2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第10講：拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題(學(xué)生版+解析)

第10講：拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題目錄TOC\o"1-1"\h\u1、函數(shù)極值的第二判定定理： 1類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 1類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 3類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍 5類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式 71、函數(shù)極值的第二判定定理：若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（1）若則在點(diǎn)處取極大值；（2）若則在點(diǎn)處取極小值2、二次求導(dǎo)使用背景（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；（2）對(duì)函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.（3）一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有或3、解題步驟：設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.高頻考點(diǎn)類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值典型例題例題1．（2024·貴州貴陽·一模）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題2．（23-24高二下·云南玉溪·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若恒成立，求的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2024·四川遂寧·二模）已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間存在極值，求的取值范圍；(2)若，，求的取值范圍．2．（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)在處的切線方程為(1)求a，b的值；(2)判斷的單調(diào)性.例題2．（23-24高二下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，當(dāng)，試比較與的大小，并給予證明．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·重慶銅梁·階段練習(xí)）拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，指改變曲線向上或向下的點(diǎn)（即曲線的凹凸分界點(diǎn)）.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，并且在點(diǎn)左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.(1)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，討論函數(shù)的單調(diào)性并求極值.(2)已知函數(shù)，其中.求的拐點(diǎn).2．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，求不超過的最大整數(shù)．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．2．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)P，求該曲線在點(diǎn)P處的切線方程；(2)判斷不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；(3)已知，如果當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值.例題2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上有極值點(diǎn)，求證：.2．（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.第10講：拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題目錄TOC\o"1-1"\h\u1、函數(shù)極值的第二判定定理： 1類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 1類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 7類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍 12類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式 181、函數(shù)極值的第二判定定理：若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（1）若則在點(diǎn)處取極大值；（2）若則在點(diǎn)處取極小值2、二次求導(dǎo)使用背景（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；（2）對(duì)函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.（3）一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有或3、解題步驟：設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.高頻考點(diǎn)類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值典型例題例題1．（2024·貴州貴陽·一模）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得所以即.（3），則，設(shè)，由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，是的極小值點(diǎn).下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，.因此，在上單調(diào)遞減.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷附近的單調(diào)性.例題2．（23-24高二下·云南玉溪·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)，+單調(diào)遞減單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）恒成立，所以恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以，由恒成立得，所以的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2024·四川遂寧·二模）已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間存在極值，求的取值范圍；(2)若，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對(duì)分類討論研究單調(diào)性后，結(jié)合極值的定義計(jì)算即可得；（2）設(shè)，原問題即為在時(shí)恒成立，多次求導(dǎo)后，對(duì)時(shí)及時(shí)分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，不存在極值，當(dāng)時(shí)，令，則，若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，因?yàn)樵趨^(qū)間存在極值，則，即，所以，在區(qū)間存在極值時(shí)，的取值范圍是；（2）由在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，設(shè)，則在時(shí)恒成立，則，令，則，令，則，時(shí)，，則，時(shí)，，則，所以時(shí)，，則即單調(diào)遞增，所以，則即單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，，故，，則單調(diào)遞增，所以，所以在時(shí)恒成立，②當(dāng)時(shí)，，，故在區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn)，即，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不合題意，綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于多次求導(dǎo)后，得到，從而通過對(duì)及進(jìn)行分類討論.2．（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)，即可得解；（2）依題意即證明在時(shí)恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）由，，得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞增.所以是的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，存在極值，綜上所述，存在極值時(shí)，的取值范圍是.（2）欲證不等式在時(shí)恒成立，只需證明在時(shí)恒成立.設(shè)，，則，令，，則.當(dāng)時(shí)，，所以，所以即在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)在處的切線方程為(1)求a，b的值；(2)判斷的單調(diào)性.【答案】(1)，(2)在上單調(diào)遞增【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的最值后即可得原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），由題意可得，，則，可得，，即，；（2），，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞增.例題2．（23-24高二下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，當(dāng)，試比較與的大小，并給予證明．【答案】(1)答案見解析(2)，證明見解析【分析】（1）先求出的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值，從而得證.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），證明如下：當(dāng)時(shí)，，又，令，則，令，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且存在唯一零點(diǎn)，使得，且時(shí)，；時(shí)，，即時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，而，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，故在上恒成立.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·重慶銅梁·階段練習(xí)）拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，指改變曲線向上或向下的點(diǎn)（即曲線的凹凸分界點(diǎn)）.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，并且在點(diǎn)左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.(1)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，討論函數(shù)的單調(diào)性并求極值.(2)已知函數(shù)，其中.求的拐點(diǎn).【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為26，極小值為；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由條件結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)的定義可得，然后求導(dǎo)即可得到單調(diào)區(qū)間以及極值；（2）根據(jù)題意，求函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)可得，然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，即可求解.【詳解】（1），，由題意得，即，解得，且，即，解得，故，所以，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值，故極大值為，極小值為；（2），由于，，故，即的定義域?yàn)?，，，令得，，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在性定理知，有唯一的零點(diǎn)，故，即時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，，故的拐點(diǎn)為2．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，求不超過的最大整數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，得不超過的最大整數(shù)．【詳解】（1）令，則，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，則，

所以，即.（2）當(dāng)時(shí)，，，

令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，

又，，，所以存在唯一的，使，即，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，

，又，所以，

所以不超過的最大整數(shù)為.類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；(3)已知，如果當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，然后求其最小值即可；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)研究其最值即可.【詳解】（1）由已知，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，恒成立；（3）當(dāng)，時(shí)，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，令，得，令，得，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不符合恒成立，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，然后再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到范圍.例題2．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）記函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若（其中）恒成立，則稱在上具有性質(zhì)．(1)判斷函數(shù)（且）在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由；(2)設(shè)均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)不具有，理由見解析(2)存在，(3)3【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合新定義，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而新定義，即可求解；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到存在，使，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得的最小值為，由，得到，求得，即可求解.【詳解】（1）解：令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不具有性質(zhì)．（2）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，且為奇函數(shù)，所以在處也取得極值，則，解得，所以，可得，當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足在處取得極值，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，且的取值范圍是．（3）解：因?yàn)?，所以，即，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖?，使，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，有，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹愠闪?，所以，因?yàn)榍遥缘淖畲笾禐椋军c(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.（2）當(dāng)時(shí)，得到且，當(dāng)時(shí)，只需使得，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，得到；當(dāng)時(shí)，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，由和，得到，即可得證.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，可得在R上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，最大值，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，可得可得，要使得，只需使得，當(dāng)時(shí)，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，可得且，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)榍?，所以，所以，綜上可得，對(duì)于，都有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解答的關(guān)鍵是將證明時(shí)，不等式成立，轉(zhuǎn)化為證明，然后分類討論x的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論.2．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)P，求該曲線在點(diǎn)P處的切線方程；(2)判斷不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得直線的斜率，繼而可解；（2）利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)所在區(qū)間即可求解；（3）變形不等式，參變分離后，利用換元法變形不等式，利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1），所以，又

所以該曲線在點(diǎn)P處的切線方程為:，即（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減．

又，，，，

所以，不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為3．（3）不等式可整理為，

令，，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，又，所以令，則

令，則

令，則

令，，則，，

所以單調(diào)遞減，，所以，單調(diào)遞減，，所以，所以，所以單調(diào)遞減，

所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；(3)已知，如果當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，然后求其最小值即可；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)研究其最值即可.【詳解】（1）由已知，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，恒成立；（3）當(dāng)，時(shí)，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，令，得，令，得，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不符合恒成立，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，然后再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到范圍.例題2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；證．（2）將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較：若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo)．本例中同時(shí)含lnx與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對(duì)數(shù)分離兩邊，分別計(jì)算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明．（3）適當(dāng)放縮證明不等式：導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是和與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對(duì)于這類問題，可以考慮先對(duì)和進(jìn)行放縮，使問題簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．常見的放縮公式如下：(1)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上有極值點(diǎn)，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求的單調(diào)性（2）