人教版2024-2025學年八年級數(shù)學專題14.4整式的混合運算與化簡求值(重點題專項講練)專題特訓(學生版+解析)

專題14.4整式的混合運算與化簡求值【典例1】若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標系中，我們定義：M（b+d，a+b+c+d）為整式A的關(guān)聯(lián)點，我們規(guī)定次數(shù)超過3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，則a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點為（6，1）．（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，則A的關(guān)聯(lián)點坐標為．（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點為（6，﹣3），求整式B的表達式．（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多項式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點為（﹣200，0），請直接寫出整式E的表達式．【思路點撥】（1）根據(jù)整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的關(guān)聯(lián)點坐標；（2）根據(jù)題意得出B中x的次數(shù)為1次，設(shè)B＝nx+m，計算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，進而表達出a，b，c，d的值，再根據(jù)C的關(guān)聯(lián)點為（6，﹣3），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；（3）設(shè)E＝nx+m，根據(jù)題意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，進而表達出a，b，c，d的值，再根據(jù)F的關(guān)聯(lián)點為（﹣200，0），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．【解題過程】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，A的關(guān)聯(lián)點坐標為：（5，4），故笞案為：（5，4）；（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多項式，且C的次數(shù)不能超過3次，∴B中x的次數(shù)為1次，∴設(shè)B＝nx+m，∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，∵整式C的關(guān)聯(lián)點為（6，﹣3），∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3，解得：m＝﹣2，n＝3，∴B＝3x﹣2；（3）根據(jù)題意：設(shè)E＝nx+m，∴F＝（nx+m）2（x﹣3）＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3）＝n2x3+（2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2，∵整式F的關(guān)聯(lián)點為（﹣200，0），∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0，n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0，∴m＝﹣n，把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200，解得：n2＝25，∴n＝±5，m＝±5，∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5．1．（真題?和平區(qū)期末）下列計算正確的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+82．（2020春?長安區(qū)校級期末）若x2﹣4x﹣1＝0，則代數(shù)式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值為（）A．3 B．4 C．1 D．03．已知a2+2ab+b2＝0，那么代數(shù)式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值為（）A．0 B．2 C．4 D．64．（真題?張掖期末）如圖，正方體的每一個面上都有一個正整數(shù)，已知相對的兩個面上兩數(shù)之和都相等．如果13、9、3對面的數(shù)分別為a、b、c，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（）A．48 B．76 C．96 D．1525．（2021春?越秀區(qū)校級期末）已知x1，x2，…，x2021均為正數(shù)，且滿足M＝（x1+x2+…+x2020）（x2+x3+……+x2021），N＝（x1+x2+…+x2021）（x2+x3+…+x2020），則M，N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N6．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABCD中放入一個邊長為8的大正方形ALMN和兩個邊長為6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3個陰影部分的面積滿足2S3+S1﹣S2＝2，則長方形ABCD的面積為（）A．100 B．96 C．90 D．867．（真題?晉中期中）圖1是兩張全等的矩形紙片，先后按如圖2、圖3（圖中的陰影部分）所示的方式放置在同一個正方形中．若知道圖形B與圖形E（兩個矩形的公共部分）的面積差，則一定能求出（）A．圖形A與圖形C的周長和 B．圖形D與圖形F的周長和 C．圖形B與圖形E的周長和 D．圖形D與圖形F的周長差8．（真題?江岸區(qū)期末）某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行提價，現(xiàn)有3種方案：①第一次提價m%，第二次提價n%；②第一次提價n%，第二次提價m%；③第一次、第二次提價均為m+n2%．其中m和nA．方案（1）提價最多 B．方案（2）提價最多 C．方案（3）提價最多 D．三種方案提價一樣多9．（2021春?高州市月考）對于任意實數(shù)（a，b）?（c，d），規(guī)定（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc，則當x2﹣3x+2＝0時，（x﹣1，x）?（4﹣x，x﹣1）＝．10．（2021春?賀蘭縣期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝．11．（2021春?茌平區(qū)期末）已知（x+a）（x?32）的結(jié)果中不含x的一次項，則（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值為12．（真題?江岸區(qū)期中）如圖所示，四邊形ABCD、DEFG、HFJI均為正方形，點G在線段BI上，若DG＝a，則△BEI的面積為（用含a的式子表示）．13．（2021春?東平縣期末）計算：（1）（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）﹣（x+2y+1）（x﹣2y﹣1）；（2）[（x﹣3y）（x+3y）+（3y﹣x）2]÷（﹣2x）．14．（真題?德城區(qū)校級月考）先化簡，再求值：（1）[2x（x2y﹣xy2）+xy（xy﹣x2）]÷（x2y），其中x＝2016，y＝2015．（2）32（x+y+z）2+32（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣3z（x+y），其中x+y15．（2021春?順德區(qū)期末）已知a＝（2x﹣3y）2﹣（3y﹣1）（3y+1），b=(8（1）化簡a和b；（2）若ab＝40，求a2+b2．16．（2021春?招遠市期中）閱讀：計算：（12?13）（2+1解：設(shè)t=1則原式＝t（t+2）﹣（1+t）2+2＝t2+2t﹣（1+2t+t2）+2＝1．請按照上述的解題思路，解答下列問題：計算：（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a．17．（2020?武侯區(qū)校級開學）對于任意有理數(shù)a，b，c，d，我們規(guī)定abcd=a2+d（1）對于有理數(shù)x，y，k，若2xkx?2yy（2）對于有理數(shù)x，y，若2x+y＝4，3x+y2x218．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，一個長方形中剪下兩個大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示），留下一個“T”型的圖形（陰影部分）．（1）用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．（2）若y＝3x＝21米，“T”型區(qū)域鋪上價格為每平方米20元的草坪，請計算草坪的造價．19．（2021春?廬陽區(qū)校級期中）在長方形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當AD﹣AB＝42時，求S2﹣S1的值（用含a、b的代數(shù)式表示）．20．（真題?奉賢區(qū)期中）圖1是一個長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝一個方向水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．當遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平方向向左拉伸2a至GH．當下面窗戶的遮陽簾水平方向向右拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，將下面窗戶的遮陽簾繼續(xù)水平方向向右拉伸b至PQ時，求此時窗戶透光的面積（即圖中空白部分的面積）為多少？（用含a、b的代數(shù)式表示）（3）如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，當下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點處時，請通過計算比較窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積的大?。畬ｎ}14.4整式的混合運算與化簡求值【典例1】若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標系中，我們定義：M（b+d，a+b+c+d）為整式A的關(guān)聯(lián)點，我們規(guī)定次數(shù)超過3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，則a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點為（6，1）．（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，則A的關(guān)聯(lián)點坐標為．（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點為（6，﹣3），求整式B的表達式．（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多項式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點為（﹣200，0），請直接寫出整式E的表達式．【思路點撥】（1）根據(jù)整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的關(guān)聯(lián)點坐標；（2）根據(jù)題意得出B中x的次數(shù)為1次，設(shè)B＝nx+m，計算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，進而表達出a，b，c，d的值，再根據(jù)C的關(guān)聯(lián)點為（6，﹣3），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；（3）設(shè)E＝nx+m，根據(jù)題意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，進而表達出a，b，c，d的值，再根據(jù)F的關(guān)聯(lián)點為（﹣200，0），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．【解題過程】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，A的關(guān)聯(lián)點坐標為：（5，4），故笞案為：（5，4）；（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多項式，且C的次數(shù)不能超過3次，∴B中x的次數(shù)為1次，∴設(shè)B＝nx+m，∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，∵整式C的關(guān)聯(lián)點為（6，﹣3），∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3，解得：m＝﹣2，n＝3，∴B＝3x﹣2；（3）根據(jù)題意：設(shè)E＝nx+m，∴F＝（nx+m）2（x﹣3）＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3）＝n2x3+（2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2，∵整式F的關(guān)聯(lián)點為（﹣200，0），∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0，n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0，∴m＝﹣n，把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200，解得：n2＝25，∴n＝±5，m＝±5，∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5．1．（真題?和平區(qū)期末）下列計算正確的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8【思路點撥】直接利用平方差公式以及完全平方公式、多項式乘多項式分別計算，進而判斷得出答案．【解題過程】解：A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此選項不合題意；B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此選項不合題意；C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此選項不合題意；D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此選項符合題意．故選：D．2．（2020春?長安區(qū)校級期末）若x2﹣4x﹣1＝0，則代數(shù)式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值為（）A．3 B．4 C．1 D．0【思路點撥】利用單項式乘多項式的計算法則和完全平方公式先算乘方和乘法，然后再算加減，最后整體代入求值．【解題過程】解：原式＝2x2﹣6x﹣（x2﹣2x+1）+3＝2x2﹣6x﹣x2+2x﹣1+3＝x2﹣4x+2，又∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴原式＝1+2＝3，故選：C．3．已知a2+2ab+b2＝0，那么代數(shù)式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值為（）A．0 B．2 C．4 D．6【思路點撥】直接利用乘法公式化簡，再利用整式的混合運算法則計算，把（a+b）＝0代入得出答案．【解題過程】解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2）＝a2+4ab﹣a2+4b2＝4ab+4b2，∵a2+2ab+b2＝0，∴（a+b）2＝0，則a+b＝0，故原式＝4b（a+b）＝0．故選：C．4．（真題?張掖期末）如圖，正方體的每一個面上都有一個正整數(shù)，已知相對的兩個面上兩數(shù)之和都相等．如果13、9、3對面的數(shù)分別為a、b、c，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（）A．48 B．76 C．96 D．152【思路點撥】本題須先求出a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，c﹣a＝10，再通過對要求的式子進行化簡整理，代入相應的值即可求出結(jié)果．【解題過程】解：∵正方體的每一個面上都有一個正整數(shù)，相對的兩個面上兩數(shù)之和都相等，∴a+13＝b+9＝c+3，∴a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，c﹣a＝10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca==(a?b故選：B．5．（2021春?越秀區(qū)校級期末）已知x1，x2，…，x2021均為正數(shù)，且滿足M＝（x1+x2+…+x2020）（x2+x3+……+x2021），N＝（x1+x2+…+x2021）（x2+x3+…+x2020），則M，N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N【思路點撥】根據(jù)題目中式子的特點，不妨設(shè)x2+x3…+x2020＝a，然后即可將M和N化簡，再作差比較大小即可．【解題過程】解：設(shè)x2+x3…+x2020＝a，∴M＝（x1+a）（a+x2021），N＝（x1+a+x2021）?a，∴M﹣N＝（x1+a）（a+x2021）﹣（x1+a+x2021）?a＝ax1+x1x2021+a2+ax2021﹣ax1﹣a2﹣ax2021＝x1x2021，∵x1，x2，…，x2021均為正數(shù)，∴x1x2021＞0，∴M﹣N＞0，∴M＞N，故選：B．6．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABCD中放入一個邊長為8的大正方形ALMN和兩個邊長為6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3個陰影部分的面積滿足2S3+S1﹣S2＝2，則長方形ABCD的面積為（）A．100 B．96 C．90 D．86【思路點撥】設(shè)長方形ABCD的長為a，寬為b，則由已知及圖形可得S1，S2，S3的長、寬及面積如何表示，根據(jù)2S3+S1﹣S2＝2，可整體求得ab的值，即長方形ABCD的面積．【解題過程】解：設(shè)長方形ABCD的長為a，寬為b，則由已知及圖形可得：S1的長為：8﹣6＝2，寬為：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），S2的長為：，8+6﹣a＝14﹣a，寬為：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），S3的長為：a﹣8，寬為：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），∵2S3+S1﹣S2＝2，∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，∴ab﹣88＝2，∴ab＝90．故選：C．7．（真題?晉中期中）圖1是兩張全等的矩形紙片，先后按如圖2、圖3（圖中的陰影部分）所示的方式放置在同一個正方形中．若知道圖形B與圖形E（兩個矩形的公共部分）的面積差，則一定能求出（）A．圖形A與圖形C的周長和 B．圖形D與圖形F的周長和 C．圖形B與圖形E的周長和 D．圖形D與圖形F的周長差【思路點撥】根據(jù)題意設(shè)矩形較長的一邊為x，較短的一邊為y，正方形的邊長為a，先用字母表示出圖形B、E的面積，根據(jù)題意得到（x﹣y）為已知，再用字母分別表示出圖形A、B、C、D、E、F的周長，進行計算即可得出正確的選項．【解題過程】解：設(shè)矩形較長的一邊為x，較短的一邊為y，正方形的邊長為a，圖形B的面積＝（2x﹣a）（2y﹣a）＝（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），圖形E的面積＝（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），∴圖形B與圖形E的面積差＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝（x2+y2﹣2xy）＝（x﹣y）2，圖形B的周長＝2（2x﹣a）+2（2y﹣a）＝4x+4y﹣4a，圖形E的周長＝2（x+y﹣a）+2（x+y﹣a）＝4x+4y﹣4a，∴圖形B與圖形E的周長和＝（4x+4y﹣4a）+（4x+4y﹣4a）＝8x+8y﹣8a，故C選項不符合題意；圖形A的周長＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，圖形C的周長＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，∴圖形A與圖形C的周長和＝4a﹣2y﹣2x+4a﹣2y﹣2x＝8a﹣4y﹣4x，故A選項不符合題意；圖形D的周長＝4（a﹣x），圖形F的周長＝4（a﹣y），∴圖形D與圖形F的周長和＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，故B選項不符合題意；∴圖形D與圖形F的周長差＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），又∵圖形B與圖形E的面積差＝（x﹣y）2，為已知，即（x﹣y）為已知，故D選項符合題意，故選：D．8．（真題?江岸區(qū)期末）某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行提價，現(xiàn)有3種方案：①第一次提價m%，第二次提價n%；②第一次提價n%，第二次提價m%；③第一次、第二次提價均為m+n2%．其中m和nA．方案（1）提價最多 B．方案（2）提價最多 C．方案（3）提價最多 D．三種方案提價一樣多【思路點撥】方案（1）和（2）顯然相同，用方案（3）的單價減去方案（1）的單價，利用完全平方公式及多項式乘以多項式的法則化簡，去括號合并后再利用完全平方公式變形，根據(jù)m不等于n判定出其差為正數(shù)，進而確定出方案3的提價多．【解題過程】解：設(shè)m%＝a，n%＝b，則提價后三種方案的價格分別為：方案1：（1+a）（1+b）＝（1+a+b+ab）；方案2：（1+a）（1+b）＝（1+a+b+ab）；方案3：（1+a+b2）2＝（1+a+b（1+a+b+a2+2ab+b24）﹣（1+＝1+a+b+a2+2ab+b24?=a=14（a﹣b）∵m和n是不相等的正數(shù)，∴a≠b，∴14（a﹣b）2∴方案（3）提價最多．故選：C．9．（2021春?高州市月考）對于任意實數(shù)（a，b）?（c，d），規(guī)定（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc，則當x2﹣3x+2＝0時，（x﹣1，x）?（4﹣x，x﹣1）＝．【思路點撥】根據(jù)新定義運算法則進行化簡，然后將x2﹣3x+2＝0代入原式即可求出答案．【解題過程】解：原式＝（x﹣1）2﹣x（4﹣x）＝x2﹣2x+1﹣4x+x2＝2x2﹣6x+1，∵x2﹣3x+2＝0，∴x2﹣3x＝﹣2，∴原式＝2（x2﹣3x）+1＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3．故答案為：﹣3．10．（2021春?賀蘭縣期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝．【思路點撥】根據(jù)立方和公式變形，再將已知條件整體代入即可．【解題過程】解：∵x+y＝1，∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．故答案為：4．11．（2021春?茌平區(qū)期末）已知（x+a）（x?32）的結(jié)果中不含x的一次項，則（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值為【思路點撥】先求出a的值，再根據(jù)完全平方公式和多項式乘以多項式法則算乘法，再合并同類項，最后求出答案即可．【解題過程】解：（x+a）（x?3＝x2?32x+ax＝x2+（?32+a）x∵（x+a）（x?32）的結(jié)果中不含∴?32解得：a=3（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）＝a2+4a+4+a+1﹣a2﹣a＝4a+5，當a=32時，原式＝4故答案為：11．12．（真題?江岸區(qū)期中）如圖所示，四邊形ABCD、DEFG、HFJI均為正方形，點G在線段BI上，若DG＝a，則△BEI的面積為（用含a的式子表示）．【思路點撥】設(shè)正方形ABCD、HFJI的邊長分別為x和y，然后利用割補法表示出陰影部分面積，從而結(jié)合去括號，合并同類項的運算法則進行化簡計算．【解題過程】解：設(shè)正方形ABCD、HFJI的邊長分別為x和y，∴S△BEI＝S正方形ABCD+S正方形DEFG+S正方形HFJI+S△BCE﹣S△ABG﹣S△HGI﹣S△EJI＝x2+a2+y2+12x（a﹣x）?12x（x+a）?12y（y﹣a）?＝x2+a2+y2+12xa?12x2?12x2?12xa?1＝a2，故答案為：a2．13．（2021春?東平縣期末）計算：（1）（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）﹣（x+2y+1）（x﹣2y﹣1）；（2）[（x﹣3y）（x+3y）+（3y﹣x）2]÷（﹣2x）．【思路點撥】（1）先利用平方差公式計算乘法，然后再去括號，最后合并同類項；（2）先利用平方差公式和完全平方公式計算乘方和乘法，然后再計算多項式除以單項式．【解題過程】解：（1）原式＝[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]﹣[x+（2y+1）][x﹣（2y+1）]＝[x2﹣（2y﹣1）2]﹣[x2﹣（2y+1）2]＝[x2﹣（4y2﹣4y+1）]﹣[x2﹣（4y2+4y+1）]＝（x2﹣4y2+4y﹣1）﹣（x2﹣4y2﹣4y﹣1）＝x2﹣4y2+4y﹣1﹣x2+4y2+4y+1＝8y；（2）原式＝（x2﹣9y2+9y2﹣6xy+x2）÷（﹣2x）＝（2x2﹣6xy）÷（﹣2x）＝﹣x+3y．14．（真題?德城區(qū)校級月考）先化簡，再求值：（1）[2x（x2y﹣xy2）+xy（xy﹣x2）]÷（x2y），其中x＝2016，y＝2015．（2）32（x+y+z）2+32（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣3z（x+y），其中x+y【思路點撥】（1）先算乘法，再合并同類項，算除法，最后代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同類項，算除法，最后代入求出即可．【解題過程】解：（1）原式＝（2x3y﹣2x2y2+x2y2﹣x3y）÷（x2y）＝（x3y﹣x2y2）÷（x2y）＝x﹣y，當x＝2016，y＝2015時，原式＝2016﹣2015＝1；（2）原式=32[（x+y）+z]2+32[（x+y）2﹣z2=32（x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz）+32（x2﹣2xy+y2﹣z2=32x2+32y2+32z2+3xy+3xz+3yz+32x2﹣3xy+3＝3x2+3y2＝3（x2+y2），因為x+y＝5，xy＝4所以x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×4＝25﹣8＝17，所以原式＝3×17＝51．15．（2021春?順德區(qū)期末）已知a＝（2x﹣3y）2﹣（3y﹣1）（3y+1），b=(8（1）化簡a和b；（2）若ab＝40，求a2+b2．【思路點撥】（1）化簡a，先根據(jù)乘法公式計算乘方和乘法，然后再計算；化簡b，用多項式除以單項式的計算法則進行計算求解；（2）先求得a﹣b，然后利用完全平方公式計算求解．【解題過程】解：（1）a＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9y2﹣1）＝4x2﹣12xy+9y2﹣9y2+1＝4x2﹣12xy+1；b=＝4x2﹣12xy﹣4；（2）a﹣b＝4x2﹣12xy+1﹣（4x2﹣12xy﹣4）＝4x2﹣12xy+1﹣4x2+12xy+4＝5，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×40＝25+80＝105．16．（2021春?招遠市期中）閱讀：計算：（12?13）（2+1解：設(shè)t=1則原式＝t（t+2）﹣（1+t）2+2＝t2+2t﹣（1+2t+t2）+2＝1．請按照上述的解題思路，解答下列問題：計算：（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a．【思路點撥】把2a2﹣ab看作一個整體，設(shè)m＝2a2﹣ab，利用換元即可求解．【解題過程】解：設(shè)m＝2a2﹣ab，則（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a＝（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣ab+2a2）＝（m+2）（m﹣2）﹣（m+1）2+2m＝m2﹣4﹣（m2+2m+1）+2m＝m2﹣4﹣m2﹣2m﹣1+2m＝﹣5．17．（2020?武侯區(qū)校級開學）對于任意有理數(shù)a，b，c，d，我們規(guī)定abcd=a2+d（1）對于有理數(shù)x，y，k，若2xkx?2yy（2）對于有理數(shù)x，y，若2x+y＝4，3x+y2x2【思路點撥】（1）利用新定義運算列出算式并化簡，然后利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)分析求解；（2）利用新定義運算列出等式并化簡，然后利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)進行變形計算求解．【解題過程】解：（1）原式＝（2x）2+y2﹣（﹣2y）?kx＝4x2+2kxy+y2，∵原式是一個完全平方式，∴4x2+2kxy+y2＝（2x±y）2，∴2k＝±2×2×1＝±4，解得：k＝±2，∴k的值為±2；（2）2x＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝4x2+y2，∴4x2+y2＝18，又∵4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝18，且2x+y＝4，∴42﹣4xy＝18，解得：xy=?1∴xy的值為?118．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，一個長方形中剪下兩個大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示），留下一個“T”型的圖形（陰影部分）．（1）用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．（2）若y＝3x＝21米，“T”型區(qū)域鋪上價格為每平方米20元的草坪，請計算草坪的造價．【思路點撥】（1）用大長方形面積減去兩個小正方形面積；（2）先求出x，然后將x、y的值代入即可．【解題過程】解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2＝2x2+5xy；（2）∵y＝3x＝21，∴x＝7，2x2+5xy＝2×49+5×7×21＝833（平方米）20×833＝16660（元）答：草坪的造價為16660元．19．（2021春?廬陽區(qū)校級期中）在長方形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當AD﹣AB＝42時，求S2﹣S1的值（用含a、b的代數(shù)式表示）．【思路點撥】設(shè)AB＝x，則AD＝x+42，根據(jù)圖形得出S2﹣S2＝[（x﹣a）（x+42﹣b）+（x+42﹣a）a]﹣[（x+42）（x﹣a）+（x+42﹣a）