專題929正方形（直通中考）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.29正方形（直通中考）（基礎(chǔ)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）下列命題正確的是（

）A．正方形的對(duì)角線相等且互相平分 B．對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形C．矩形的對(duì)角線互相垂直 D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，順次連接菱形各邊中點(diǎn)、、、，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．3．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，相交于點(diǎn)M，G為上一點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．若，，則線段的長(zhǎng)度為（）

A． B． C．2 D．4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為，上的一點(diǎn)，且，連接．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（2007·江蘇連云港·中考真題）如圖所示，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（

）A．4 B．6 C．16 D．557．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，再對(duì)折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到（

）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五邊形8．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．E、F分別為、上一點(diǎn)，且，連接，，．若，則的度數(shù)為（

）A．50° B．55° C．65° D．70°9．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α10．（2022上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

12．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，再添加一個(gè)條件，使得四邊形是正方形，這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)條件即可）．

13．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為的正方形，則該直三棱柱的表面積為．14．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長(zhǎng)為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為．

15．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，是等邊三角形，則陰影部分的面積為．

16．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，．則點(diǎn)到直線的距離為．

17．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

18．（2015·廣西南寧·中考真題）如圖，在正方形外作等邊，則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格圖形中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，線段與的端點(diǎn)都在網(wǎng)格小正方形的頂點(diǎn)（稱為格點(diǎn)）上．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖形中畫圖：（1）以線段為一邊畫正方形，再以線段為斜邊畫等腰直角三角形，其中頂點(diǎn)在正方形外；（2）在（1）中所畫圖形基礎(chǔ)上，以點(diǎn)為其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一個(gè)新正方形，使新正方形的面積為正方形和面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．20．（8分）（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．21．（10分）（2019·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連結(jié)．（1）求證：≌；（2）若，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．22．（10分）（2013·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．（1）求證：CE=CF；（2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？23．（10分）（2013·江蘇南京·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．24．（12分）（2013·山東德州·中考真題）（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請(qǐng)你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡），并寫出：BE與CD的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE與CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°、∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長(zhǎng)．參考答案：1．A【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形、菱形的各自性質(zhì)和構(gòu)成條件進(jìn)行判斷即可．解：A、正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，描述正確；B、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形，只是內(nèi)接于圓，描述錯(cuò)誤；C、矩形的對(duì)角線不一定垂直，但相等，描述錯(cuò)誤；D、一組鄰邊相等的平行四邊形才構(gòu)成菱形，描述錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握各類特殊四邊形的判定和性質(zhì)．2．C【分析】首先利用三角形的中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再求對(duì)角線長(zhǎng)度，然后利用三角形中位線定理求出此平行四邊形邊長(zhǎng)即可求出周長(zhǎng)．解：如圖，連接、，相交于點(diǎn)，

點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，，，同理，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，對(duì)角線互相垂直，，，，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．3．B【分析】根據(jù)條件正方形邊長(zhǎng)為4，由勾股定理求出線段長(zhǎng)，利用中位線得到長(zhǎng)即可．解：連接，，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴四邊形是矩形，∴M是的中點(diǎn)，在正方形中，，，∴，在中，由勾股定理得，，在中，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造三角形是破解本題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)的意義即可求解．解：∵邊長(zhǎng)為的正方形兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合，∴∴,故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形，熟練掌握正方形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，然后結(jié)合得到，然后證明出，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．解：∵四邊形是正方形∴，∵∴，∴∴又∵，∴∴∴∴故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．6．C【分析】運(yùn)用正方形邊長(zhǎng)相等，結(jié)合全等三角形和勾股定理來(lái)求解即可．解：如圖：a，b，c都是正方形，，，，，在和中，，，，在中，由勾股定理得，．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查對(duì)全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，結(jié)合圖形求解，對(duì)圖形的理解能力要比較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正方形邊長(zhǎng)相等，結(jié)合全等三角形和勾股定理來(lái)求解．7．C【分析】根據(jù)題意知，對(duì)折實(shí)際上就是對(duì)稱，對(duì)折兩次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，從而可以進(jìn)行從題后的答案中選擇．解：由題意知，對(duì)折實(shí)際上就是對(duì)稱，對(duì)折2次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，且每個(gè)角等于90度，其只有正方形滿足這一條件．故選C．【點(diǎn)撥】此題考查了利用對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案以及菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)折實(shí)際上就是軸對(duì)稱性質(zhì)的運(yùn)用進(jìn)行解答．也可動(dòng)手折紙求解．8．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF∠AFE=20°，進(jìn)而得到∠CBE的度數(shù)．解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵，∴∠OAF=∠OEF∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)題意可得，從而即可．解：∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)勾股定理得出正方形的對(duì)角線是邊長(zhǎng)的，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，其對(duì)角線長(zhǎng)為；第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，其對(duì)角線長(zhǎng)為；第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，其對(duì)角線長(zhǎng)為；???；第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．所以，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．解：由題知，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理，根據(jù)勾股定理找到正方形邊長(zhǎng)之間的倍關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．【分析】連接交于一點(diǎn)F，連接，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)最小，利用勾股定理求出即可．解：如圖，連接交于一點(diǎn)F，連接，∵四邊形是正方形，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最小，∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，∵點(diǎn)E在上，且，∴，即的最小值為故答案為：．

【點(diǎn)撥】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（答案不唯一）【分析】根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論．解：這個(gè)條件可以是（答案不唯一），理由：四邊形是矩形，，四邊形是正方形，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．/【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而根據(jù)表面積等于兩個(gè)底面積加上側(cè)面正方形的面積即可求解．解：∵側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為的正方形，∴底面周長(zhǎng)為，∵底面為正三角形，∴正三角形的邊長(zhǎng)為作，是等邊三角形，，，在直角中，，；

∴該直三棱柱的表面積為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得的長(zhǎng)，即可求解．解：如圖所示，

依題意，，∴圖中陰影部分的面積為故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．/【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，首先求出正方形的面積，然后根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)求出和，從而求出和的面積，最后作差求解即可．解：如圖所示，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∵四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，∴，，，∵是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴在中，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查正方和等邊三角形的性質(zhì)，以及角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．【分析】過(guò)點(diǎn)作于，證明四邊形四邊形是正方形，即可求解．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，

∵點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)∴四邊形是矩形，∴是等腰直角三角形，∴∴四邊形是正方形，∴，即點(diǎn)到直線的距離為故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性質(zhì)得到即可解答．解：作軸，軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，故答案為．

【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)四邊形是正方形，是等邊三角形，可得到，然后利用正方形和正三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．解：四邊形是正方形，，，又是等邊三角形，，，，，．，故答案為．【點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解如何根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形并利用勾股定理．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和網(wǎng)格的特點(diǎn)畫出圖形即可；（2）先計(jì)算出新正方形的面積，從而得出邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格的特點(diǎn)畫出圖形即可．（1）解：如圖所示：（2）解：∵新正方形的面積為正方形和面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．∴新正方形的面積為：，∴新正方形的邊長(zhǎng)為：，如圖：正方形的邊長(zhǎng)為：，∴正方形即為所求．20．證明見(jiàn)分析【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證．解：證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵．21．（1）見(jiàn)分析；（2）．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得到，，即可解答（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出，即可解答解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴≌（）；（2）解：∵≌，∴，，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)撥】此題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行求證22．（1）見(jiàn)分析（2）成立【分析】（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB和△CFD全等，從而證出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因?yàn)镈F=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵，∴△CBE△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．∵∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．【點(diǎn)撥】本題考查了以下內(nèi)容：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定．23．見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．解：證明：（1）∵對(duì)角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四邊形MPND是正方形．24．（1）圖見(jiàn)分析，BE=CD，理由見(jiàn)分析；（2）BE=CD，理由見(jiàn)分析；（3）米【分析】（1）分別以A、B為圓心，A