí)，一定要注意角的范圍，若角的范圍沒給,這就需要分類討論。例2求證：=.思路分析：可將等式進(jìn)行等價(jià)變形，再利用倍角公式進(jìn)行證明。證明:原式等價(jià)于=tan2θ，左邊==tan2θ=右邊。方法歸納在三角恒等式的證明中，如果原等式不易證明時(shí)，可將等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形，轉(zhuǎn)化為較易證明的等式.例3若＜x＜2π,化簡。思路分析：本題的關(guān)鍵是將根號下的式子化為完全平方式以便于去掉根號。根據(jù)本題的式子特點(diǎn)，可重復(fù)利用二倍角余弦公式的變形.解：由于＜x＜2π，則＜＜π。所以原式=。方法歸納解答這類題，在實(shí)施脫根號的過程中要注意對符號的選取.深化升華對于三角函數(shù)式的化簡，要明確化簡的目標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)?；喌淖詈蠼Y(jié)果，三角函數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)最少，次數(shù)應(yīng)盡可能地低，能化為常數(shù)的一定要化為常數(shù)，能不用分式就盡可能地不用分式。例4求sin6°cos24°sin78°cos48°的值。思路分析：將78°的正弦值化為12°的余弦值，重復(fù)利用二倍角公式化簡求值。解：由于sin78°=cos12°，所以原式=sin6°cos12°cos24°cos48°==·=·=·=.方法歸納形如cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N且n＞1)或能夠化為cosαcos2αcos4α…cos2n—1α(n∈N且n＞1)的三角函數(shù)式，由于它們的角是2倍關(guān)系，可將分子、分母同乘以最小角的正弦,運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行化簡。例5求(tan10°—）sin40°的值.思路分析：利用切割化弦，再逆用差角公式和倍角公式.解法一:（tan10°—)sin40°=()sin40°==-1。解法二：(tan10°—)sin40°=（tan10°-tan60°)sin40°=()sin40°=·sin40°==—1.方法歸納(1)根據(jù)本題的特點(diǎn)，采用切割化弦是解答本題的關(guān)鍵一步，它為逆用差角公式和倍角公式鋪平了道路。（2)在三角函數(shù)式的化簡或求值的過程中,還要注意利用和、差的三角函數(shù)公式，它可將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的三角函數(shù)式，為化簡或求值提供方便。例6已知tanα=，tanβ=,α、β均為銳角，求α+2β的值。思路分析:根據(jù)已知條件選擇正切函數(shù),先求出α+2β的正切值,再根據(jù)題設(shè)條件求出α+2β的范圍，并使正切函數(shù)在此范圍內(nèi)只有一個(gè)值，然后即可求α+2β的值.解:∵tanα=，tanβ=，α、β均為銳角,∴0＜α，β＜.∴0＜α+2β＜.又∵tan2β==，∴tan（α+2β）===1.∴α+2β=.方法歸納在給值求角時(shí)，一般是選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定角的范圍，利用三角函數(shù)的值求出角的大小,其中確定角的范圍是一個(gè)關(guān)鍵，一定要使角在此范圍內(nèi)和三角函數(shù)值是一一對應(yīng)的.此外也可根據(jù)角的范圍來選擇三角函數(shù)的名稱。問題·探究交流討論探究問題是否存在三個(gè)內(nèi)角都適合方程cos2x+2sinxsin2x=2cosx的三角形？探究過程：師：這是一個(gè)探索性問題，解決這類題時(shí)可先假設(shè)結(jié)論存在，然后再利用所學(xué)知識進(jìn)行推理，探求結(jié)論.如果能求出，則結(jié)論存在，否則不存在.對于這個(gè)問題考查的知識是什么?學(xué)生甲:由于所給的等式中既有單角又有倍角，則用到了二倍角公式。處理這個(gè)問題可先從已知條件cos2x+2sinxsin2x=2cosx入手，將二倍角的正弦展開建立關(guān)于x的三角方程，再結(jié)合三角形三個(gè)內(nèi)角和是π這一性質(zhì)即可。師：處理這個(gè)問題的具體操作步驟是怎樣的？學(xué)生乙:我知道,顯然方程可化為cos2x+4sin2xcosx=2cosx,即cos2x（2cosx-1)=0,解得cos2x=0或cosx=.但接下來怎樣求x的值我還不清楚。學(xué)生丙：可以三角形這一前提條件，在這一前提下可得x的取值只能是，,。而在這些值中只有++=π，所以存在三個(gè)內(nèi)角都適合cos2x+2sinxsin2x=2cosx的三角形，它是一個(gè)正三角形。探究結(jié)論:存在，它是一個(gè)正三角形。思維陷阱探究問題在處理問題“已知cos（x+)=,≤x＜，求cos（2x+）的值”時(shí)，一個(gè)同學(xué)給出了下面的解題過程:因?yàn)閏os(x+)=，所以cos（2x+)=2cos2(2x+）—1=2×—1=—。上述解法是否正確？探究過程:二倍角只是一個(gè)相對的概念，在公式中角α可以是數(shù)、字母或代數(shù)式，是一個(gè)不可分割的整體。在上面的解題過程中以為2x是x的二倍，則2x+也是x+的兩倍了，說明片面地理解了二倍角的概念。而事實(shí)上x+的二倍應(yīng)是2x+。探究結(jié)論:上面的解法不正確,正確的