中考數(shù)學(xué)必學(xué)幾何模型：將軍飲馬模型(幾何最值)含答案解析

中考數(shù)學(xué)必學(xué)幾何模型：將軍飲馬模型（幾何最值）將軍飲馬模型“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問(wèn)題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．模型1：直線與兩定點(diǎn)模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。B接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最?。鼽c(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．連接AB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最小．連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最小值為0模型實(shí)例例1：如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，則PD＋PE最小值是．解答：如圖所示，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)P為BE與AC的交點(diǎn)時(shí)，PD＋PE最小，且線段BE的長(zhǎng)．∵正方形ABCD的面積為12，∴其邊長(zhǎng)為∵△ABE為等邊三角形，∴BE＝AB＝．∴PD＋PE的最小值為．例2：如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是多少？解答：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，連接A′B并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是的值最大時(shí)的點(diǎn)，＝A′B．∵△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．∵點(diǎn)A、A′關(guān)于CD對(duì)稱，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等邊三角形，∴A′B＝BC＝4．∴的最大值為4．練習(xí)1．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC＋ED的最小值是．解：解：過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到，使O=OC，連接D，交AB于E，連接B，

此時(shí)DE+CE=DE+E=D的值最小．

連接B，由對(duì)稱性可知∠BE=∠CBE=45°，∴∠CB=90°，∴B⊥BC，∠BC=∠BC=45°，∴BC=B=2，∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD=1，

根據(jù)勾股定理可得：D=，故EC+ED的最小值是．2．如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，y），當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求y的值．解：解：（1）作A關(guān)于x=3的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線x=3與點(diǎn)C．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于x=3對(duì)稱，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．當(dāng)點(diǎn)B、C、A′在同一條直線上時(shí)，A′C+BC有最小值，即△ABC的周長(zhǎng)有最小值．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于x=3對(duì)稱，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，3）．設(shè)直線BA′的解析式y(tǒng)=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入得：k＝，b＝?．∴y=x-．將x=3代入函數(shù)的解析式，∴y的值為3．如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點(diǎn)，且DM＝3，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求|DN－MN|的最小值與最大值．解：解：當(dāng)ND=NM時(shí)，即N點(diǎn)DM的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，|DN-MN|=0，

因?yàn)閨DN-MN|≤DM，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)|DN-MN|=DM=3，

所以|DN-MN|的最小值為0，最大值為3模型作法結(jié)論點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長(zhǎng)最小．分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長(zhǎng)的最小值為P′P″點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。鼽c(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過(guò)P′作P′C⊥OA交OB于D，點(diǎn)C、點(diǎn)D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C點(diǎn)P、Q在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得四邊形PQDC周長(zhǎng)最小．分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長(zhǎng)的最小值為PQ＋P′Q′模型實(shí)例如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)，且.在上有一點(diǎn)，上一點(diǎn)．若立△周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是多少？解答如圖，作點(diǎn)分別關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，分別交、于點(diǎn)、，連接、、、.，．△的周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng).由對(duì)稱性可得∠EOQ=∠POQ，∠FOR=∠POR，∠EOF=2∠AOB=60°．△是正三角形．．即△周長(zhǎng)最小值為10.模型2/角與定點(diǎn)1．已知，，為內(nèi)一定點(diǎn)，為上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，當(dāng)△的周長(zhǎng)取最小值時(shí)：(1)找到、點(diǎn)，保留作圖痕跡；(2)求此時(shí)等于多少度.如果∠=θ，∠APB又等于多少度？1.解答（1）做點(diǎn)分別關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接分別交于點(diǎn)．點(diǎn)即為所求，此時(shí)△的周長(zhǎng)最?。ǎ玻唿c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴∠＝∠，∠=∠，∠=180°-∠=140°．∴在△中，∠+∠=180°-140°=40°，∴∠+∠=40°．∴∠=100°．如果∠=θ，∴∠=180°-θ，∠+∠=θ．又∵∠=2∠，∠=2∠∴∠+∠=2（∠+∠）=2θ∴∠=180°-2θ．2．如圖，四邊形中，,，在、上分別找一點(diǎn)、，使△周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)的度數(shù)．2．解答如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與、的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．此時(shí)△周長(zhǎng)最小．∵∠=110°，∴∠+∠=180°-110°=70°．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：∠=∠，∠=∠，∴∠+∠=2(∠+∠)=2×70°=140°．3．如圖，在軸上找一點(diǎn)，在軸上找一點(diǎn)，使最小，并求直線的解析式及點(diǎn)、的坐標(biāo)．3．解答作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接分別交軸、軸于點(diǎn)、，此時(shí)最?。蓪?duì)稱性可知（-1,3），（3，-1）．易求得直線的解析式為，即直線的解析式．當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）．當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）．4．如圖，，、占分別為射線、上兩定點(diǎn)，且，，點(diǎn)、分別為射線、上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是多少？4．解答作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，連接、．則，此時(shí)最?。蓪?duì)稱可知，，，，，．．作⊥于點(diǎn)，在Rt△中，∴，∴，∴的最小值是．模型3兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)模型作法結(jié)論BBAld如圖，在直線l上找M、N兩點(diǎn)(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.BBAlMNA′A"將A向右平移d個(gè)單位到A′，作A′關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A"，連接A"B與直線l交于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移d個(gè)單位即為M，點(diǎn)M，N即為所求.AM＋MN＋NB的最小值為A"B＋dAABl2l1如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d，在l1、l2分別找M、N兩點(diǎn)，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．AABl2l1A′NM將A向下平移d個(gè)單位到A，連接A′B交直線l2于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥l1，連接AM.點(diǎn)M、N即為所求．AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d.例題：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF＝2.當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解答：如圖，將點(diǎn)D向右平移2個(gè)單位得到D'(2，2)，作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D"(2，－2)，連接BD"交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)F為所求作的點(diǎn)，且四邊形BDEF周長(zhǎng)最小.理由：∵四邊形BDEF的周長(zhǎng)為BD＋DE＋EF＋BF，BD與EF是定值.∴BF＋DE最小時(shí)，四邊形BDEF周長(zhǎng)最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"設(shè)直線BD"的解析式為y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝EQ\F(3,2)，b＝－5，∴直線BD"的解析式為y＝EQ\F(3,2)x－5．令y＝0，得x＝EQ\F(10,3)，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(EQ\F(10,3)，0)．∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(EQ\F(4,3)，0)．練習(xí)1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點(diǎn)．(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE的周長(zhǎng)最小值；(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝1，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．解答：(1)如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE，由模型可知△CDE的周長(zhǎng)最?。咴诰匦蜲ACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB的中點(diǎn)，∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).設(shè)直線CD'為y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，∴直線CD'為y＝2x－2.令y＝0，得x＝1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0).∴OE＝1，AE＝2.利用勾股定理得CD＝EQ\R(,13)，DE＝EQ\R(,5)，CE＝2EQ\R(,5)，∴△CDE周長(zhǎng)的最小值為EQ\R(,13)＋3EQ\R(,5)．(2)如圖，將點(diǎn)D向右平移1個(gè)單位得到D'(1，2)，作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″(1，－2)，連接CD″交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移1個(gè)單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)F為所求作的點(diǎn)，且四邊形CDEF周長(zhǎng)最?。碛桑骸咚倪呅蜟DEF的周長(zhǎng)為CD＋DE＋EF＋CF，CD與EF是定值，∴DE＋CF最小時(shí)，四邊形BDEF周長(zhǎng)最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，設(shè)直線CD″的解析式為y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直線CD″