專題03勾股定理原卷版

專題03勾股定理【考點(diǎn)1勾股定理】【考點(diǎn)2勾股定理的證明】【考點(diǎn)3直角三角形的性質(zhì)】【考點(diǎn)4勾股定理的逆定理】【考點(diǎn)5勾股數(shù)】【考點(diǎn)6勾股定理的應(yīng)用】知識點(diǎn)1：勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點(diǎn)2：勾股定理證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識點(diǎn)3:勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點(diǎn)4：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)知識點(diǎn)5：勾股定理應(yīng)用考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1勾股定理】1．（2022秋?薛城區(qū)校級期末）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是5和12，則斜邊是（）A．13 B．12 C．15 D．102．（2022秋?碑林區(qū)校級期末）如圖：三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形，圖形A的面積是（）A．225 B．144 C．81 D．無法確定3．（2023?宜州區(qū)二模）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是（）A．9 B．10 C．11 D．124．（2022秋?東港市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，則BC的長為（）A．3 B．3或 C．3或 D．【考點(diǎn)2勾股定理的證明】5．（2023秋?臨淄區(qū)期中）若a，b為直角三角形的兩直角邊，c為斜邊，下列選項(xiàng)中不能用來證明勾股定理的是（）A． B． C． D．6．（2022秋?長春期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個(gè)直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．1447．（2022秋?鋼城區(qū)期末）“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長直角邊是12，小正方形的面積是49，則大正方形的面積是（）A．121 B．144 C．169 D．1968．（2023秋?沭陽縣期中）如圖，火柴盒的側(cè)面為長方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c．把直立的火柴盒放倒，側(cè)面ABCD旋轉(zhuǎn)至長方形AB′C′D′處（如圖）．（1）S△ADC＝，S△AB′C′＝，S△ACC′＝；（用a、b、c有關(guān)代數(shù)式表示）S四邊形CDB′C′＝；（用a、b有關(guān)代數(shù)式表示）（2）由（1）的結(jié)論證明勾股定理：a2+b2＝c2；（3）若a+b＝7，c＝5，求S△ADC的值．9．（2022秋?寶山區(qū)期末）如圖，直角三角形ACB，直角頂點(diǎn)C在直線l上，分別過點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．10．（2023春?潮陽區(qū)期末）用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），邊長為c．（1）結(jié)合圖①，求證：a2+b2＝c2（2）如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH，若該圖形的周長為24，OB＝3．求該圖形的面積．【考點(diǎn)3直角三角形的性質(zhì)】11．（2023秋?西豐縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，則∠B的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．55°12．（2023秋?靈寶市期中）在下列條件中不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C13．（2023秋?青秀區(qū)校級期中）如圖，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°，若∠A＝35°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．35° B．40° C．45° D．50°14．（2023?梁園區(qū)一模）如圖，直線a∥b，Rt△ABC如圖放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，則∠B的度數(shù)為（）A．62° B．52° C．38° D．28°15．（2023春?儋州期末）取一張長方形紙片，按圖中所示的方法折疊一角，得到折痕EF，若∠BEF＝54°，則∠BFC等于（）A．100° B．108° C．118° D．120°【考點(diǎn)4勾股定理的逆定理】16．（2023秋?吉安期中）下列各組數(shù)分別為一個(gè)三角形三邊的長，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．7，24，25 D．8，15，1817．（2023秋?高碑店市期中）一個(gè)零件的形狀如圖所示，∠D＝90°，AB＝12，AD＝4，BC＝13，CD＝3，這個(gè)零件的面積是（）A．36 B．72 C．87 D．8818.（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判斷∠D是否是直角，并說明理由．（2）求四邊形ABCD的面積．18．（2023秋?青羊區(qū)校級期中）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，試求陰影部分的面積．20．（2023秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）直接寫出AB＝，BC＝，AC＝；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）直接寫出AC邊上的高＝．【考點(diǎn)5勾股數(shù)】21．（2023秋?武侯區(qū)校級期中）下列各組數(shù)據(jù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．3，4，5 D．32，42，5222．（2023?茅箭區(qū)校級模擬）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；?請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：．【考點(diǎn)6勾股定理的應(yīng)用】23．（2023秋?文登區(qū)期中）如圖長方體木箱的長、寬、高分別為12m，4m，3m，則能放進(jìn)木箱中的木棒最長為（）A．19m B．24m C．13m D．15m24．（2023秋?汝州市期中）《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）225．（2023春?南充期末）如圖，你風(fēng)過境后，一根垂直于地面的大樹在離地到6m處撕裂所，大樹頂部落在離大樹底部8m處，則大樹折斷之前的高度是（）A．10m B．14m C．16m D．18cm26.（2022秋?井研縣期末）為了預(yù)防新冠疫情，某中學(xué)在大門口的正上方A處裝著一個(gè)紅外線激光測溫儀離地AB＝2.1米（如圖所示），當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測溫儀就會顯示人體體溫．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（BC＝1.2米），測溫儀自動顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離AD等于（）A．1.2米 B．1.3米 C．1.4米 D．1.5米27．（2023秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高6m，另一棵高2m，兩樹相距5m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（）A．m B．4m C．m D．6m28．（2023秋?微山縣期中）某同學(xué)與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，她坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面0.8m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD，CE分別為1.2m和1.4m，∠BOC＝90°．爸爸在C處接住這個(gè)同學(xué)時(shí)，她距離地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.2m D．1.4m29．（2022秋?寬城區(qū)校級期末）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：CH與AB是否垂直？）請通過計(jì)算加以說明；（2）求原來的路線AC的長．30．（2022秋?威海期末）八年級11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測量如圖的風(fēng)箏的高度CE，測得如下數(shù)據(jù)：①測得BD的長度為8米；（注：BD⊥CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為17米；③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米．（1）求風(fēng)箏的高度CE．（2）若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？31．（2023秋?滕州市期中）如圖，一架云梯AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO＝20米，云梯AB的長度比OB的長度（云梯底端離墻的距離）大10米，AO⊥BO，設(shè)OB的長度為x米．（1）求OB的長度；（2）若云梯的頂端A沿墻下滑了5米到達(dá)點(diǎn)C處，試判斷云梯的底部B是否也外移了5米？請說明理由．32．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時(shí)小船從A移動到B，繩子始終繃緊且繩長保持不變．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移動的距離．（結(jié)果保留根號）（2）此人以0.5米每秒的速度收繩，請通過計(jì)算回答，該男子能否在30秒內(nèi)將船從A處移動到岸邊點(diǎn)F的位置？33．（2023秋?高碑店市期中）2023年7月五號臺風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報(bào)道，這是今年以來對我國影響最大的臺風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km（即以臺風(fēng)中心為圓心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風(fēng)影響）．如圖，線段BC是臺風(fēng)中心從C市向西北方向移動到B市的大致路線，A是某個(gè)大型農(nóng)場，且AB⊥AC．若A，C之間相距300km，A，B之間相距400km．（1）判斷農(nóng)場A是否會受到臺風(fēng)的影響，請說明理由．（2）若臺風(fēng)中心的移動速度為25km/h，則臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時(shí)間有多長？過關(guān)檢測一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?長安區(qū)校級期末）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長．其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．，2， B．2，3，4 C．6，7，8 D．1，，2．（2023春?銅仁市期末）成書于大約公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》是中國現(xiàn)存最早的一部數(shù)學(xué)典籍，里面記載的勾股定理的公式與證明相傳是在西周由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱之為商高定理．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1；古希臘哲學(xué)家柏拉圖（公元前427年—公元前347年）研究了勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為12，則其股為（）A．14 B．16 C．35 D．373．（2022秋?羅湖區(qū)校級期末）△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝104．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．645．（2022秋?新泰市期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的（）A．4，5，6 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，416．（2023春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD⊥AC于點(diǎn)D，則BD的長為（）A． B． C． D．7．（2023秋?京口區(qū)期中）我們在學(xué)習(xí)勾股定理的第二課時(shí)時(shí)，如圖圖形可以用來驗(yàn)證勾股定理的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．48．（2023秋?平遙縣期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．49 C．64 D．259．（2023秋?太和區(qū)期中）如圖所示的一段樓梯，高BC是3米，斜邊AB長是5米，現(xiàn)打算在樓梯上鋪地毯，至少需要地毯的長度為（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米10．（2023秋?揭東區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三邊為邊向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，連結(jié)EC，CG，作CP⊥CG交HI于點(diǎn)P，記正方形ACDE和正方形AHIB的面積分別為S1，S2，若S1＝16，S2＝25，則S△ACP：：S△BCP等于（）A．4：3 B．16：9 C．5：3 D．5：4二．填空題（共6小題）11．（2022秋?亭湖區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則點(diǎn)C到AB的距離是．12．（2023春?康縣期末）如圖，在公園內(nèi)有兩棵樹相距8米，一棵樹高15米，另一棵樹高9米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米．13．（2023秋?鶴山市期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，則AD＝．14．（2023春?定州市期末）如圖是一個(gè)滑梯示意圖，左邊是樓梯，右邊是滑道，已知滑道AC與AE的長度一樣，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．則滑道AC的長度為m．15．（2023秋?阜寧縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為