3.5 質(zhì)因數(shù)與分解因數(shù)（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級下冊同步培優(yōu)講義（蘇教版）

3.5質(zhì)因數(shù)與分解因數(shù)第一部分第一部分學(xué)問清單假如一個數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，這個因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫作分解質(zhì)因數(shù)。人們經(jīng)常用短除法來分解質(zhì)因數(shù)。把每個除數(shù)和最終的商寫成連乘的形式：30=2×3×5其次部分其次部分典型例題例1：永星學(xué)校五班級有4個班，五（1）班37人，五（2）班40人，五（3）班41人，五（4）班43人。能夠把全班分成人數(shù)相同小組的是（

）。A．五（1）班 B．五（2）班 C．五（3）班 D．五（4）班答案：B分析：這些班的人數(shù)中，是合數(shù)的可以分成每組人數(shù)相同的組數(shù)，是質(zhì)數(shù)的就不能分成每組人數(shù)相同的組數(shù)。詳解：40＝2×2×2×537＝1×3741＝1×4143＝1×4340是合數(shù)，可以平均分成人數(shù)相同的小組，37、41、43是質(zhì)數(shù)，不行以分成人數(shù)相同的小組，所以五（2）班、可以平均分成人數(shù)相同的小組。故答案為：B點睛：本題考查了依據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。例2：下面各數(shù)是由哪些質(zhì)數(shù)相乘得到的？22＝()×()

130＝()×()×()34＝()×()

27＝()×()×()65＝()×()

98＝()×()×()答案：2112513217333513277分析：依據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的意義，把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)連乘積的形式，叫做把這個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，由此解答。詳解：22＝2×2

130＝2×5×1334＝2×17

27＝3×3×365＝5×13

98＝2×7×7例3：把42分解質(zhì)因數(shù)。42＝1×2×3×7。()答案：×分析：分解質(zhì)因數(shù)的意義，把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)，據(jù)此分析解答。詳解：42＝2×3×7，所以把42分解質(zhì)因數(shù)，42＝1×2×3×7是錯誤的；故答案為：×點睛：本題主要考查分解質(zhì)因數(shù)的意義，留意是幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。例4：三個小伴侶，他們的年齡正好是三個連續(xù)的自然數(shù)，且他們年齡的積是60，這三個小伴侶年齡最大的是多少歲？答案：5歲分析：本題考查利用分解質(zhì)因數(shù)解決問題，可先把60分解質(zhì)因數(shù)，然后把結(jié)果寫成三個連續(xù)自然數(shù)的積的形式，即可求得這三個小伴侶中最大的年齡。詳解：60＝2×2×3×5＝3×4×5

由于3＜4＜5因此年齡最大的是5歲。答：這三個小伴侶年齡最大的是5歲。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．下列說法中有（

）句是正確的。①自然數(shù)（0除外）不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)；②自然數(shù)（0除外）不是奇數(shù)就是偶數(shù)。③兩個質(zhì)數(shù)的和肯定是合數(shù)。④把17分解質(zhì)因數(shù)為：17＝l×17。A．1 B．2 C．3 D．42．將12分解質(zhì)因數(shù)，正確的是（

）。A．12＝1×2×2×3 B．12＝2×2×3 C．2×2×3＝123．5和7都是35的（

）。A．質(zhì)因數(shù) B．互質(zhì)數(shù) C．公因數(shù)4．a(chǎn)＝2×2×5，b＝2×7×5，那么a、b的最小公倍數(shù)是（

）。A．10 B．60 C．1405．將40分解質(zhì)因數(shù)，下列選項正確的是（

）。A． B． C．6．假如A＝2×3×5，那么A的因數(shù)有（

）個。A．8 B．6 C．77．四（2）班用彩帶裝扮教室，他們要將兩根分別長42米、28米的彩帶，剪成同樣長的短彩帶，且沒有剩余。每根短彩帶最長是（

）米。A．2 B．6 C．7 D．14二、填空題8．42＝6×7，6()42的質(zhì)因數(shù)，7()42的質(zhì)因數(shù)。（填“是”或“不是”）9．A＝2×2×t，B＝2×t×5，已知A和B的最大公因數(shù)是6，那么t＝()，A和B的最小公倍數(shù)是()。10．假如a÷b＝36，那么a和b的最小公倍數(shù)是()，把36分解質(zhì)因數(shù)是()。11．從0、2、5、7中選出兩個數(shù)字，組成一個既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的兩位數(shù)，這個數(shù)是()，把這個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)是()。12．一個兩位數(shù)“5”，它是2和3的公倍數(shù)，里填的數(shù)是()，把這個兩位數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：()。三、推斷題13．66＝6×11，6和11都是66的質(zhì)因數(shù)。()14．24既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)，所以24是4和6的最小公倍數(shù)。()。15．把28分解質(zhì)因數(shù)是。()。16．由于20＝2×2×5，所以2和5都是20的質(zhì)因數(shù)。()17．凡是合數(shù)都能用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來。()：培優(yōu)提升練四、計算題18．分解質(zhì)因數(shù)。44

78

10519．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。12和48

26和39

13和15五、解答題20．學(xué)校召開運動會，開幕式上每個班級派出一個方隊進(jìn)行風(fēng)采呈現(xiàn)。方隊中每行的人數(shù)和行數(shù)都是質(zhì)數(shù)（每行人數(shù)都相等）。四個小伴侶在看臺上數(shù)出五班級方隊的總?cè)藬?shù)如下表，其中只有一個小伴侶數(shù)對了。五班級方隊有多少人？為什么？芳芳亮亮紅紅兵兵6672778021．用96朵紅花和72朵黃花做成若干同樣的花束，沒有剩余。那么最多可以做多少束花？每束有幾朵花？22．有一塊長方形彩板，長18厘米，寬15厘米，將這塊彩板裁成同樣大小的小正方形，不能有剩余，每塊小正方形的面積最大是多少平方厘米？可以裁成多少塊？23．有4個小伴侶，他們的年齡恰好是4個連續(xù)的自然數(shù)，他們的年齡的積是360，最大的小伴侶多少歲？24．放假時，杭老師用216元錢買了若干支鋼筆當(dāng)獎品發(fā)給“三好同學(xué)”，假如每支鋼筆廉價1元，那么他可以多買3支。杭老師買了多少支鋼筆？每支鋼筆多少元？25．五（1）班要在學(xué)校的空地上栽30棵樹苗，要求每行的棵數(shù)相同（至少栽2行，每行至少栽2棵），有幾種不同的栽法？請列舉出來。1．A分析：1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)；只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；除了1和它本身，還有其它因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)；把一個合數(shù)分解成若干個質(zhì)因數(shù)的乘積的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)。詳解：①自然數(shù)1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，原說法錯誤；②由于自然數(shù)包括奇數(shù)和偶數(shù)，所以自然數(shù)（0除外）不是奇數(shù)就是偶數(shù)，原說法正確；③質(zhì)數(shù)2和質(zhì)數(shù)3的和是質(zhì)數(shù)5，5是質(zhì)數(shù)，所以兩個質(zhì)數(shù)的和肯定是合數(shù)說法錯誤；④由于1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，所以把17分解質(zhì)因數(shù)為：17＝l×17錯誤。只有②這一句正確。故答案為：A點睛：把握質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵。2．B分析：分解質(zhì)因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)的連乘形式，由此進(jìn)行選擇。詳解：A．12＝1×2×2×3；1不是質(zhì)數(shù)，不符合題意；B．12＝2×2×3；正確，符合題意；C．2×2×3＝12，格式錯誤，不符合題意。將12分解質(zhì)因數(shù)，正確的是12＝2×2×3。故答案為：B點睛：此題考查了分解質(zhì)因數(shù)，留意相乘的數(shù)必需是質(zhì)數(shù)。3．A分析：分解質(zhì)因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)的連乘積形式，一般先從簡潔的質(zhì)數(shù)試著分解。詳解：把35分解質(zhì)因數(shù)：35＝5×7所以5和7是35的質(zhì)因數(shù)。故答案為：A點睛：此題主要考查互質(zhì)數(shù)、公因數(shù)、質(zhì)因數(shù)的概念及意義，和分解質(zhì)因數(shù)的方法。4．C分析：a和b相同的因數(shù)有：2、5，不同的因數(shù)有：2、7，留意a中有兩個2，其中一個2與b中一個因數(shù)相同，另一個2則視作不同的因數(shù)，把相同的因數(shù)和不同的因數(shù)相乘即可得解。詳解：由分析可知：、b的最小公倍數(shù)為：2×5×2×7＝140故選：C點睛：本題考查通過分解質(zhì)因數(shù)法求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，先分別找到這兩個數(shù)相同的因數(shù)和不同的因數(shù)，然后計算它們的乘積即可。5．B分析：分解質(zhì)因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)的連乘積形式，一般先從簡潔的質(zhì)數(shù)試著分解。詳解：將40分解質(zhì)因數(shù)為：40＝2×2×2×5故答案為：B點睛：嫻熟把握分解質(zhì)因數(shù)的方法是解決此題的關(guān)鍵。6．A分析：A＝2×3×5＝30，依據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法成對的找出30的因數(shù)即可。詳解：A＝2×3×5＝3030＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6所以30的因數(shù)有1、2、3、5、6、10、15、30共8個，即A的因數(shù)有8個。故答案為：A。點睛：本題主要考查求一個數(shù)因數(shù)的方法。7．D分析：剪成同樣長的短彩帶，且沒有剩余，那么每根短彩帶的長度是42和28的公因數(shù)；求每根短彩帶最長的長度，就是求42和28的最大公因數(shù)。42、28分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來就是最大公因數(shù)，即可得解。詳解：42＝2×3×728＝2×2×742和28的最大公因數(shù)是：2×7＝14即每根短彩帶最長是14米。故答案為：D點睛：本題考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法解決實際問題，也可以用短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。8．不是是分析：分解質(zhì)因數(shù)是把一個合數(shù)用幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，其中每個質(zhì)數(shù)叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)；由于6是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，所以6不是42的質(zhì)因數(shù)，7是42的質(zhì)因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：42＝6×7，則6和7都是42的因數(shù)，由于6是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，因此6不是42的質(zhì)因數(shù)，7是42的質(zhì)因數(shù)。因此42＝6×7，6不是42的質(zhì)因數(shù)，7是42的質(zhì)因數(shù)。9．360分析：A＝2×2×t，B＝2×t×5，相同的質(zhì)因數(shù)是2和t，則最大公因數(shù)是2×t＝6，則t＝3。即A＝2×2×3，B＝2×3×5，最小公倍數(shù)是最小公倍數(shù)乘兩個數(shù)剩下的質(zhì)因數(shù)。即2×3×2×5＝60。詳解：最大公因數(shù)：2×t＝6t＝6÷2t＝3最小公倍數(shù)：2×3×2×5＝60則t＝3，A和B的最小公倍數(shù)是60。10．a(chǎn)36＝2×2×3×3分析：依據(jù)題意：a÷b＝3，a和b成倍數(shù)關(guān)系；假如兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么兩個數(shù)中較大數(shù)是它們的最小公倍數(shù)，再依據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的方法：把一個合數(shù)分解成若干個質(zhì)因數(shù)的乘積的形式，即求質(zhì)因數(shù)的過程叫做分解質(zhì)因數(shù)；據(jù)此解答。詳解：a÷b＝36，也就是a是b的倍數(shù)，所以a和b的最小公倍數(shù)是a。36＝2×2×3×3假如a÷b＝36，那么a和b的最小公倍數(shù)是a，把36分解質(zhì)因數(shù)是36＝2×2×3×3。點睛：嫻熟把握求最小公倍數(shù)的方法以及分解質(zhì)因數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。11．7575＝3×5×5分析：依據(jù)3、5倍數(shù)的特征可知：這個數(shù)的個位上要么是0，要么是5，且個位和十位的數(shù)相加的和必需是3的倍數(shù)，由此可知，這個數(shù)最大是75，然后進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)。詳解：依據(jù)分析可知，從0、2、5、7中選出兩個數(shù)字，組成一個既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的兩位數(shù)，這個數(shù)是75；75＝3×5×5所以，從0、2、5、7中選出兩個數(shù)字，組成一個既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的兩位數(shù)，這個數(shù)是75，把這個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)是75＝3×5×5。點睛：本題主要考查了3、5的倍數(shù)的數(shù)的特征，留意基礎(chǔ)學(xué)問的機敏運用；每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個質(zhì)數(shù)就都叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。12．454＝2×3×3×3分析：依據(jù)2、3的倍數(shù)的特征：個位數(shù)是0、2、4、6、8是都是2的倍數(shù)；一個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)肯定是3的倍數(shù)。因此，既有因數(shù)2，又是3的倍數(shù)，里的能填的數(shù)最大是4，再把54分解質(zhì)因數(shù)即可。詳解：由于5□是3的倍數(shù)，假設(shè)方框里的數(shù)字是a，那么a＋5可以為6，9，12，即a可以取1，4，7，又由于5□是2的倍數(shù)，所以方框里只可能填4，這個兩位數(shù)為54；一個兩位數(shù)“5”，它是2和3的公倍數(shù)，里填的數(shù)是4，把這個兩位數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：54＝2×3×3×3點睛：把握能被2、3整除的數(shù)的特征是解答此題的關(guān)鍵。13．×分析：依據(jù)質(zhì)因數(shù)的意義和分解質(zhì)因數(shù)的方法，把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)連乘積的形式，叫做把這個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)；由此解答。詳解：66＝2×3×11，質(zhì)因數(shù)由2、3、11，所以原題干表述錯誤。故答案為：×點睛：此題主要考查分解質(zhì)因數(shù)的意義和分解質(zhì)因數(shù)的方法，明確在自然數(shù)中，只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，是解題的關(guān)鍵。14．×分析：由于24＝4×6，所以24是4的倍數(shù)也是6的倍數(shù)，依據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的方法找兩個數(shù)的最小公倍數(shù)：4＝2×2；6＝2×3，由此即可知道4和6的最小公倍數(shù)：2×2×3，算出結(jié)果即可。詳解：由分析可知：24是4和6的倍數(shù)。4＝2×26＝2×34和6的最小公倍數(shù)：2×2×3＝4×3＝12故答案為：×。點睛：本題主要考查最小公倍數(shù)的找法，可以依據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的方法或者短除法。15．×分析：依據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的意義：把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)，而4雖是28的因數(shù)但不是質(zhì)數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，據(jù)此推斷。詳解：28＝1×4×7，1、4不是質(zhì)數(shù)正確分解為：28＝2×2×7所以把28分解質(zhì)因數(shù)是：28＝1×4×7說法錯誤。故答案為：×點睛：此題主要考查分解質(zhì)因數(shù)的意義，理解質(zhì)因數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵。16．√分析：把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，也是這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，據(jù)此推斷。詳解：由于20＝2×2×5，所以2和5都是20的質(zhì)因數(shù)。說法正確。故答案為：√點睛：此題考查了對質(zhì)因數(shù)的生疏，假如一個數(shù)既是另一個數(shù)的因數(shù)，還是質(zhì)數(shù)，那么這個數(shù)就是另一個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。17．√分析：依據(jù)合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)的概念即可推斷此題。詳解：把一個合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫作分解質(zhì)因數(shù)。故答案為：√點睛：1、一個數(shù)除了1和它本身以外還有其他的因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)；2、一個合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫作分解質(zhì)因數(shù)。18．44＝2×2×11；78＝2×3×13；105＝3×5×7分析：把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：44＝2×2×1178＝2×3×13105＝3×5×719．12和48的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是48；26和39的最大公因數(shù)是13，最小公倍數(shù)是78；13和15的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是195分析：用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)：兩個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來就是最大公因數(shù)；把公有的質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)乘起來，就是最小公倍數(shù)。假如兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么它們的最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它倆的乘積；據(jù)此解答。詳解：12和4848是12的倍數(shù)，所以12和48的最大公因數(shù)是12；最小公倍數(shù)是4826和3926＝2×1339＝3×1326和39的最大公因數(shù)是：13；最小公倍數(shù)是：2×3×13＝7813和1513和15是互質(zhì)數(shù)，所以最大公因數(shù)是1；最小公倍數(shù)是：13×15＝19520．77人；見詳解分析：分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個質(zhì)因數(shù)相乘的形式。依據(jù)題意，方隊中每行的人數(shù)和行數(shù)都是質(zhì)數(shù)；據(jù)此把四個人數(shù)的總?cè)藬?shù)分解質(zhì)因數(shù)，其中能分解成兩個質(zhì)數(shù)相乘形式的合數(shù)即是五班級方隊的總?cè)藬?shù)。詳解：66＝2×3×1172＝2×2×2×3×377＝7×1180＝2×2×2×2×5答：五班級方隊有77人。由于只有77能分解成兩個質(zhì)數(shù)相乘，而其他三個數(shù)都不能分解為兩個質(zhì)數(shù)相乘，所以五班級方隊有77人。21．24束；7朵分析：求出96和72的最大公因數(shù)，即為最多可以做多少束花，把兩種花的朵數(shù)相加，再除以最大公因數(shù)，即可求出每束花有幾朵。詳解：96＝2×2×2×2×2×372＝2×2×2×3×32×2×2×3＝4×2×3＝8×3＝24所以，96和72的最大公因數(shù)是24。（96＋72）÷24＝168÷24＝7（朵）答：最多可以做24束花，每束有7朵花。點睛：本題考查了公因數(shù)的計算與應(yīng)用，理解題意，找出最大公因數(shù)是解題的關(guān)鍵。22．9平方厘米；30塊分析：把一塊長方形彩板，裁成同樣大小的小正方形且沒有剩余，說明小正方形的邊長是長、寬的公因數(shù)；求每塊小正方形最大的面積，那么正方形的邊長要最大，也就是求長、寬的最大公因數(shù)，再依據(jù)正方形的面積＝邊長×邊長，求出最大的面積；再分別求出長、寬里各有幾個最大的邊長，就是長、寬各可以裁幾塊，最終相乘就是可以裁成的塊數(shù)。詳解：15＝3×518＝2×3×315和18的最大公因數(shù)是3；即