《高等數(shù)學II》課程教學大綱

PAGEPAGE7《高等數(shù)學II》教學大綱課程編號：120105A課程類型：eq\o\ac(□,√)通識教育必修課□通識教育選修課□專業(yè)必修課□專業(yè)選修課□學科基礎課總學時：80講課學時：80實驗（上機）學時：0學分：5考試類型：eq\o\ac(□,√)考試□考查適用對象：工科，管理科學□是eq\o\ac(□,√)否適合作為其他專業(yè)學生的個性化選修課先修課程：高等數(shù)學I一、教學目標高等數(shù)學是工科本科各專業(yè)及部分管理科學專業(yè)學生的一門必修的重要基礎理論課，它是為培養(yǎng)我國現(xiàn)代化建設所需要的高質(zhì)量專門人才服務的。目標1：使學生獲得向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函數(shù)微積分學，無窮級數(shù)(包括傅立葉級數(shù))等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能；目標2：為學習后繼課程和進一步獲取數(shù)學知識奠定必要的數(shù)學基礎。目標3：逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和自學能力，還要特別注意培養(yǎng)學生具有綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。目標4：培育有堅定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實工學與管理科學專業(yè)學識，堅韌奮斗進取品格的社會主義新青年。二、教學內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對應關系本課程在教學中要求學生確切理解《高等數(shù)學》中的基本概念，讓學生盡早地更多地掌握數(shù)學的思想和方法。突出高等數(shù)學中極限的思想，微分的思想，積分的思想，揭示課程內(nèi)部的本質(zhì)的有機聯(lián)系。在講解內(nèi)容的同時，以極限的思想貫穿導數(shù)、微分、積分、級數(shù)等知識的講授，重點是讓學生了解概念的背景，理解概念與方法的思想，熟練基本的計算方法，靈活運用數(shù)學方法解決實際問題。所選教材以微積分學為綱，把高等數(shù)學的主要內(nèi)容放在微分與積分的框架下展開，同時將相關的空間解析幾何、微分方程進行盡可能詳細的學習。講課的難點在于把握將極限的思想滲透到各個教學內(nèi)容之中，讓學生理解和掌握如何把一些實際問題動態(tài)化，并將微積分學和方程中的分割、近似、極限的思想應用到解決這些問題中，使學生能把握簡潔和直接的高等數(shù)學方法。通過活潑互動的課堂教學，刺激學生的學習興趣；通過探索討論課，調(diào)動學生的學習主動性；教學中逐步培養(yǎng)學生運用高等數(shù)學的方法分析問題和解決問題的能力。每一章的重點內(nèi)容要重點講解，在講清概念的基礎上，通過適當?shù)木毩暎ㄕn堂討論、作業(yè)、習題課、自學課外資料、問題探討等）以達到掌握高等數(shù)學中常用的計算方法、基本運算中的技能和技巧以及提高綜合計算和解決問題的能力的目的。難點要逐步引入，分散講解。本大綱列入部分帶“*”的內(nèi)容，供學生自學。本課程的考核成績采取平時成績（含課堂參與度、作業(yè)、小測驗）與期末閉卷測試成績相結(jié)合的方式，擬按3:7比例分配。我校學習本課程的學生來自安全與環(huán)境工程學院、信息學院等學院，由于其專業(yè)背景的差別，在教學過程中可以根據(jù)專業(yè)要求適當調(diào)整重點講授的內(nèi)容。三、各教學環(huán)節(jié)學時分配教學課時分配序號章節(jié)內(nèi)容講課實驗習題課合計1向量代數(shù)與空間解析幾何102122多元函數(shù)微分學162183重積分122144曲線與曲面積分123155無窮級數(shù)16521合計661480四、教學內(nèi)容第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算第二節(jié)數(shù)量積向量積混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程會計算二階、三階行列式。理解空間直角坐標系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的運算(線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積)，掌握兩個向量垂直、平行的條件。掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算的方法。掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系解決有關問題。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解曲面的交線在坐標平面上的投影。教學重點、難點：讓學生深刻理解向量的表示及運算，為后續(xù)多元微分與多元積分相關知識學習打下基礎；熟練掌握直線與平面方程的求法；注意平面曲線到旋轉(zhuǎn)曲面的轉(zhuǎn)變，理解曲線到曲面方程的導出；常用二次曲面方程與圖形的對應；曲面的交線在坐標面上的投影是難點。課程的考核要求：判定直線、平面的位置關系，直線與平面的求法，柱面與旋轉(zhuǎn)曲面的表示，曲線的表示。復習思考題：課后習題。了解解析幾何學建立的重大意義。第九章多元函數(shù)微分法及其應用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式第六節(jié)多元函數(shù)微分學的幾何應用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法*第九節(jié)二元函數(shù)的泰勒公式*第十節(jié)最小二乘法理解多元函數(shù)的概念。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解偏導數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性。了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算方法。掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法，會求復合函數(shù)的二階偏導數(shù)。會求隱函數(shù)(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函數(shù))的偏導數(shù)。了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，并會求它們的方程。了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求二元函數(shù)的極值。了解求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。教學重點、難點：偏導數(shù)、全微分概念的理解，復合函數(shù)求偏導數(shù)，參數(shù)方程確定的函數(shù)的理解及其求其偏導數(shù)，理解一般方程表示的曲線的切線方向是個難點，實際問題用多元函數(shù)極值方法討論時的嚴謹性。課程的考核要求：多元函數(shù)偏導數(shù)、全微分理解與計算，復合函數(shù)求偏導，隱函數(shù)、參數(shù)方程確定的函數(shù)的偏導數(shù)，方向?qū)?shù)與梯度的理解與簡單計算，求曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，應用問題的最值。復習思考題：課后習題。了解和體會在最優(yōu)化方法在社會經(jīng)濟生活中的應用，樹立學好本領，用科學的方法提高生產(chǎn)力的信心。第十章重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)二重積分的計算法第三節(jié)三重積分第四節(jié)重積分的應用*第五節(jié)含參變量的積分理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，了解三重積分的計算方法(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)。教學重點、難點：二重積分的計算方法，選擇合適的坐標系進行計算，把握積分區(qū)域的表示以及積分次序，直角坐標系下的三重積分計算，重積分于曲面面積與質(zhì)心的求法。課程的考核要求：會選擇合適的坐標系，用重積分計算幾何體的面積、體積。復習思考題：課后習題。體會數(shù)學方法用于解決實際問題的優(yōu)勢。第十一章曲線弧長與曲面積分第一節(jié)對弧長的曲線積分第二節(jié)對坐標的曲線積分第三節(jié)格林公式及其應用第四節(jié)對面積的曲面積分第五節(jié)對坐標的曲面積分第六節(jié)高斯公式通量與散度*第七節(jié)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系。會計算兩類曲線積分。掌握格林(Green)公式，會使用平面曲線積分與路徑無關的條件。了解兩類曲面積分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并會計算兩類曲面積分。了解散度、旋度的計算公式。會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(如弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功等)。教學重點、難點：兩類曲線與兩類曲面積分概念的理解，會計算曲線曲面積分。理解格林公式的推導，掌握其應用，通過格林公式的學習引導學生能順利過渡到高斯(Guass)公式原理及其簡單應用。課程的考核要求：兩類曲線積分、兩類曲面積分的應用與計算，格林公式、高斯公式簡單應用。復習思考題：課后習題。體會數(shù)學方法用于解決實際問題的優(yōu)勢。第十二章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法第三節(jié)冪級數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用*第六節(jié)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)第七節(jié)傅里葉級數(shù)*第八節(jié)一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性。了解正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。了解交錯級數(shù)的萊布尼茲定理，會估計交錯級數(shù)的截斷誤差。了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法(區(qū)間端點的收斂性可不作要求)。了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。會利用，，，和的麥克勞林(Maclaurin)展開式將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。了解冪級數(shù)在近似計算上的簡單應用。了解函數(shù)展開為傅里葉(Fourier)級數(shù)的狄利克雷(Dirichlet)條件，會將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會將定義在上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。教學重點、難點：理解無窮級數(shù)收斂概念，和的概念，記住一些常見數(shù)項級數(shù)的收斂性，熟練運用數(shù)項收斂判別法；函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的理解，函數(shù)展開成冪級數(shù)的理解，熟練掌握冪級數(shù)展開的間接展開法，冪級數(shù)展開式在近似計算中的應用，傅里葉級數(shù)的了解與簡單應用。課程的考核要求：判定數(shù)項級數(shù)的收斂性，求級數(shù)的和或和函數(shù)，會將級數(shù)展開成冪級數(shù)，簡單的近似計算與誤差估