3.6 運(yùn)算律解決問題策略多樣化（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)四年級下冊同步培優(yōu)講義（人教版）

3.6運(yùn)算律解決問題策略多樣化第一部分第一部分學(xué)問清單計(jì)算某些特殊的乘法算式時(shí)，可以將其中一個(gè)因數(shù)拆分成兩個(gè)數(shù)的積，再運(yùn)用乘法交換律和乘法結(jié)合律來進(jìn)行簡算；也可以將其中一個(gè)因數(shù)拆分成兩個(gè)數(shù)的和，再運(yùn)用乘法安排律來進(jìn)行簡算。一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以改為除以兩個(gè)數(shù)的積。用字母表示：a÷b÷c=a÷(b×c)b、c,皆不為0。兩數(shù)相乘，若其中一個(gè)因數(shù)是25(或125)，而另一個(gè)因數(shù)正好是4(或8)的幾倍，可將另一個(gè)因數(shù)拆分成4(或8)與其他數(shù)的乘積的形式，再利用乘法運(yùn)算定律進(jìn)行簡算；也可將另一個(gè)因數(shù)拆分成幾十加幾的形式，再利用乘法運(yùn)算定律進(jìn)行簡算。一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，若這兩個(gè)數(shù)相乘的積是整十、整百或整千的數(shù)，可以改寫成除以這兩個(gè)除數(shù)的積，這樣可使計(jì)算簡便。計(jì)算兩商之和(或差)時(shí)，假如除數(shù)相同，可以先把兩個(gè)被除數(shù)相加(或相減)，再除以這個(gè)相同的除數(shù)，這樣可使計(jì)算簡便。其次部分其次部分典型例題例1：計(jì)算630÷35時(shí)，正確的簡便算法是（

）。A．630÷7÷5 B．630÷7×5 C．630÷5×7答案：A分析：乘法口訣“七九六十三”，63÷7＝9，整數(shù)除法的性質(zhì)：7×5＝35，一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以除以這兩個(gè)數(shù)的積。詳解：630÷35＝630÷（7×5）＝630÷7÷5故答案為：A例2：計(jì)算600÷25，下面四種算法中不正確的是（

）。A．600÷5÷5 B．6×（100÷25） C．600÷20＋600÷5 D．（600×4）÷（25×4）答案：C分析：（1）除法的性質(zhì)：a÷b÷c＝a÷（b×c）；所以600÷25＝600÷5÷5；（2）計(jì)算出算式的結(jié)果進(jìn)行推斷；（3）計(jì)算出算式的結(jié)果進(jìn)行推斷；（4）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘相同的數(shù)（0除外），商不變，所以600÷25＝（600×4）÷（25×4）。詳解：A．依據(jù)除法的性質(zhì)可知，600÷5÷5＝600÷（5×5）＝600÷25B．600÷25＝24，6×（100÷25）＝6×4＝24，所以600÷25＝6×（100÷25）C．600÷25＝24，600÷20＋600÷5＝30＋120＝150，所以600÷20＋600÷5算法不正確。D．依據(jù)商不變規(guī)律可知，600÷25＝（600×4）÷（25×4）故答案為：C例3：在括號里填上“＜”“＞”或“＝”。107685()106857

3平方千米()300公頃

2億()20000000004800÷8()4800÷4

130×40()13×40

360÷4÷9()360÷（4×9）答案：＞＝＜＜＞＝分析：（1）整數(shù)比較大小時(shí)，要看他們的數(shù)位。數(shù)位多的那個(gè)數(shù)就大；假如數(shù)位相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大。（2）平方千米和公頃之間的進(jìn)率是100，據(jù)此可知，3平方千米＝300公頃。（3）2億是200000000，再與2000000000比較大小。（4）整數(shù)除法中，被除數(shù)不變，除數(shù)變小，商變大。（5）整數(shù)乘法中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)變小，積變小。（6）依據(jù)除法的性質(zhì)可知，計(jì)算360÷4÷9時(shí)，先計(jì)算4×9，再用360除以這個(gè)積，即360÷4÷9＝360÷（4×9）。詳解：107685＞106857

3平方千米＝300公頃

2億＝200000000，200000000＜2000000000，則2億＜20000000008＞4，則4800÷8＜4800÷4

130＞13，則130×40＞13×40

360÷4÷9＝360÷（4×9）例4：歡歡發(fā)覺計(jì)算器上的按鍵“5”壞了，假如要計(jì)算630÷56，可以怎么辦？請用算式表示你的想法：()。答案：630÷7÷8分析：計(jì)算630÷56時(shí)，按鍵“5”壞了不能按出56，可以依據(jù)除法的性質(zhì)，將56看成7×8，先計(jì)算630÷7，再用商除以8。詳解：用算式表示你的想法：630÷56＝630÷（7×8）＝630÷7÷8：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．某次雛鷹小隊(duì)活動租車前往博物館參觀。有家長20人，同學(xué)160人，每輛大車可坐40人，租金900元；小車可坐20人，租金500元。下列方案（

）最省錢。A．5輛大車 B．9輛小車C．3輛大車3輛小車 D．4輛大車1輛小車2．下面不能說明“5×4＋4×3＝（5＋3）×4”成立的是（

）。A．B．C．D．3．集集在計(jì)算5×（●＋▲）時(shí)，錯(cuò)看成了5×●＋▲，結(jié)果比原來小。假如將相差的部分在圖上圈出來，下面圈法正確的是（

）。A． B． C． D．4．求下圖的面積，既可以列式為（20＋40）×30，也可以列式為20×30＋40×30。這兩個(gè)算式之間的關(guān)系符合（

）。

A．乘法交換律 B．乘法安排律 C．乘法結(jié)合律 D．加法結(jié)合律5．小明買了4支圓珠筆，每支1.3元，在計(jì)算總價(jià)時(shí)，他是這么想的：小明的計(jì)算過程體現(xiàn)了（

）。1元×4＝4元3角×4＝12角＝1.2元4元＋1.2元＝5.2元A．乘法結(jié)合律 B．乘法安排律 C．加法結(jié)合律 D．乘法交換律6．下面可以用來說明“5×4＋3×4”與“（5＋3）×4”相等的是（

）。A．

B．

C．

D．

二、填空題7．每天在計(jì)算45×（口＋6）時(shí)，連犯了兩次錯(cuò)誤，請掛念解答懷疑。(1)每天把算式算成了45×口＋6，這樣與原來的答案相差了()。(2)每天把算式看成了45×6＋口，算出的結(jié)果比正確答案少了88，正確答案應(yīng)當(dāng)是()。8．假如35×A＋35×B運(yùn)用乘法安排律進(jìn)行簡便計(jì)算后，結(jié)果是3500，則A可以是()，B可以是()。（只寫一種）9．（25×5）×2＝()，25×（5×2）＝()，所以（25×5）×2＝25×（5×2）像這樣，三個(gè)數(shù)相乘時(shí)，先乘前兩個(gè)數(shù)，或者先乘后兩個(gè)數(shù)；積不變，這叫乘法()，用字母表示為()。10．用計(jì)算器計(jì)算“1356×49”時(shí)，發(fā)覺數(shù)字鍵“4”壞了，假如還用這個(gè)計(jì)算器，你會怎樣計(jì)算呢？請寫出算式：()。三、推斷題11．28×（100＋1）＝28×100＋1。()12．101×99＝100×99＋99是依據(jù)乘法的安排律計(jì)算的。()13．103×25＝100×25＋3。()14．81×125的簡便算法是80＋1×125。()15．計(jì)算98×101＝98×100＋98×1＝9898，這是依據(jù)乘法安排律進(jìn)行簡便運(yùn)算的。()：培優(yōu)提升練四、計(jì)算題16．看圖列綜合算式。17．看圖列式計(jì)算。五、解答題18．某種產(chǎn)品由小明、小宇兩人來完成，小明每天生產(chǎn)247個(gè)，小宇每天生產(chǎn)353個(gè)，小宇和小明各需要65天才能完成，問這批產(chǎn)品共有多少個(gè)？19．水果店購進(jìn)蘋果和梨各125箱。蘋果每箱42元，梨每箱38元。水果店購進(jìn)這些水果一共花了多少元？20．運(yùn)動可以使我們的身體健康，心情愉悅。在運(yùn)動會開幕式上，合唱社團(tuán)需要舞蹈社團(tuán)的18名同學(xué)伴舞。學(xué)校給伴舞的同學(xué)每人購買一套服裝，一件上衣127元，一條褲子73元，一共需要多少元？21．圖書館里有8本同樣的漫畫書，每本漫畫書有25頁，每頁有6幅畫，這些漫畫書共有多少幅畫？22．學(xué)校合唱隊(duì)的37名同學(xué)要參與演出，每人需要購買一套演出服，一件上衣126元，一條褲子74元。一共需要多少錢？23．學(xué)校為參與運(yùn)動會的同學(xué)購置24套運(yùn)動裝（如圖）。購買20套以上，每套優(yōu)待10元，算一算，購置這些運(yùn)動裝共需要多少元？

24．學(xué)校閱覽室要購進(jìn)《兒童文學(xué)》和《當(dāng)代學(xué)校生》兩種雜志各120本，《兒童文學(xué)》每本9元，《當(dāng)代學(xué)校生》每本11元。學(xué)校一共需要花多少元？

1．D分析：要求哪種方案最省錢，只需要將下列方案進(jìn)行計(jì)算，再比較哪種方案花的錢最少，即可得出。詳解：方案一：租大車5輛需租金：900×5＝4500（元）方案二：租小車9輛需租金：500×9＝4500（元）方案三：租大車3輛，小車3輛需租金：900×3＋500×3＝2700＋1500＝4200（元）方案四：租大車4輛，小車1輛需租金：900×4＋500＝3600＋500＝4100（元）4100＜4200＜4500也就是租大車4輛，小車1輛最省錢。故答案選：D2．B分析：（1）一格表示4，第一次跳了5格，表示為5×4，其次次跳了3格，表示為4×3，合起來表示5×4＋4×3，也可以說一共跳了（5＋3）格，表示（5＋3）×4，所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。（2）白圓一排5個(gè)，有3排，共有（5×3）個(gè)，黑圓一排有4個(gè)，有3排，共有（4×3）個(gè)，合起來有（5×3＋4×3）個(gè)；也可以是一排（5＋4）個(gè)，有3排，共有（5＋4）×3個(gè)；所以5×3＋4×3＝（5＋4）×3。（3）左邊長方形的面積為（5×4）平方米，右邊長方形的面積為（4×3）平方米，合起來面積為：（5×4＋4×3）平方米，把兩個(gè)長方形拼成一個(gè)大長方形，大長方形的面積為（5＋3）×4平方米；所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。（4）5×4等于4本筆記本的錢數(shù)，3×4等于4支鋼筆的錢數(shù)，所以（5×4＋4×3）為4本筆記本和4支鋼筆的錢數(shù)；5＋3等于1本筆記本和1支鋼筆的錢數(shù)，（5＋3）×4等于4本筆記本和4支鋼筆的錢數(shù)；所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。詳解：A．依據(jù)分析可知，圖A可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。

B．依據(jù)分析可知，圖B可以表示5×3＋4×3＝（5＋4）×3，不能表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。

C．依據(jù)分析可知，圖C可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。

D．依據(jù)分析可知，圖D可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。故答案為：B3．C分析：將5×（●＋▲）依據(jù)乘法安排律去括號，應(yīng)是5個(gè)●與5個(gè)▲的和，由此可以看出少算了幾個(gè)▲，再據(jù)圖來解答。詳解：5×（●＋▲）＝5×●＋5×▲由此可知少算了4個(gè)▲。A．4個(gè)●，不正確；B．5個(gè)●，不正確C．4個(gè)▲，是正確的；D．5個(gè)▲，不正確；故答案為：C點(diǎn)睛：此題主要考查同學(xué)對乘法安排律的把握狀況。4．B分析：乘法交換律的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)相乘，交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變；乘法安排律的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加；乘法結(jié)合律的特點(diǎn)是三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變；加法結(jié)合律的特點(diǎn)是三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變；依此選擇即可。詳解：依據(jù)分析可知，此圖的面積，既可以列式為（20＋40）×30，也可以列式為20×30＋40×30。這兩個(gè)算式之間的關(guān)系符合乘法安排律。故答案為：B點(diǎn)睛：解答此題的關(guān)鍵是應(yīng)嫻熟把握加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律，以及乘法安排律的特點(diǎn)。5．B分析：在小明的計(jì)算過程中，將每支1.3元，分成了1元和3角，分別與圓珠筆的支數(shù)相乘，再將得數(shù)相加，計(jì)算過程符合乘法安排律，據(jù)此解答即可。詳解：小明的計(jì)算過程體現(xiàn)了乘法安排律。故答案選：B。點(diǎn)睛：本題考查乘法安排律的生疏以及實(shí)際應(yīng)用。6．C分析：每排有湯圓的個(gè)數(shù)×每盒的排數(shù)×湯圓的盒數(shù)＝湯圓的總個(gè)數(shù)；黑圓圈每排的個(gè)數(shù)×黑圓圈的排數(shù)＋白圓圈每排的個(gè)數(shù)×白圓圈的排數(shù)＝圓圈的總個(gè)數(shù)，或（每排中黑圓圈的個(gè)數(shù)＋每排白圓圈的個(gè)數(shù)）×排數(shù)＝圓圈的總個(gè)數(shù)；每本書的價(jià)錢×本數(shù)＋每支筆的價(jià)錢×支數(shù)＝這些書和筆的總錢數(shù)，或（每本書的價(jià)錢＋每支筆的價(jià)錢）×?xí)凸P共同的支數(shù)＝這些書和筆的總錢數(shù)；計(jì)算三條線段的長度之和，用加法計(jì)算；乘法安排律的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加；依此列式并選擇即可。詳解：A．此圖列式為：4×3×5。B．此圖列式為：5×3＋3×3或（5＋3）×3。C．此圖列式為：5×4＋3×4或（5＋3）×4。D．此圖列式為：5＋3＋4。由此可知，可以用來說明“5×4＋3×4”與“（5＋3）×4”相等的是。故答案為：C點(diǎn)睛：此題考查的是乘法安排律的特點(diǎn)，應(yīng)先列出每個(gè)選項(xiàng)中的算式再進(jìn)行選擇。7．(1)264(2)360分析：（1）依據(jù)題意可知，要求與原式相差多少，用原式減去錯(cuò)誤的式子，再利用乘法安排律，即可求出答案。（2）已知原式算出的結(jié)果比正確答案少了88，據(jù)此列式，求出方框內(nèi)的數(shù)為多少，代入原式，即可求出正確答案。詳解：（1）45×（口＋6）－（45×口＋6）＝45×口＋45×6－45×口－6＝45×6－6＝（45－1）×6＝44×6＝264（2）45×（口＋6）－（45×6＋口）＝45×口＋45×6－45×6－口＝45×口－口＝88依據(jù)乘法安排律可知：45×口－口＝44×口＝88則“口”的值為2。代入原式中，即可求得正確答案為360。點(diǎn)睛：本題主要考查的是乘法安排律的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于找出題中的數(shù)量關(guān)系，即可得出答案。8．4060分析：計(jì)算35×A＋35×B時(shí)，先計(jì)算A＋B，再用35乘這個(gè)和，即35×A＋35×B＝35×（A＋B）。由于結(jié)果是3500，則A＋B＝3500÷35＝100，滿足這兩個(gè)數(shù)相加得100即可。詳解：35×A＋35×B＝35×（A＋B）＝3500A＋B＝3500÷35＝100若A＝40，B＝100－40＝60。（答案不唯一）點(diǎn)睛：本題考查乘法安排律的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出A＋B＝100。9．250250結(jié)合律（a×b）×c＝a×（b×c）分析：先計(jì)算括號里面的，再計(jì)算括號外面的，計(jì)算出兩個(gè)算式的結(jié)果；乘法結(jié)合律是三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變；乘法結(jié)合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）；據(jù)此解答。詳解：依據(jù)分析：（25×5）×2＝125×2＝25025×（5×2）＝25×10＝250所以（25×5）×2＝250，25×（5×2）＝250，所以（25×5）×2＝25×（5×2）像這樣，三個(gè)數(shù)相乘時(shí)，先乘前兩個(gè)數(shù)，或者先乘后兩個(gè)數(shù)；積不變，這叫乘法結(jié)合律，用字母表示為（a×b）×c＝a×（b×c）。點(diǎn)睛：把握乘法結(jié)合律的概念是解答本題的關(guān)鍵。10．1356×7×7分析：依據(jù)題意，把49分成兩個(gè)數(shù)的乘積的形式，即49＝7×7，然后再求解即可。據(jù)此解答。詳解：運(yùn)用乘法結(jié)合律，把49分成7×7，即可進(jìn)行計(jì)算。1356×49＝1356×（7×7）＝1356×7×7＝9492×7＝66444所以假如計(jì)算器的“4”壞了，可以將1356×49轉(zhuǎn)化為1356×7×7。點(diǎn)睛：本題考查同學(xué)對乘法運(yùn)算定律的把握。解決此題還可以運(yùn)用乘法安排律將49看成（50－1）進(jìn)行計(jì)算。11．×分析：乘法安排律是指兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘，等于把兩個(gè)加數(shù)分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積加起來，結(jié)果不變，用字母表示為：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；據(jù)此解答即可。詳解：28×（100＋1）＝28×100＋1×28＝2800＋28＝282828×（100＋1）≠28×100＋1所以原題說法錯(cuò)誤。故答案為：×點(diǎn)睛：此題考查的目的是能夠機(jī)敏運(yùn)用乘法安排律進(jìn)行簡便計(jì)算。12．√分析：乘法安排律：兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘，等于把兩個(gè)加數(shù)分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積加起來，結(jié)果不變，用字母表示為：a×（b＋c）＝a×b＋a×c。所以計(jì)算101×99時(shí)，把101分解成（100＋1），然后依據(jù)乘法安排律簡算。詳解：101×99＝（100＋1）×99＝100×99＋1×99＝9900＋99＝9999所以101×99＝100×99＋99是依據(jù)乘法的安排律計(jì)算的，此說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：乘法安排律是最常用的簡便運(yùn)算的方法，要嫻熟把握，機(jī)敏運(yùn)用。13．×分析：計(jì)算103×25時(shí)，可將103寫成100＋3，然后再依據(jù)乘法安排律的特點(diǎn)進(jìn)行簡算，乘法安排律的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加；依此推斷。詳解：103×25＝（100＋3）×25＝100×25－3×25。故答案為：×點(diǎn)睛：嫻熟把握乘法安排律的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵。14．×分析：乘法安排律是指兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加；據(jù)此可知，計(jì)算“81×125”時(shí)，把81看作是80與1的和，利用乘法安排律可以簡算。詳解：81×125＝（80＋1）×125＝80×125＋1×125＝10000＋125＝10125所以，81×125的簡便算法是80×125＋1×125；故原題干說法錯(cuò)誤。故答案為：×點(diǎn)睛：正確理解乘法安排律的意義并機(jī)敏應(yīng)用，是解答此題的關(guān)鍵。15．√分析：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加。據(jù)此解答。詳解：98×101＝98×100＋98×1＝9898計(jì)算過程利用了乘法安排律。所以原題說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查了乘法安排律在計(jì)算中的運(yùn)用，需嫻熟把握運(yùn)算律公式。16．630－235－165＝230（米）分析：先用總長度630米減235米，再減165米，據(jù)此解答即可。詳解：17．520米分析：由圖可以看出，小瓊家到學(xué)校之間的每條線段表示60米，即小瓊家離學(xué)校的距離為60×4；同理，小欣家離學(xué)校的距離是70×4；要求總共長多少米，把這兩部分加起來即可。詳解：60×4＋70×4＝（60＋70）×4＝130×4＝520（米）點(diǎn)睛：解答此題，首先弄清題意，分清已知與所求，依據(jù)基本數(shù)量關(guān)系列式解答。18．39000個(gè)分析：依據(jù)題意可知，小明每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)×小明完成的天數(shù)＋小宇每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)×小宇完成的天數(shù)＝這批產(chǎn)品的總個(gè)數(shù)，由于小宇和小明各需要65天才能完成，因此可依據(jù)乘法安排律的特點(diǎn)進(jìn)行簡算，依此解答。詳解：247×65＋353×65＝（247＋353）×65＝600×65＝39000（個(gè)）答：這批產(chǎn)品共有39000個(gè)。點(diǎn)睛：此題考查的是運(yùn)用乘法安排律的特點(diǎn)解答實(shí)際問題，應(yīng)先找到題目中對應(yīng)的關(guān)系再進(jìn)行解答。19．10000元分析：依據(jù)題意可知，每箱蘋果的價(jià)錢×購進(jìn)蘋果的箱數(shù)＋每箱梨的價(jià)錢×購進(jìn)梨的箱數(shù)＝購進(jìn)這些水果一共花的錢數(shù)，依此列式，由于購進(jìn)蘋果和梨各125箱，因此可依據(jù)乘法安排律的特點(diǎn)進(jìn)行簡算，依此解答。詳解：42×125＋38×125＝（42＋38）×125＝80×125＝10000（元）答：水果店購進(jìn)這些水果一共花了10000元。點(diǎn)睛：此題考查的是經(jīng)濟(jì)問題的計(jì)算，運(yùn)用乘法安排律的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算更加簡便。20．3600元分析：依據(jù)題意可知，每件上衣的價(jià)錢×上衣的件數(shù)＋每條褲子的價(jià)錢×褲子的條數(shù)＝買這些衣服需要的錢，依此列式，由于衣服需要18件，褲子需要18條，因此可依據(jù)乘法安排律的特點(diǎn)進(jìn)