專題17 逆用導數(shù)的四則運算法則構(gòu)造函數(shù)

專題17逆用導數(shù)的四則運算法則構(gòu)造函數(shù)【方法點撥】1.已知中同時出現(xiàn)關于、的不等關系，而所求是抽象形式的不等式，應考慮“逆用導數(shù)的四則運算法則”構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，然后再逆用單調(diào)性；2.常見的構(gòu)造函數(shù):①對于，構(gòu)造；一般的，對于，構(gòu)造．②對于，構(gòu)造；一般的，對于，構(gòu)造．③對于，構(gòu)造；一般的，對于，構(gòu)造．④對于，構(gòu)造；一般的，對于，構(gòu)造．⑤對于，即，構(gòu)造．⑥對于，構(gòu)造．⑦對于，構(gòu)造.⑧對于，構(gòu)造.⑨對于，構(gòu)造.【典型題示例】例1（2021·江蘇省南通市通州區(qū)一診·15）已知偶函數(shù)(x≠0)的導函數(shù)為，，當x＞0時，，則使成立的x的取值范圍是．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】【解析】設，則∵x＞0時，∴當x＞0時，，故在（0，+∞）單增又，所以∵是偶函數(shù)∴也是偶函數(shù)，且在（－∞，0）單減等價于，即由是偶函數(shù)且在（0，+∞）單增得，解之得.例2（多選題）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是A． B． C． D．【分析】結(jié)合已知可構(gòu)造，，結(jié)合已知可判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性及不等式的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：令，，因為，則，故在，上單調(diào)遞減，因為，則，結(jié)合選項可知，，從而有，即，故錯誤，因為，結(jié)合在在，上單調(diào)遞減可知，從而有，由可得，故錯誤；，從而有，且，即．故正確；，從而有即．故正確．故選：．例3函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為.【答案】（，+）【分析】題目應歸結(jié)為“解抽象函數(shù)型不等式”問題，解決方法是“逆用函數(shù)的單調(diào)性”.題目中哪個條件能讓你聯(lián)想到“函數(shù)的單調(diào)性”呢？注意到已知中，只需構(gòu)造函數(shù)，使得，不難得到（這里為常數(shù)，本題中?。?，進而利用的單調(diào)性，即可找到解題的突破口.【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，故單調(diào)遞增，且.另一方面所求不等式，就轉(zhuǎn)化為，逆用單調(diào)性定義易知，則不等式的解集為. 例4設f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，且滿足f(x)＋xf′(x)>0，則不等式f(eq\r(x＋1))>eq\r(x－1)·f(eq\r(x2－1))的解集為________．【答案】[1,2)【解析】設F(x)＝xf(x)，則由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函數(shù)F(x)是R上的增函數(shù)．又eq\r(x＋1)>0，∴由f(eq\r(x＋1))>eq\r(x－1)f(eq\r(x2－1))可變形得eq\r(x＋1)f(eq\r(x＋1))>eq\r(x2－1)f(eq\r(x2－1))，即F(eq\r(x＋1))>F(eq\r(x2－1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)>\r(x2－1)，,x≥1，))解得1≤x<2.【鞏固訓練】1.函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex＋1的解集為______．2.已知定義在R上的奇函數(shù)，設其導函數(shù)為，當時，恒有，則滿足的實數(shù)的取值范圍是．3.設是定義在上的可導函數(shù)，且，則不等式的解集是（）A.B.C.D.4．定義在上的可導函數(shù)，當時，恒成立，，則的大小關系為（）A．B．C．D．5．定義在上的函數(shù)，是它的導函數(shù)，且恒有成立．則（）A．B．C．D．6．函數(shù)的導函數(shù)為，對任意的，都有成立，則（）A.B.C.D.與的大小不確定7.設奇函數(shù)f(x)定義在(－，0)∪(0，)上其導函數(shù)為f(x)，且f(eq\f(,2))＝0，當0＜x＜時，f(x)sinx－f(x)cosx＜0，則關于x的不等式f(x)＜2f(eq\f(,6))sinx的解集為．

【答案或提示】1.【答案】(0，＋∞)【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex·f(x)－ex，因為g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex為R上的增函數(shù)．又因為g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>g(0)，解得x>0.2.【答案】3.【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，于是該函數(shù)遞減，變形為，于是，得，選D.4．【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，當時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，則，，則，即，選A．5．【答案】A【解析】由得，構(gòu)造函數(shù)，則，故單調(diào)遞增，有．故選A．6．【答案】B【解析】令,則,因為,所以在上恒成立.即函數(shù)在單調(diào)遞增.因為,所以即.答案選B．7.【答案】(－eq\f(,6)，0)∪(eq\f(,6)，)【分析】這是一道難度較大的填空題，它主要考查奇函數(shù)的單調(diào)性在解不等式中的應用，奇函數(shù)的圖象關于坐標原點中心對稱，關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；在公共定義域上兩個奇函數(shù)的積與商是偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖象關于y軸軸對稱，關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的重要工具，大家知道(eq\f(f,g))＝eq\f(fg－fg,g2)，(sinx)＝cosx，于是本題的本質(zhì)是構(gòu)造eq\f(f(x),sinx)來解不等式【解析】設g(x)=eq\f(f(x),sinx)，則g(x)=(eq\f(f(x),sinx))＝eq\f(f(x)sinx－f(x)cosx,sin2x)，所以當0＜x＜時，g(x)<0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減又由于在(0，)上sinx＞0，考慮到sineq\f(,6)＝eq\f(1,2)，所以不等式f(x)＜2f(eq\f(,6))sinx等價于eq\f(f(x),sinx)＜eq\f(f(eq\f(,6)),sineq\f(,6))，即g(x)<g(eq\f(,6)),所以此時不等式等價于eq\f(,6)＜x＜.又因為f(x)、sinx為奇函數(shù)，所以g(x)是偶函數(shù)，且在(－，0)上sinx＜0，所以函數(shù)g(x)在(－，