浙江省諸暨市高三適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試題

諸暨市2024年5月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B2.若關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由題得、為方程的根，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可得解.【詳解】由已知可得、為方程的根，由韋達(dá)定理可得：，解得：故選：B3.有一組樣本數(shù)據(jù)：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（）A.第75百分位數(shù) B.平均數(shù) C.極差 D.眾數(shù)【答案】A【解析】【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù)，比較大小，即可得到答案.【詳解】計(jì)算第75百分位數(shù)：，則取第8位數(shù)據(jù)，即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為5；平均數(shù)為；極差為；眾數(shù)為3.綜上，第75百分位數(shù)最大.故選：A.4.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是10，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】在的展開式中含的項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè)，1個(gè)常數(shù)項(xiàng)即可寫出含的項(xiàng)，則可得出答案.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)展開式可知含項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè)，1個(gè)常數(shù)項(xiàng)即可寫出含的項(xiàng)；所以含的項(xiàng)是，可得；即可得.故選：C5.若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的模長(zhǎng)關(guān)系可得，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B6.已知，為曲線：的焦點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，則曲線的離心率B.若，則曲線的離心率C.若曲線上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則D.若，則曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓，離心率，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線，離心率，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓，其短半軸長(zhǎng)，半焦距，顯然以線段為直徑的圓恰過這個(gè)橢圓短軸端點(diǎn)，即符合條件的可以是8，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線，則，以線段為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn)，即符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，D正確.故選：C7.已知函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，，都有成立，且，則（）A.為奇函數(shù) B.為奇函數(shù)C.為偶函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】由題意令，可得，令，可得，可得關(guān)于對(duì)稱，據(jù)此逐項(xiàng)判斷可得結(jié)論.【詳解】令，則，，所以，令，則，即，又，所以關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，故A不正確；關(guān)于對(duì)稱，故B不正確；由A可知關(guān)于對(duì)稱，故C不正確；由A可知關(guān)于對(duì)稱，故為奇函數(shù)，所以為偶數(shù)，故D正確.故選：D.8.設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，推出，得到答案.【詳解】由題意得，故，故，故，由于，故.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系弦化切求出正切，再根據(jù)二倍角計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)榉肿臃帜付汲艘?所以可得,故A選項(xiàng)正確，,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；,D選項(xiàng)正確.故選：AD.10.已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則（）A.B.C.外接圓圓心的軌跡方程為D.重心的軌跡方程為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，可得判定A正確；當(dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取得最值，結(jié)合圓的性質(zhì)，可判定B正確；設(shè)的外接圓的圓心為，根據(jù)，求得軌跡方程，可判定以C正確；設(shè)的重心為點(diǎn)，結(jié)合C項(xiàng)，求得其軌跡方程，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)閳A，可得圓心，半徑為，且點(diǎn)在圓內(nèi)，對(duì)于A中，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，即，即，所以的最大值為，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，?dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取得最值，如圖所示，可得時(shí)，可得，時(shí)，可得，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)的外接圓的圓心為，則，則有，可得，即，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)的重心為點(diǎn)，則，由C項(xiàng)知的外接圓的圓心點(diǎn)的軌跡方程為，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，所以，即，即，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.的值可以取 B.的值可以取C.的值關(guān)于單調(diào)遞減 D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，對(duì)和，分別求極值，判斷極值的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得AB的真假；把轉(zhuǎn)合成，數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)與的交點(diǎn)，分析的值關(guān)于關(guān)系，判斷C的真假；先根據(jù)，推出，在根據(jù)，可得D正確.詳解】求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上為減函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故;令，得，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為；對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，故，則，當(dāng)時(shí)，；且時(shí)，；故在及各有一個(gè)零點(diǎn)，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng):當(dāng)時(shí)，于是，故在上無零點(diǎn)，故B錯(cuò)；對(duì)于C，，即，可視為兩函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)增加，直線斜率變小，同時(shí)向下平移，故收縮變小，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，則，不妨設(shè)，則，，又，所以設(shè)，則，令，，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，即，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)的虛部為_________．【答案】1【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，就可以解得虛部.【詳解】設(shè)，，由得：，即，則，代入得：，解得，故答案為：.13.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則_________；_________．【答案】①.2②.2025【解析】【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積，利用賦值法令可求得，將表達(dá)式化簡(jiǎn)可得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.【詳解】根據(jù)題意令，可知，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正，即；解得；由可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；因此，所以.故答案為：2；2025.14.若正四面體棱長(zhǎng)為1，以三個(gè)側(cè)面為底面向外作三個(gè)正四面體，，，則外接圓的半徑是_________．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合正四面體的圖形特征，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和正弦定理求出的外接圓半徑即可.【詳解】將此正四面體放置在正方體中，從而可得,則的中心為且此中心為的中點(diǎn)，則，的中心為且此中心為的中點(diǎn)，則，的中心為且此中心為的中點(diǎn)，則，，，，等邊外接圓的半徑是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．（1）求函數(shù)的周期和最大值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．【答案】（1）周期2，最大值2（2），【解析】【分析】（1）先應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)再得出最大值即可；（2）令可得出，根據(jù)題意確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】由題可得，因此函數(shù)的周期，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，最大值為．【小問2詳解】由得，因此函數(shù)的所有正零點(diǎn)為，，，因此是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；，16.如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．（1）求證：為三棱錐外接球的球心；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時(shí)的值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形特征得出即得證球心；（2）根據(jù)線面角定義結(jié)合線面垂直及面面垂直性質(zhì)定理可得；（3）空間向量法求出銳二面角的余弦值再結(jié)合最值可得參數(shù).【小問1詳解】為的中線，且，則為正的中心，又中，，，即為三棱錐外接球球心【小問2詳解】是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．又平面平面，平面平面，平面，平面為直線與平面所成的角又，，,即直線與平面所成角的正弦值為【小問3詳解】在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，，設(shè)，則，，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量為，由，得，令，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)平面與平面所成銳二面角平面角為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大，即當(dāng)時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值最大．17.已知雙曲線：與直線：交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），過點(diǎn)的兩條關(guān)于對(duì)稱的直線、分別交雙曲線于、兩點(diǎn)（在右支，在左支）．（1）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；（2）若直線與雙曲線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）1（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），則，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，不妨設(shè)直線為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式求解.【小問1詳解】由題意知直線斜率為1，直線的傾斜角，設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），直線、關(guān)于直線對(duì)稱，，．【小問2詳解】聯(lián)立，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為．不妨設(shè)直線為，，，聯(lián)立得，整理得，將等式看作關(guān)于的方程：兩根之和，兩根之積，而其中，由（1）得，直線為，過定點(diǎn)，又雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，過點(diǎn)，，．18.如圖是一個(gè)各棱長(zhǎng)均為1米的正四棱錐，現(xiàn)有一只電子蛐蛐在棱上爬行，每次從一個(gè)頂點(diǎn)開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點(diǎn)，已知電子蛐蛐初始從頂點(diǎn)出發(fā)，再次回到頂點(diǎn)時(shí)停止爬行.（1）求電子蛐蛐爬行2米后恰好回到頂點(diǎn)概率；（2）在電子蛐蛐停止爬行時(shí)爬行長(zhǎng)度不超過4米的條件下，記爬行長(zhǎng)度為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到頂點(diǎn)）的概率記為，求（用表示）.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可；（2）結(jié)合條件概率先求離散型隨機(jī)變量的分布列再求出數(shù)學(xué)期望；（3）結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出.【小問1詳解】記事件“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，則【小問2詳解】記事件“電子蛐蛐停止爬行時(shí)，爬行長(zhǎng)度不超過4米”的可能取值為2，3，4，根據(jù)條件概率的知識(shí)，可得的分布列為，，，用表格表示的分布列為：234．【小問3詳解】（，）①②②－①得：，19.若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．（1）已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；（2）已知函數(shù)，設(shè)集合．（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長(zhǎng)度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．【答案】（1）（2）（i）2；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“封閉區(qū)間”的定義，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并求出其值域解不等式可得的取值集合；（2）（i）對(duì)求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理即可求得集合中元素的個(gè)數(shù)為2個(gè)；（ii）根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的定義，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論得出的所有可能的“封閉區(qū)間”即可得出證明.【小問1詳解】由題意，，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，可得的值域?yàn)?，因此只需，即可得，即，則的取值集合為．【小問2詳解】（i）記函數(shù)，則，由得或；由得；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．其中，因此當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)；由在單調(diào)遞減，易知，而，由零點(diǎn)