《實變函數(shù)與泛函分析》課程教學(xué)大綱

《實變函數(shù)與泛函分析》教學(xué)大綱課程編號：120233B課程類型：□通識教育必修課□通識教育選修課eq\o\ac(□,√)學(xué)科基礎(chǔ)課□專業(yè)核心課□專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學(xué)時：48講課學(xué)時：48實驗（上機(jī)）學(xué)時：0學(xué)分：3考試類型：□考試eq\o\ac(□,√)考查適用對象：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融方向）、統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計學(xué)eq\o\ac(□,√)是□否適合作為其他專業(yè)學(xué)生的個性化選修課先修課程：數(shù)學(xué)分析Ⅰ、Ⅱ一、教學(xué)目標(biāo)《實變函數(shù)與泛函分析》是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)、統(tǒng)計學(xué)專業(yè)和其它對數(shù)學(xué)要求較高專業(yè)的極為重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一，深化了《數(shù)學(xué)分析》課程的學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)測度論，高等概率論，隨機(jī)過程等深入課程的基礎(chǔ)。本課程是理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的必備基礎(chǔ)。目標(biāo)1：通過本課程的學(xué)習(xí)，掌握課程基本理論內(nèi)容。目標(biāo)2：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和推理論證能力。目標(biāo)3：提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具來觀察問題、思考問題、分析問題和解決問題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)打下扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。目標(biāo)4：培育有堅定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實數(shù)學(xué)和統(tǒng)計專業(yè)學(xué)識，堅韌奮斗進(jìn)取品格的社會主義新青年。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系（一）教學(xué)內(nèi)容及要求《實變函數(shù)與泛函分析》主要教學(xué)內(nèi)容包括度量空間、勒貝格測度、勒貝格可測函數(shù)、勒貝格積分、微分與積分、L^p空間等。在教學(xué)過程中要細(xì)講基本概念、基本性質(zhì)及相關(guān)理論，使學(xué)生建立基本的知識框架，提高數(shù)學(xué)思維能力。在講授勒貝格測度時，注意系統(tǒng)講授實數(shù)集的代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，最后引入測度結(jié)構(gòu)，以及各種結(jié)構(gòu)的相互作用。在講課中，注意引入一些實際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐步提高學(xué)生的知識運用能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力。（二）教學(xué)方法和教學(xué)手段在課堂教學(xué)中，以啟發(fā)式教學(xué)為主進(jìn)行課堂講授，板書教學(xué)和多媒體教學(xué)結(jié)合。課堂上加強(qiáng)與學(xué)生的互動，引導(dǎo)學(xué)生探索討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，提高課堂學(xué)習(xí)效率。本課程的實踐教學(xué)環(huán)節(jié)以習(xí)題評析、實例討論和應(yīng)用研究為主，使學(xué)生能夠理論聯(lián)系實際，學(xué)以致用，從而逐步提高學(xué)生的知識運用能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力。（三）學(xué)習(xí)要求學(xué)生需要做好課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、完成作業(yè)等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，以掌握本課程所學(xué)內(nèi)容。（四）該課程與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系該課程是專業(yè)知識結(jié)構(gòu)中極為重要的根基，可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論和方法，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。同時，本課程可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和推理論證能力，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的能力。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配教學(xué)課時分配序號章節(jié)內(nèi)容講課實驗其他合計1第九章度量空間的性質(zhì)第一節(jié)度量空間的例子第二節(jié)開集，閉集，收斂列第三節(jié)度量空間之間的連續(xù)映射第四節(jié)完備度量空間第五節(jié)緊致度量空間第六節(jié)可分度量空間10102第二章勒貝格測度第一節(jié)簡介第二節(jié)勒貝格外測度第三節(jié)勒貝格可測集構(gòu)成σ-代數(shù)第四節(jié)勒貝格可測集的內(nèi)逼近和外逼近第五節(jié)可數(shù)可加性，連續(xù)性，博雷爾-坎特利引理第六節(jié)不可測集第七節(jié)康托集，康托-勒貝格函數(shù)12123第三章勒貝格可測函數(shù)第一節(jié)函數(shù)加法，乘法，與復(fù)合第二節(jié)函數(shù)列的點態(tài)極限與簡單逼近第三節(jié)李特伍德三原理，葉戈羅夫定理，魯津定理884第四章勒貝格積分第一節(jié)黎曼積分第二節(jié)有界函數(shù)在有限測度集上的勒貝格積分第三節(jié)非負(fù)可測函數(shù)的勒貝格積分第四節(jié)勒貝格積分第五節(jié)可數(shù)可加性與積分的連續(xù)性第六節(jié)一致可積性，維塔利收斂定理10105第六章微分與積分單調(diào)函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)函數(shù)的可微性，勒貝格定理有界變差函數(shù)，約當(dāng)定理絕對連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的積分：對不定積分求導(dǎo)數(shù)凸函數(shù)336第七章L^p空間第一節(jié)線性賦范空間第二節(jié)楊，赫爾德，閔可夫斯基不等式。第三節(jié)L^p空間的完備性，里斯-費希爾定理第四節(jié)逼近與可分性337課程總結(jié)22合計4848四、教學(xué)內(nèi)容第九章度量空間的性質(zhì)第一節(jié)度量空間的例子第二節(jié)開集，閉集，收斂列第三節(jié)度量空間之間的連續(xù)映射第四節(jié)完備度量空間第五節(jié)緊致度量空間第六節(jié)可分度量空間教學(xué)重點、難點：度量空間中開集，閉集，緊集的概念。課程的考核要求：掌握度量空間中開集，閉集，緊集的概念。掌握緊集的等價條件。掌握用拓?fù)湔Z言刻畫函數(shù)的連續(xù)性。了解度量空間的可分性，連通性。復(fù)習(xí)思考題：1.什么是開集，閉集，和相應(yīng)的集代數(shù)運算。2.緊集的等價條件。3.連續(xù)函數(shù)的拓?fù)淇坍?。第二章勒貝格測度第一節(jié)簡介第二節(jié)勒貝格外測度第三節(jié)勒貝格可測集構(gòu)成σ-代數(shù)第四節(jié)勒貝格可測集的內(nèi)逼近和外逼近第五節(jié)可數(shù)可加性，連續(xù)性，博雷爾-坎特利引理第六節(jié)不可測集第七節(jié)康托集，康托-勒貝格函數(shù)教學(xué)重點、難點：勒貝格可測集構(gòu)成σ-代數(shù)，勒貝格測度的可數(shù)可加性。課程的考核要求：掌握卡拉西奧多里條件，掌握勒貝格可測集構(gòu)成σ-代數(shù)，勒貝格測度的可數(shù)可加性。了解勒貝格可測集的內(nèi)逼近和外逼近，不可測集，康托集。課程思政切入點：概率論中學(xué)習(xí)了均勻分布，在本課程中嚴(yán)格的定義了均勻分布，培養(yǎng)求真精神。復(fù)習(xí)思考題：1.如何證明勒貝格可測集構(gòu)成σ-代數(shù)。2.勒貝格測度的連續(xù)性與可數(shù)可加性的關(guān)系。第三章勒貝格可測函數(shù)第一節(jié)函數(shù)加法，乘法，與復(fù)合第二節(jié)函數(shù)列的點態(tài)極限與簡單逼近第三節(jié)李特伍德三原理，葉戈羅夫定理，魯津定理教學(xué)重點、難點：李特伍德三原理，葉戈羅夫定理，魯津定理。課程的考核要求：掌握李特伍德三原理，葉戈羅夫定理，魯津定理。理解簡單逼近定理。課程思政切入點：李特伍德三原理用通俗語言形象生動的解釋數(shù)學(xué)定理，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時注意培養(yǎng)人文素養(yǎng)。復(fù)習(xí)思考題：1.可測集與區(qū)間的關(guān)系。2.可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。3.函數(shù)收斂與一致收斂的關(guān)系。第四章勒貝格積分第一節(jié)黎曼積分第二節(jié)有界函數(shù)在有限測度集上的勒貝格積分第三節(jié)非負(fù)可測函數(shù)的勒貝格積分第四節(jié)勒貝格積分第五節(jié)可數(shù)可加性與積分的連續(xù)性第六節(jié)一致可積性，維塔利收斂定理教學(xué)重點、難點：法圖引理，單調(diào)收斂定理，勒貝格控制收斂定理。課程的考核要求：掌握法圖引理，單調(diào)收斂定理，勒貝格控制收斂定理。理解勒貝格積分的構(gòu)造過程。復(fù)習(xí)思考題：1.法圖引理，單調(diào)收斂定理，勒貝格控制收斂定理與例子。2.勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系。第六章微分與積分單調(diào)函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)函數(shù)的可微性，勒貝格定理有界變差函數(shù)，約當(dāng)定理絕對連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的積分：對不定積分求導(dǎo)數(shù)凸函數(shù)教學(xué)重點、難點：單調(diào)函數(shù)的可微性，有界變差函數(shù)，絕對連續(xù)函數(shù)的概念。課程的考核要求：了解有界變差函數(shù)，絕對連續(xù)函數(shù)的概念。了解在勒貝格積分的意義下重新討論牛頓-萊布尼茨公式。課程思政切入點：從實變函數(shù)的角度更加深入的研究微積分學(xué)的理論問題，改進(jìn)了的牛頓-萊布尼茨公式，堅定拼搏的信念，勇于創(chuàng)新。復(fù)習(xí)思考題：1.有界變差函數(shù)的概念與例子。2.絕對連續(xù)函數(shù)的概念與例子。第七章L^p空間第一節(jié)線性賦范空間第二節(jié)楊，赫爾德，閔可夫斯基不等式。第三節(jié)L^p空間的完備性，里斯-費希爾定理第四節(jié)逼近與可分性教學(xué)重點、難點：無窮維線性空間的概念。課程的考核要求：了解線性賦范空間的概念。了解楊，赫爾德，閔可夫斯基不等式。復(fù)習(xí)思考題：1.楊，赫爾德，閔可夫斯基不等式的離散形式2.L^p空間的例子。五、考核方式、成績評定本課程采用閉卷考試的方式進(jìn)行考核?？己顺煽儼ㄆ綍r成績與期末考試成績，其中平時成績（包括作業(yè)、考勤、課堂表現(xiàn)及期中考試）占40%，期末考試成績占60%。六、主要參考書及其他內(nèi)容教材H.L.羅伊登，P.M.菲茨帕特里克.《實分析》（原書第4版）北京:機(jī)械工業(yè)出版社.2019年。教學(xué)參考書[1]WalterRudin