2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)章節(jié)總結(jié)(精講)(學生版+解析)

第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)章節(jié)總結(jié)第一部分：典型例題講解題型一：函數(shù)的定義域1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·安徽安慶·開學考試）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為4．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，則的定義域為．5．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.題型二：函數(shù)的值域(最值）1．（23-24高二上·廣東廣州·期末）函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．42．（多選）（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B． C． D．3．（2023高三上·全國·專題練習）函數(shù)的值域是．4．（2024高三·全國·專題練習）求函數(shù)的最大值．5．（23-24高一上·吉林·期末）已知函數(shù)，.(1)時，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.6．（2023高三·全國·專題練習）求函數(shù)的值域．7．（23-24高一上·重慶南岸·階段練習）（1）已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍；（2）的值域為，求實數(shù)的取值范圍．題型三：求函數(shù)的解析式1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·天津南開·期中）已知，則函數(shù)的表達式為（

）A． B．C． D．3．（多選）（23-24高一上·山西太原·期中）已知函數(shù)則（）A． B．C．的最小值為-1 D．的圖象與x軸有2個交點4．（23-24高一上·湖北·期末）函數(shù)滿足，請寫出一個符合題意的函數(shù)的解析式.5．（2024高一·全國·專題練習）已知是二次函數(shù)且，，求.6．（23-24高一上·河北·階段練習）（1）已知，求的解析式；（2），求的解析式.題型四：分段函數(shù)問題1．（23-24高三上·安徽六安·期末）函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數(shù)，若，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全國·專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（23-24高一下·廣西·開學考試）已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是.5．（23-24高一下·上?！るA段練習）若函數(shù)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍.題型五：函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東·一模）已知，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域為且圖象關于軸對稱，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（

）A． B．C． D．4．（2024高一·全國·專題練習）定義上單調(diào)遞減的奇函數(shù)滿足對任意，若恒成立，求的范圍.5．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為.題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應用1．（2024·山東煙臺·一模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北滄州·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且．若，則（

）A．506 B．1012 C．2024 D．40483．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）已知定義在R上的偶函數(shù)，其周期為4，當時，，則（

）A． B．的值域為C．在上單調(diào)遞減 D．在上有8個零點4．（多選）（23-24高一下·江西·開學考試）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對于任意的，，都有，則（

）A．的圖象關于點中心對稱 B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在處取得最大值5．（多選）（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)的定義域為，其圖象關于中心對稱，若，則（

）A． B．C． D．6．（23-24高三下·陜西·開學考試）已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則方程在上的實根個數(shù)為．題型七：不等式中的恒成立問題1．（23-24高一上·重慶·階段練習）已知函數(shù).若，使得成立，則實數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江蘇揚州·階段練習）已知正實數(shù)滿足，且對任意恒成立，則實數(shù)的最小值是.3．（23-24高一下·上海金山·階段練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.4．（23-24高一下·北京延慶·階段練習）設為常數(shù)，且，函數(shù)，若對任意的實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．5．（23-24高一上·北京·階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域.(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.6．（23-24高一上·北京·期中）若二次函數(shù)滿足，且(1)確定函數(shù)的解析式；(2)若在區(qū)間上不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題型八：不等式中的能成立問題1．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)當時，記的最大值為．，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍．2．（23-24高一下·黑龍江大慶·開學考試）已知函數(shù)，(1)若的值域為，求滿足條件的整數(shù)的值；(2)若非常數(shù)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，，，求的取值范圍.3．（23-24高一下·云南紅河·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，，使得不等式成立，求的取值范圍.4．（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍；(3)若對任意，都存在，使得成立，求實數(shù)t的取值范圍.5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求的值，判斷的單調(diào)性并說明理由；(2)若存在，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．題型九：函數(shù)的圖象1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）以下最符合函數(shù)的圖像的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三下·四川遂寧·開學考試）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·福建·模擬預測）函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B．C． D．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關系如圖，那么點P所走的圖形是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

題型十：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為（

）A． B．0 C． D．13．（2024·河北滄州·模擬預測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．154．（2024·河南鄭州·模擬預測）函數(shù)是偶函數(shù)，則a的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，，則.6．（2024·河南·模擬預測）若是偶函數(shù)，則實數(shù)．題型十一：函數(shù)中的零點問題1．（2024·陜西·二模）已知，是函數(shù)的兩個零點，則（

）A．1 B．e C． D．2．（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，對任意的，都有成立，且當時，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設，函數(shù)的零點分別為，則（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)恰有3個零點，則整數(shù)的取值個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個數(shù).題型十二：函數(shù)模型的應用1．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．2．（2024·四川宜賓·二模）根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型，其中（單位：萬輛）為第年底新能源汽車的保有量，為年增長率，為飽和度，為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬輛，以此為初始值，以后每年的增長率為，飽和度為1300萬輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．65萬輛 B．64萬輛 C．63萬輛 D．62萬輛3．（23-24高一上·廣東東莞·期末）某企業(yè)從2011年開始實施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值（萬元）與新政策實施年數(shù)（年）的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，預測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（

）（附：）年份201120122013201420152016201720182019202020216．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，聯(lián)合國教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)大會通過決議，將中國“普洱景邁山古茶樹文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為全球首個茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗表明，某種普洱茶用95的水沖泡，等茶水溫度降至60飲用，口感最佳.某科學興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：）與時間（單位：分鐘）的部分數(shù)據(jù)如下表所示：時間／分鐘012345水溫／95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)給出下列三種函數(shù)模型：①，②，③，請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應的解析式.(2)根據(jù)（1）中所求模型，（i）請推測實驗室室溫（注：茶水溫度接近室溫時，將趨于穩(wěn)定）；（ii）求剛泡好的普洱茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：）第二部分：新定義題1．（23-24高二下·重慶·階段練習）對于整系數(shù)方程，當?shù)淖罡叽蝺绱笥诘扔?時，求解難度較大.我們常采用試根的方法求解：若通過試根，找到方程的一個根，則，若已經(jīng)可以求解，則問題解決；否則，就對再一次試根，分解因式，以此類推，直至問題解決.求根的過程中常用到有理根定理：如果整系數(shù)方程有有理根，其中、，，，那么，.符號說明：對于整數(shù)，，表示，的最大公約數(shù)；表示是的倍數(shù)，即整除.(1)過點作曲線的切線，借助有理根定理求切點橫坐標；(2)試證明有理根定理；(3)若整數(shù)，不是3的倍數(shù)，且存在有理數(shù)，使得，求，.2．（23-24高一下·湖北·階段練習）設，我們常用來表示不超過的最大整數(shù).如：.(1)求證：；(2)解方程：；(3)已知，若對，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習）人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題，牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法，這種求方程根的方法，在科學界已被廣泛采用.設實系數(shù)一元三次方程：—①，在復數(shù)集C內(nèi)的根為，，，可以得到，方程①可變?yōu)椋海归_得：—②，比較①②可以得到一元三次方程根與系數(shù)關系：(1)若一元三次方程：的3個根為，，，求的值；(2)若函數(shù)，且，，求的取值范圍；(3)若一元四次方程有4個根為，，，，仿造上述過程，寫出一元四次方程的根與系數(shù)的關系.第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)章節(jié)總結(jié)第一部分：典型例題講解題型一：函數(shù)的定義域1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關于實數(shù)的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意對于，得，解得且，故C正確.故選：C.2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題可得，即可解出定義域.【詳解】因為，所以要使函數(shù)有意義，則，解得且，所以的定義域為，故選：B.3．（23-24高一下·安徽安慶·開學考試）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】【分析】由的取值范圍求出的取值范圍，再令，求出的范圍即可.【詳解】當時，所以，所以，即，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：4．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，則的定義域為．【答案】【分析】先求出函數(shù)的定義域，進而根據(jù)復合函數(shù)的定義域，即可求解．【詳解】由題意得，，解得，令，則，故的定義域為.故答案為：5．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】由抽象函數(shù)定義域以及復合型對數(shù)函數(shù)定義域的求法，列出不等式組即可求解.【詳解】由題意函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.題型二：函數(shù)的值域(最值）1．（23-24高二上·廣東廣州·期末）函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由，解得，故的定義域為.設，則，其中，，∵，則，∴當，即時，取最大值，即函數(shù)的最大值是.故選：B.2．（多選）（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】結(jié)合題意根據(jù)復合函數(shù)值域及函數(shù)圖象變換，逐個選項驗證可得答案.【詳解】對于A，的圖象可看作由的圖象向左平移一個單位得到的，故值域不變，正確；對于B，由可得，即的值域為，錯誤；對于C，函數(shù)與函數(shù)的圖象關于y軸對稱，故函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，為，正確；對于D，由可得，即的值域為，錯誤.故選：AC3．（2023高三上·全國·專題練習）函數(shù)的值域是．【答案】【分析】將化為，利用余弦函數(shù)的有界性，即，解不等式即可得答案.【詳解】由，可得，當時等式不成立，∴，則有，∵，∴，，或，∴函數(shù)的值域是，故答案為：4．（2024高三·全國·專題練習）求函數(shù)的最大值．【答案】【分析】通過將兩個根式換元為，，函數(shù)即為，利用，建立函數(shù)與等式的關系即可求得其最大值.【詳解】不妨設，，則，因，由可得，當且僅當時等號成立，由，因，故得：，當且僅當時函數(shù)取得最大值.5．（23-24高一上·吉林·期末）已知函數(shù)，.(1)時，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得；（2）設可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，對的取值進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得.【詳解】（1）由題意得，，，令，，，當時，，，在上單調(diào)遞增，故，故的值域為；（2）由（1）得，，對稱軸，①當時，在上單調(diào)遞增，，解得；②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無解，舍去；③當時，在上單調(diào)遞減，，解得，舍去；綜上所述，.6．（2023高三·全國·專題練習）求函數(shù)的值域．【答案】【分析】先分離常數(shù)，再分類討論與，結(jié)合換元法與對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，當時，，當時，，令，則，，所以，由對勾函數(shù)的值域可知，當時，，所以，所以．綜上所述，函數(shù)的值域為．7．（23-24高一上·重慶南岸·階段練習）（1）已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍；（2）的值域為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可知：在上恒成立，分和兩種情況，結(jié)合判別式運算求解；（2）由題意可知：的值域包含，分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)運算求解.【詳解】（1）由題意可知：在上恒成立，當，即時，，即，不合題意；當，即時，，解得，綜上所述：的取值范圍是；（2）由題意可知：的值域包含，當時，，因為，可得，所以的值域為，符合題意；當時，則，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是．題型三：求函數(shù)的解析式1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法令，代入運算求解即可.【詳解】令，則，由于，則，可得，所以.故選：B.2．（23-24高一上·天津南開·期中）已知，則函數(shù)的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用配湊法先求出函數(shù)，再整體代入即可求出函數(shù)的表達式.【詳解】因為所以所以，即.故選：C.3．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函數(shù)則（）A． B．C．的最小值為-1 D．的圖象與x軸有2個交點【答案】ABC【分析】B選項，換元法得到函數(shù)解析式；A選項，代入求解即可；C選項，配方求出函數(shù)最值；D選項，解方程，求出答案.【詳解】B選項，令，得，則，，故，，B正確；A選項，，A正確，C選項，，所以在上單調(diào)遞增，，C正確；D選項，令，解得或0（舍去），故的圖象與x軸只有1個交點，D錯誤．故選：ABC4．（23-24高一上·湖北·期末）函數(shù)滿足，請寫出一個符合題意的函數(shù)的解析式.【答案】(答案不唯一)【詳解】取，則，滿足題意.故答案為：(答案不唯一)5．（2024高一·全國·專題練習）已知是二次函數(shù)且，，求.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設，所以，而，所以，有待定系數(shù)可知，解得，所以.6．（23-24高一上·河北·階段練習）（1）已知，求的解析式；（2），求的解析式.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)整體法即可結(jié)合換元法求解，（2）聯(lián)立方程即可求解【詳解】（1），令，所以，故；（2）由可得，聯(lián)立可得，故題型四：分段函數(shù)問題1．（23-24高三上·安徽六安·期末）函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原不等式變形為，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】當時，，因為在上單調(diào)遞增，此時單調(diào)遞增，當時，易知單調(diào)遞增，且當時，，則在上單調(diào)遞增，因為，則，所以由得，所以，解得.故選：A.2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數(shù)，若，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值.又因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，.綜上可得函數(shù)的最小值為.因為，使得成立，所以，解得：或.故選：C.3．（2024高三·全國·專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出時，的最小值為，則得到不等式，解出即可.【詳解】當時，.因為，所以，即.時，函數(shù)最小值為，時，函數(shù)最小值為，故在區(qū)間上，函數(shù)最小值為.當時，最小值為，同理，當時，最小值為，在直角坐標系內(nèi)，畫出時圖象，所以，化簡可得：，即：，解得.故選：C.4．（23-24高一下·廣西·開學考試）已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【分析】函數(shù)分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列不等式求解.【詳解】若在上單調(diào)遞增，則解得.若在上單調(diào)遞減，則解得.故的取值范圍是.故答案為：5．（23-24高一下·上海·階段練習）若函數(shù)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】分類討論a的取值范圍，脫掉絕對值符號，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及無最大值，列出相應不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知當時，，當時，在上，，此時在上單調(diào)遞增，且，故時，有最大值，不合題意；當時，在時，，在上單調(diào)遞減，在時，，在上單調(diào)遞增，此時要使得函數(shù)無最大值，需滿足且，即，解得，結(jié)合，則；當時，在上，，在上單調(diào)遞減，此時要使得函數(shù)無最大值，需滿足，即，即，結(jié)合，可得，綜合以上，實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：題型五：函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導數(shù)判斷出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)已知轉(zhuǎn)化出，再解出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，所以是上的增函數(shù)，所以若則，解得.故選：D2．（2024·廣東·一模）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)及函數(shù)在單調(diào)遞增即可求解.【詳解】因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，又當時，單調(diào)遞增，且，所以由可得，即，解得，故選：B3．（2024·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域為且圖象關于軸對稱，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分析不等式在上的解，再根據(jù)對稱性得出不等式在上的解即可.【詳解】因為在上是增函數(shù)且，所以在范圍內(nèi)的解為.因為函數(shù)在定義域上圖象關于軸對稱，所以在內(nèi)的解為，所以不等式在R內(nèi)的解為.故選：C4．（2024高一·全國·專題練習）定義上單調(diào)遞減的奇函數(shù)滿足對任意，若恒成立，求的范圍.【答案】【分析】根據(jù)為R上的奇函數(shù)且為減函數(shù)，可得出對任意的恒成立，這樣求出的最小值，從而便可得出的取值范圍.【詳解】因為是定義R上的奇函數(shù)，所以，又因在R上的單調(diào)遞減，所以對任意恒成立，所以對任意恒成立，所以，設，對稱軸，所以當時，，所以.故答案為：.5．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，等價于，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應用1．（2024·山東煙臺·一模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對數(shù)運算計算即得.【詳解】在上的奇函數(shù)滿足，則，于是，即函數(shù)的周期為4，而，則，，又當時，，所以.故選：A2．（2024·河北滄州·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且．若，則（

）A．506 B．1012 C．2024 D．4048【答案】C【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的函數(shù)，再根據(jù)條件得出，即可求出結(jié)果.【詳解】，①，即，所以，所以函數(shù)的圖象關于對稱，令，則，所以，令，，又，所以，又，，②即函數(shù)的圖象關于直線對稱，且由①和②，得，所以，則函數(shù)的一個周期為4，則，所以.故選：C3．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）已知定義在R上的偶函數(shù)，其周期為4，當時，，則（

）A． B．的值域為C．在上單調(diào)遞減 D．在上有8個零點【答案】AB【分析】對于A選項，利用函數(shù)的周期性與奇偶性，計算函數(shù)值；對于B選項，利用函數(shù)的解析式求得函數(shù)值范圍，再利用奇偶性，得出函數(shù)的值域；對于C選項，利用函數(shù)解析式和周期性，推得函數(shù)的單調(diào)性；對于D選項，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，得出零點個數(shù)。【詳解】對于A，，所以A正確；對于B，當時，單調(diào)遞增，所以當時，的值域為，由于函數(shù)是偶函數(shù)，在上的值域也為，又是周期為的周期函數(shù)，所以的值域為，所以B正確；對于C，當時，單調(diào)遞增，又的周期是4，所以在上單調(diào)遞增，所以C錯誤；對于D，令，得，所以，由于的周期為4，所以，所以在上有6個零點，所以D錯誤，故選：AB.4．（23-24高一下·江西·開學考試）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對于任意的，，都有，則（

）A．的圖象關于點中心對稱 B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在處取得最大值【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性、單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：由，得的圖象關于直線對稱；又是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱；由對稱性可知，函數(shù)的圖象關于點中心對稱，再根據(jù)是奇函數(shù)可得，函數(shù)的圖象關于點中心對稱，A錯誤；對B：由與，得，所以，B正確；對C：因為對于任意的，，都有，所以在上單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則在上單調(diào)遞減，因為的圖像關于直線對稱，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對D：由C可知，在處取得最大值，，則在處取得最大值，D正確.故選：BCD.5．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)的定義域為，其圖象關于中心對稱，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)對稱性即可判斷A，根據(jù)，，的值即可排除B,根據(jù)可求解C，根據(jù)即可求解D.【詳解】因為的圖象關于中心對稱，則,故A正確；由，可得，則，取得，在中取可得，則，由，得，故B錯誤；由，得①②，②-①得，又，故C正確；又由①，故D正確.故選：ACD.6．（23-24高三下·陜西·開學考試）已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則方程在上的實根個數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)條件確定函數(shù)周期性，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得實根個數(shù).【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，即，對稱中心為，函數(shù)為偶函數(shù)，即，對稱軸為，又由可得函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，當時，，則，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，所以.作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：即在區(qū)間上，方程有個實根，又,則方程在上的實根個數(shù)為.故答案為：.題型七：不等式中的恒成立問題1．（23-24高一上·重慶·階段練習）已知函數(shù).若，使得成立，則實數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求得，結(jié)合題意知，解出即可.【詳解】因為，當且僅當，且即時等號成立，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由題意可知，即，所以，故選：C.2．（23-24高一上·江蘇揚州·階段練習）已知正實數(shù)滿足，且對任意恒成立，則實數(shù)的最小值是.【答案】【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，，解得，則由得，其中①，則當時①式取得最大值.所以的最小值是.故答案為：.3．（23-24高一下·上海金山·階段練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求函數(shù)在上的最小值，再由遞推關系得出函數(shù)在最小值，即可轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】當時，；當時，，當時，的最小值為，又函數(shù)滿足，當時，的最小值為，當時，的最小值為，若時，恒成立，恒成立．即，解得，即.故答案為：4．（23-24高一下·北京延慶·階段練習）設為常數(shù)，且，函數(shù)，若對任意的實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】由題意，轉(zhuǎn)化為，令，即，設，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則對任意的實數(shù)，都有，即為成立，即，令，即，設，可得函數(shù)開口向上，且對稱軸為，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，要使得，只需，即，解得或，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.5．（23-24高一上·北京·階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域.(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域的不關于原點對稱，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得，得到，法一：轉(zhuǎn)化為，令，求得，即可求解；法二：分，和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為.（2）解：因為的定義域為，不關于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）解：由“對，不等式恒成立”，可得，當時，由在上單調(diào)遞減，，根據(jù)題意得，對法一：可轉(zhuǎn)化為，令，由在上單調(diào)遞減得，可得，實數(shù)的取值范圍為.法二：設函數(shù)，①當，即時，在上單調(diào)遞減，可得，解得，則；②當，即時，在上單調(diào)遞增，可得，解得，則；③當，即時，在先減后增，可得，解得，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.6．（23-24高一上·北京·期中）若二次函數(shù)滿足，且(1)確定函數(shù)的解析式；(2)若在區(qū)間上不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）依題意，問題轉(zhuǎn)化為則在上恒成立，令，利用單調(diào)性求最小值即可.【詳解】（1）設二次函數(shù)，則，

已知，所以，解得，又，得，.（2）在區(qū)間上不等式恒成立，則在上恒成立，令，可知在上單調(diào)遞減，則，得所以實數(shù)的取值范圍為.題型八：不等式中的能成立問題1．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)當時，記的最大值為．，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，結(jié)合偶函數(shù)的定義計算即可;（2）借助函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值為，再對進行參變分離求出最值即可.【詳解】（1）記，為偶函數(shù)，恒成立，即恒成立，恒成立，恒成立，即恒成立，，.（2）和都是單調(diào)遞增函數(shù),在是單調(diào)遞增的，,在上有解，在上有解，在上有解，在上單調(diào)遞增，,.2．（23-24高一下·黑龍江大慶·開學考試）已知函數(shù)，(1)若的值域為，求滿足條件的整數(shù)的值；(2)若非常數(shù)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，，，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的值域為，可得函數(shù)的值域包含，再分，和三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)，則只要即可，求出函數(shù)的最小值，再從分情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可．【詳解】（1）因為函數(shù)的值域為，所以函數(shù)的值域包含，，當時，，其值域為，不滿足條件，當時，令，則函數(shù)的對稱軸為，當時，，即的值域為，所以，解得，當時，，則函數(shù)的值域為，即函數(shù)的值域為，不滿足條件，綜上所述，，所以滿足條件的整數(shù)的值為；（2）因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，即，解得或，由函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，所以，經(jīng)檢驗，符合題意，即，由，，，得，，，只要即可，當時，，所以函數(shù)，則，，令，因為，所以，函數(shù)，當時，，則時，恒成立，符合題意；當時，函數(shù)的對稱軸為，當時，則時，恒成立，符合題意；當，即時，則時，，所以，不等式組無解；當，即時，則時，恒成立，符合題意；當，即時，則時，，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．3．（23-24高一下·云南紅河·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，，使得不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解方程即可求解；（2）由，求出的取值范圍，判斷的單調(diào)性，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性脫去符號“”，參變分離后，求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）是定義在上的奇函數(shù)，，解得，當時，，，為上的奇函數(shù)，故；（2）由（1）知，，解得，易知是上的單調(diào)遞減函數(shù)，又是定義在上的奇函數(shù)，由，故，使得成立，即，使得成立，，當且僅當，即時等號成立，.4．（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍；(3)若對任意，都存在，使得成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，列出關系式，即可求解；（2）由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合不等式的解法，即可求解；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，得到，再由題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，解得，所以.（2）解：由函數(shù)圖象關于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增，則可化為，平方得，化簡得，解得，所以x的取值范圍是.（3）解：由（1）知，因為對，使得都成立，所以，其中，由（1）可得函數(shù)在上的最大值為4，所以，因為存在，使得成立，可得，又因為，所以是關于的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，解得或，所以實數(shù)t的取值范圍為.5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求的值，判斷的單調(diào)性并說明理由；(2)若存在，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由見解析；(2),【分析】（1）由函數(shù)經(jīng)過點求的值，得到的解析式，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為在,上有解，利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式可求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)經(jīng)過點，所以，解得，即，，則是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由如下：任取、x2∈R，且，則，則，所以，即，所以是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．（2）因為，故是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則不等式等價于，所以，即，即存在,不等式有解，即在,上有解，由,，可得，由對勾函數(shù)性質(zhì)易知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故在的最大值為，所以，即所以，即實數(shù)的取值范圍是,．題型九：函數(shù)的圖象1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）以下最符合函數(shù)的圖像的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，奇偶性，特殊值，排除選項.【詳解】當時，，所以函數(shù)的定義域為，故排除A；，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關于原點對稱，故排除D；，故排除B，滿足條件的只有C.故選：C2．（23-24高三下·四川遂寧·開學考試）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點的函數(shù)值即可排除A.【詳解】，則的定義域為R，又，所以為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故排除CD，當時，，故排除A.故選：B.3．（2024·福建·模擬預測）函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)圖象的形狀.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，故排除答案CD，又，，設，，則，.所以在上為增函數(shù)，又，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，故排除B.故選：A4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關系如圖，那么點P所走的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由點在第二條邊上運動時，的單調(diào)性可排除A，由圖象的對稱性可排除，由一開始與是線性的可排除C，對于D，當圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.【詳解】對于A，點在第一條邊上時，，但點在第二條邊上運動時，是隨的增大先減小（減到最小時即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，對比圖象可知，A錯誤；對于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對稱的，B錯誤；對于C，一開始與的關系不是線性的，C錯誤；對于D，因為函數(shù)圖象對稱，所以D選項應為正方形，不妨設邊長為，點在第一條邊上時（即時），，點在第二條邊上運動時（即時），，依然單調(diào)遞增，點在第三條邊上運動時（即時），，單調(diào)遞減，點在第四條邊上運動時（即時），，單調(diào)遞減，且已知與的圖象關于（其中）對稱，D正確.故選：D.5．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值及函數(shù)值的取值情況判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故排除A、D；又，當時，所以，，又，所以，所以，故排除B.故選：C題型十：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值0，1，分析判斷即可.【詳解】由題意可得：，，且，則，因為，則，故選：B2．（2024·浙江·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為（

）A． B．0 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)滿足的關系即可化簡求解.【詳解】的定義域為，，由于為偶函數(shù)，故，即，故，解得故選：A3．（2024·河北滄州·模擬預測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】由題意，根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)運算的性質(zhì)可得，由，解不等式即可求解.【詳解】由題意知，，當時，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．故選：D4．（2024·河南鄭州·模擬預測）函數(shù)是偶函數(shù)，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由是偶函數(shù)，可得，從而可求解.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，所以，故D正確.故選：D.5．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，，則.【答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計算即可.【詳解】由已知可得，所以，所以，即是函數(shù)的一個周期，所以.故答案為：6．（2024·河南·模擬預測）若是偶函數(shù)，則實數(shù)．【答案】【分析】因為是偶函數(shù)，所以，據(jù)此即可求解,注意檢驗.【詳解】因為是偶函數(shù)，定義域為，所以，所以，所以，所以，此時，滿足題意.故答案為：.題型十一：函數(shù)中的零點問題1．（2024·陜西·二模）已知，是函數(shù)的兩個零點，則（

）A．1 B．e C． D．【答案】D【分析】由題意構(gòu)造，將原函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為的圖象的交點問題，判斷函數(shù)的對稱性，即可求得答案.【詳解】由，可知，故時，則可得，而，是函數(shù)的兩個零點，令，則的圖象必有兩交點且，是兩交點的橫坐標，由于，即的圖象關于點對稱，而，即的圖象也關于點對稱，故的交點關于點對稱，則，故，故選：D【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數(shù)的零點問題，解答的關鍵是根據(jù)函數(shù)特征，構(gòu)造新函數(shù)，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，結(jié)合對稱性即可解決.2．（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，對任意的，都有成立，且當時，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知函數(shù)的圖象關于軸對稱且周期為4，由此可畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個交點，數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，因為對任意的，都有成立，所以，所以函數(shù)的周期為4，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：

若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個交點，顯然，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D．3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設，函數(shù)的零點分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】分別令，則，則分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標，分別作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：A.4．（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)恰有3個零點，則整數(shù)的取值個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意解出，，分別畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】令，得或；作出的大致圖象，如圖所示，這兩個函數(shù)的圖象的交點為，因為，所以由圖可知的取值范圍是.故整數(shù)或2，個數(shù)為2.故選：B5．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個數(shù).【答案】(1)減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：.(2)【分析】（1）求導，利用導函數(shù)的符號可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的符號和最值，可確定方程零點的個數(shù).【詳解】（1）因為（）.所以：.由，又函數(shù)定義域為，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因為，所以：當時，，方程無解；當，函數(shù)在上遞減，在遞增，所以，所以方程無解.綜上可知：方程的根的個數(shù)為.題型十二：函數(shù)模型的應用1．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出散點圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.【詳解】作出散點圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.A選項：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯誤；B選項：函數(shù)的單位增長率恒定不變，故B錯誤；C選項：滿足上述三點，故C正確；D選項：函數(shù)在處無意義，D錯誤.故選：C2．（2024·四川宜賓·二模）根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型，其中（單位：萬輛）為第年底新能源汽車的保有量，為年增長率，為飽和度，為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬輛，以此為初始值，以后每年的增長率為，飽和度為1300萬輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．65萬輛 B．64萬輛 C．63萬輛 D．62萬輛【答案】B【分析】把已知數(shù)據(jù)代入模型，求出對應的值即可．【詳解】根據(jù)題中所給模型，代入有關數(shù)據(jù)，注意以2023年的為初始值，則2033年底該省新能源汽車的保有量為，因為，所以，所以，所以2033年底該市新能源汽車的保有量約為64萬輛.故選：B.3．（23-24高一上·廣東東莞·期末）某企業(yè)從2011年開始實施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值（萬元）與新政策實施年數(shù)（年）的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，預測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（

）（附：）年份20112012201320142015201620172018201920202021年產(chǎn)值278309344383427475528588655729811A．924萬元 B．976萬元 C．1109萬元 D．1231萬元【答案】C【分析】觀察表格中數(shù)據(jù)，越往后的年份的產(chǎn)值比上一年增加的越多，由此可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定最符合實際的函數(shù)模型，再代入數(shù)值計算，即得答案.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知該企業(yè)年產(chǎn)值（萬元）隨著新政策實施年數(shù)（年）的增加而增加，結(jié)合2012年比2011年增加31萬元，2021年比2020年增加82萬元，可知越往后的年份比上一年增加的產(chǎn)值越多，即y的增長速度越來越快，結(jié)合三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），可知（，且）為最符合實際的函數(shù)模型；則，故，故預測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為，則（萬元），即預測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為1109萬元，故選：C【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)的增加趨勢，即函數(shù)值的增加速度越來越快，從而確定最符合實際的函數(shù)模型，還要注意選擇接近于2024年的產(chǎn)值去計算，更為精確一些.4．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．【答案】A【分析】由函數(shù)的數(shù)據(jù)即可得出答案.【詳解】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B，D；當時，由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)增長越來越快，可排除C.故選：A.5．（23-24高一上·湖北荊門·期末）環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號電動汽車，在一段平坦的國道進行測試，國道限速.經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：01040600132544007200為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.(1)當時，請選出你認為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；(2)現(xiàn)有一輛同型號汽車從地駛到地，前一段是的國道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時耗電量（單位：）與速度的關系是：（），則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？【答案】(1)選擇，(2)當這輛車在國道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)選出符合的函數(shù)模型，并利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式.（2）先求得耗電量的表達式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】（1）對于，當時，它無意義，所以不合題意；對于，它顯然是個減函數(shù)，這與矛盾；故選擇.根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，當時，.（2）國道路段長為，所用時間為，所耗電量為:，因為，當時，；高速路段長為，所用時間為，所耗電量為，當且僅當即時等號成立.所以：故當這輛車在國道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.6．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，聯(lián)合國教科文組織第45屆