2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第08講函數(shù)與方程(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

第08講函數(shù)與方程(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·天津·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）用二分法求函數(shù)的零點時，初始區(qū)間可選為（

）A． B． C． D．3．（2024上·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（

）A． B． C． D．4．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在內(nèi)的一個零點附近的函數(shù)值如下表：則該零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．5．（2024上·福建龍巖·高一校聯(lián)考期末）美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時該植物的高為1米，經(jīng)過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．66．（2024下·河北保定·高一河北安國中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024下·山東濟(jì)寧·高三?？奸_學(xué)考試）是定義在上的函數(shù)，對于任意的，都有且時，有，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．10 B．13 C．22 D．268．（2024·廣東·珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足：且，，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（）A． B． C． D．0二、多選題9．（2024下·廣東湛江·高二?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象與直線有兩個不同交點，則正實數(shù)a的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．110．（2024上·河南安陽·高一林州一中?？计谀┮阎瘮?shù)，，，，是函數(shù)的4個零點，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C．的取值范圍為 D．的最大值是三、填空題11．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，且時，，則的取值范圍是.12．（2024上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個“點”．設(shè)函數(shù)，若是的一個“點”，則實數(shù)的值為．若為“函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為．B能力提升1．（2024下·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．在內(nèi)有零點 D．若在內(nèi)有零點，則2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，都有，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2024·山西呂梁·?？寄M預(yù)測）用[]表示不大于實數(shù)a的最大整數(shù)，如[1.68]=1，設(shè)分別是方程及的根，則（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）已知，符號表示不大于的最大整數(shù)，比如，，若函數(shù)有且僅有個零點，則實數(shù)的取值范圍是．5．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足：①的圖象關(guān)于直線對稱，②函數(shù)為偶函數(shù)；③當(dāng)時，，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有個，則實數(shù)的取值范圍是．C綜合素養(yǎng)6．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)為給定的實常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．(1)若函數(shù)為“函數(shù)”，求實數(shù)的值；(2)證明：函數(shù)為“函數(shù)”；(3)若函數(shù)為“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．7．（2024上·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，實數(shù)為該函數(shù)的不動點.若函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點.(1)證明：函數(shù)不動點一定是函數(shù)的穩(wěn)定點.(2)已知函數(shù)，（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的不動點和穩(wěn)定點；（Ⅱ）若存在，使函數(shù)有三個不同的不動點，求的值和實數(shù)的取值范圍.8．（2024上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對內(nèi)的任意，，都有，則稱是“-利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)，是否為“2-利普希茲條件函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)是“-利普希茲條件函數(shù)”，求的最小值；(3)設(shè)，若是“2024-利普希茲條件函數(shù)”，且的零點也是的零點，.證明：方程在區(qū)間上有解.第08講函數(shù)與方程(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·天津·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在求得函數(shù)定義域上，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和某區(qū)間的端點函數(shù)值異號即可判定.【詳解】因函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，由，根據(jù)零點存在定理該函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：A.2．（2024上·安徽·高一校聯(lián)考期末）用二分法求函數(shù)的零點時，初始區(qū)間可選為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出，結(jié)合零點存在性定理得到答案.【詳解】，則，即初始區(qū)間可選．故選：D．3．（2024上·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)與方程的實根個數(shù)的關(guān)系，利用零點存在定理結(jié)合圖形判斷即得.【詳解】令，顯然函數(shù)在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根．

如圖，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知和有兩個交點，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.4．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在內(nèi)的一個零點附近的函數(shù)值如下表：則該零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判定函數(shù)的單調(diào)性，然后將表中數(shù)據(jù)按照從小到大排列，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理即可求解.【詳解】因為函數(shù)和都是上的單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).將表格中數(shù)據(jù)按照從小到大排列如下：由表格可得：.由函數(shù)零點存在性定理可得：函數(shù)有唯一零點，所在的區(qū)間為.故選：C.5．（2024上·福建龍巖·高一校聯(lián)考期末）美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時該植物的高為1米，經(jīng)過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由題設(shè)有，即可求參數(shù)、的值，進(jìn)而判斷的單調(diào)性且，即可判斷植物的高度超過至少需要多少年.【詳解】依題意可得，則，解得，∴，因為在定義域上單調(diào)遞減，且，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，而，，即，∴該植物的高度超過，至少需要年.故選：C.6．（2024下·河北保定·高一河北安國中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】當(dāng)時，解二次方程得函數(shù)零點，當(dāng)時，把函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)，即可求解.【詳解】當(dāng)時，令，解得或；當(dāng)時，令，則，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知在上有一個公共點.故的零點個數(shù)為3.故選：C7．（2024下·山東濟(jì)寧·高三?？奸_學(xué)考試）是定義在上的函數(shù)，對于任意的，都有且時，有，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．10 B．13 C．22 D．26【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的周期為4，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合對稱性即可求解.【詳解】因為對于任意的，都有，，所以為的一條對稱軸，為的一個對稱中心，故所以為的周期，由得，又由時，有，可以畫出與的圖象，如圖:由于也關(guān)于對稱，且當(dāng)時，，

由圖象可得，函數(shù)共有11個零點，故所有零點之和為.故選:C8．（2024·廣東·珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足：且，，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（）A． B． C． D．0【答案】B【分析】首先利用函數(shù)的性質(zhì)畫出兩個函數(shù)的圖象，再結(jié)合對稱性求所有實數(shù)根的和.【詳解】由題意知，關(guān)于點對稱，函數(shù)的周期為2，則函數(shù)，在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖形可知函數(shù)，在區(qū)間上的交點為，易知點的橫坐標(biāo)為,若設(shè)的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為，所以方程在區(qū)間上的所有實數(shù)根之和為.故選：B二、多選題9．（2024下·廣東湛江·高二?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象與直線有兩個不同交點，則正實數(shù)a的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】BC【分析】在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象可得到a的取值范圍.【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的大致圖象，如圖所示，兩圖象都經(jīng)過，易知只有時才能在的區(qū)域有第二個交點，故的取值范圍.故選：BC

10．（2024上·河南安陽·高一林州一中校考期末）已知函數(shù)，，，，是函數(shù)的4個零點，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C．的取值范圍為 D．的最大值是【答案】BD【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象判斷A，對方程化簡，利用基本不等式求出范圍判斷B，由對數(shù)的運算性質(zhì)得出，利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式可判斷C，D.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：對選項A，由條件，函數(shù)有4個零點，即有4個不等實數(shù)根，即與的圖象有四個交點，由圖象知，故選項A錯誤；對選項B，因為，，，是函數(shù)的4個零點，且，所以，，所以，所以，，由，所以，即，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又因為，所以，即，所以，所以，即，故選項B正確；對選項C，因為，，，所以由圖可知，，由，，得，因為，所以，所以，所以，

即，所以

，因為，且在單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍不為，故選項C錯誤；對選項D，由選項B可得，，所以，由選項C可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以的最大值是，故選項D正確.故選：BD.三、填空題11．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，且時，，則的取值范圍是.【答案】【分析】由題意畫出圖形，得出各自的范圍以及關(guān)系，進(jìn)一步即可求解.【詳解】

，結(jié)合圖形可得，，，∵，∴，∴，∴，∴.故答案為：.12．（2024上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個“點”．設(shè)函數(shù)，若是的一個“點”，則實數(shù)的值為．若為“函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】3【分析】對于第一空，由題可知，代入相應(yīng)解析式可得答案；對于第二空，為“函數(shù)”，則函數(shù)，與函數(shù)圖象有交點，據(jù)此可得答案.【詳解】對于第一空，因是的一個“點”，則；對于第二空，由題可知為“函數(shù)”，即函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像中，存在中心對稱的兩點，即函數(shù)的圖象，與函數(shù)關(guān)于原點對稱的函數(shù)的圖象有交點，即方程有大于0的解.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故答案為：.故答案為：3；.四、解答題13．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)滿足，且，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，．

(1)求的解析式；(2)在給定的坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖象；(3)討論函數(shù)（）的零點個數(shù)．【答案】(1)(2)作圖見解析(3)答案見解析【分析】（1）設(shè)出解析式，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，得到解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到的解析式，從而畫出函數(shù)圖象；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，得到函數(shù)零點個數(shù)【詳解】（1）設(shè)，則因為，故，所以，解得，因此；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，為偶函數(shù)，故，故，綜上，，畫出函數(shù)圖象如下：

（3）由圖可知，，，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，當(dāng)時，函數(shù)只有兩個零點，當(dāng)時，函數(shù)有四個零點，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點14．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；(2)當(dāng)時，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)若函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出，驗證后得到答案；（2）定義法求解函數(shù)單調(diào)性步驟：取點，作差，判號，下結(jié)論；（3）換元后得到在有兩個不同的實數(shù)解，由根的判別式和對稱軸得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為R，且為奇函數(shù)，由，得，此時.因為，所以為奇函數(shù)，故.（2）當(dāng)時，.任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）有兩個不同的零點，等價于有兩個不同的實數(shù)解.令，則在有兩個不同的實數(shù)解，令，其中，所以，解得.所以的取值范圍為.B能力提升1．（2024下·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．在內(nèi)有零點 D．若在內(nèi)有零點，則【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且，，所以，，根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)在內(nèi)有零點，故C正確；又因為，所以，故B正確；又因為，則可能大于，故A不正確；若函數(shù)在內(nèi)有零點，則，故D正確.故選：A.2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，都有，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】由函數(shù)偶函數(shù)性質(zhì)及結(jié)合得到函數(shù)的周期，然后求出的在上的解析式，則求的零點就等價于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點，作出相關(guān)圖形，從而可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，因為對任意，都有，即，所以函數(shù)的周期，當(dāng)時，，則，對于函數(shù)的零點等價于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點，如圖所示，一共有10個交點，故C正確.故選：C.3．（2024·山西呂梁·?？寄M預(yù)測）用[]表示不大于實數(shù)a的最大整數(shù)，如[1.68]=1，設(shè)分別是方程及的根，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】用零點存在性定理確定兩個根的取值范圍即可.【詳解】因為分別是方程，的根，則分別是函數(shù)及的零點，而函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，又，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則，因此，所以.故選：C【點睛】方法點睛：利用零點存在性定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.4．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）已知，符號表示不大于的最大整數(shù)，比如，，若函數(shù)有且僅有個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，由可得，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：

當(dāng)直線經(jīng)過點時，則有，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點時，則有，可得.由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足：①的圖象關(guān)于直線對稱，②函數(shù)為偶函數(shù)；③當(dāng)時，，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有個，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)關(guān)于，對稱，且周期為4，再利用上的解析式，畫出函數(shù)圖象，有數(shù)形結(jié)合即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)可知，函數(shù)關(guān)于對稱，且，即，又因為關(guān)于對稱，所以，即，可得函數(shù)的周期，當(dāng)時，可得其圖象如下所示：由對稱性可知，當(dāng)時滿足不等式的整數(shù)解有3個即可，根據(jù)圖示可得，解得，即.故答案為：.【點睛】方法點睛：函數(shù)圖象在方程、不等式中的應(yīng)用策略(1)研究兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)：在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解；(2)確定方程根的個數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程的根就是函數(shù)圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)，方程的根就是函數(shù)與圖象交點的橫坐標(biāo)；(3)研究不等式的解：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其對應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.C綜合素養(yǎng)6．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)為給定的實常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．(1)若函數(shù)為“函數(shù)”，求實數(shù)的值；(2)證明：函數(shù)為“函數(shù)”；(3)若函數(shù)為“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見詳解；(3)【分析】（1）根據(jù)新定義函數(shù)的性質(zhì)，寫出f(x)滿足的等式進(jìn)而求解出結(jié)果；（2）令，得，設(shè)，，根據(jù)圖象可知有解，得證；（3）根據(jù)題意得，，進(jìn)而整理得存在實數(shù)使得，再結(jié)合和討論求解即可.【詳解】（1）由為“函數(shù)”，得，即，解得，故實數(shù)的值為；（2）由，則，，令，得，設(shè)，，如圖可知，兩函數(shù)由一個交點，即存在實數(shù)，使得成立，所以函數(shù)為“函數(shù)”；【詳解】（1）證明：若實數(shù)是的一個不動點，則，所以，故函數(shù)不動點一定是函數(shù)的穩(wěn)定點.（2）（Ⅰ）當(dāng)時，，∴，解得：或所以函數(shù)的不動點為1和；又∴解得：或，或或所以函數(shù)的穩(wěn)定點為1和；解法2：所以函數(shù)的不動點為1和；由得即，由（Ⅰ）可知函數(shù)的不動點1和一定是穩(wěn)定點，故可令，從而由待定系數(shù)法可求得，，所以，解得或，或或所以函數(shù)的穩(wěn)定點為1和；（Ⅱ）若存在，使函數(shù)有三個不同的不動點，當(dāng)時，令，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，由，可化為，關(guān)于的方程有三個不等實根，令，，由于非負(fù)數(shù)，如果有兩個不同正根，方程必有四個解即四個不同的不動點，與題設(shè)矛盾；如果有且只有一個正根，只有兩個不動點，與題設(shè)矛盾；所以必有一根為正根和一個零