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文檔簡介
第22講多邊形與平行四邊形目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一多邊形的相關(guān)概念題型01多邊形的概念及分類題型02計算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積題型03計算多邊形對角線條數(shù)題型04對角線分三角形個數(shù)問題題型05多邊形內(nèi)角和問題題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)題型07多邊形的割角問題題型08多邊形的外角問題題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的合運用題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運用題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用題型12多邊形外角和的實際應(yīng)用題型13平面鑲嵌考點二平行四邊形的性質(zhì)與判定題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形題型04添加一個條件使四邊形成為平行四邊形題型05數(shù)平行四邊形個數(shù)題型06求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)題型07證明四邊形是平行四邊形題型08與平行四邊形有關(guān)的新定義問題題型09利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型10利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明題型11平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用考點三三角形中位線題型01三角形中位線有關(guān)的計算題型02三角形中位線與三角形面積計算問題題型03與三角形中位線有關(guān)的證明題型04三角形中位線的實際應(yīng)用題型05與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究題型06與三角形中位線有關(guān)的格點作圖題型07構(gòu)造三角形中位線的常用方法類型一連接兩點構(gòu)造三角形中位線類型二已知中點,取另一條線段的中點構(gòu)造中位線類型三利用角平分線垂直構(gòu)造三角形的中位線
考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測多邊形的相關(guān)概念了解多邊形的概念及多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角與對角線.探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.本考點內(nèi)容是考查重點,年年都會考查,分值為10分左右,預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn),并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計算的可能性比較大.中考數(shù)學(xué)中,對平行四邊形的單獨考察難度一般不大,一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大,對于本考點內(nèi)容,要注重基礎(chǔ),反復(fù)練習(xí),靈活運用.平行四邊形的性質(zhì)與判定探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理.探索并證明平行四邊形的判定定理.三角形中位線探索并證明三角形中位線定理.考點一多邊形的相關(guān)概念多邊形的定義:在平面中,由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線:連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.
多邊形對角線條數(shù):從n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線,并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形,n邊形的對角線條數(shù)為n(多邊形內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°(n≥3).【解題技巧】1)n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加,邊數(shù)每增加1,內(nèi)角和增加180°.2)任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3)利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題:①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和;②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù);③已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù).多邊形外角和定理:任意多邊形的外角和等于360°,與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān).正多邊形的定義:各角相等,各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【解題技巧】1)正n邊形的每個內(nèi)角為(n-22)正n邊形有n條對稱軸.3)對于正n邊形,當(dāng)n為奇數(shù)時,是軸對稱圖形;當(dāng)n為偶數(shù)時,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.多邊形的有關(guān)計算公式有很多,一定要牢記,代錯公式容易導(dǎo)致錯誤多邊形的有關(guān)計算公式有很多,一定要牢記,代錯公式容易導(dǎo)致錯誤:①n邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°(n≥3).②從n邊形的一個頂點可以引出(n3)條對角線,n個頂點可以引出n(n3)條對角線,但是每條對角線計算了兩次,因此n邊形共有n(n-3)③n邊形的邊數(shù)=(內(nèi)角和÷180°)+2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和=n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點O,連接O與各個頂點,把n邊形分成n個三角形;在n邊形的任意一邊上任取一點O,連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成(n-1)個三角形;連接n邊形的任一頂點A與其不相鄰的各個頂點的線段,把n邊形分成(n-2)個三角形.題型01多邊形的概念及分類【例1】(2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在等邊三角形、正五邊形、正六邊形、正七邊形中,既是軸對稱又是中心對稱的圖形是()A.等邊三角形 B.正五邊形 C.正六邊形 D.正七邊形【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和軸對稱圖形、中心對稱的圖形的識別進行判斷即可.【詳解】解:由正多邊形的性質(zhì)知,偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形;奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,所以正六邊形既是軸對稱又是中心對稱的圖形,故選:C.【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、軸對稱圖形、中心對稱的圖形的識別,熟知偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形;奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵.【變式11】(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模)下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是(
)A.1,1,1 B.1,1,8 C.1,2,2 D.2,2,2【答案】D【分析】若四條線段能組成四邊形,則三條較短邊的和必大于最長邊,由此即可完成.【詳解】A、1+1+1<5,即這三條線段的和小于5,根據(jù)兩點間距離最短即知,此選項錯誤;B、1+1+5<8,即這三條線段的和小于8,根據(jù)兩點間距離最短即知,此選項錯誤;C、1+2+2=5,即這三條線段的和等于5,根據(jù)兩點間距離最短即知,此選項錯誤;D、2+2+2>5,即這三條線段的和大于5,根據(jù)兩點間距離最短即知,此選項正確;故選:D.【點睛】本題考查了兩點間線段最短,類比三條線段能組成三角形的條件,任兩邊的和大于第三邊,因而較短的兩邊的和大于最長邊即可,四條線段能組成四邊形,作三條線段的和大于第四條邊,因而較短的三條線段的和大于最長的線段即可.【變式12】(2022·遼寧盤錦·??家荒#┫铝忻}正確的是(
)A.每個內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.過線段中點的直線是線段的垂直平分線D.三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分【答案】B【分析】分別根據(jù)正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)逐項進行判斷即可得到結(jié)論.【詳解】解:A.每個內(nèi)角都相等,各邊都相等的多邊形是正多邊形,故選項A的說法錯誤,不符合題意;B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,說法正確,故選項B符合題意;C.過線段中點且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線,故選項C的說法錯誤,不符合題意;D.三角形的中位線將三角形的面積分成1∶3兩部分,故選項D的說法錯誤,不符合題意.故選:B.【點睛】此題主要考查了對正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質(zhì)的認識,熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關(guān)鍵.題型02計算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積【例2】(2022·北京海淀·統(tǒng)考二模)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,A,B,C,D是網(wǎng)格線交點.若AB=1,則四邊形ABCD的面積為.【答案】9【分析】由圖可得S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC,利用網(wǎng)格來計算兩個三角形的面積相加即可.【詳解】解:S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=1故答案為:9【點睛】本題是求三角形的面積問題,解題關(guān)鍵是熟練對不規(guī)則三角形進行分割.【變式21】(2021·北京昌平·統(tǒng)考二模)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,點A,B,C,D是網(wǎng)格線交點,則△ABC的面積與△ADB的面積大小關(guān)系為:S△ABCSΔADB(填“>”“=”【答案】=【分析】分別求出△ABC的面積和△ABD的面積,即可求解.【詳解】解:∵SΔABDSΔABC∴SΔABC故答案為:=.【點睛】本題考查了三角形的面積,掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵.【變式22】(2021·湖南婁底·統(tǒng)考一模)各頂點都在方格紙的格點(橫豎格子線的交錯點)上的多邊形稱為格點多邊形,它的面積S可用公式S=a+12b-1(a是多邊形內(nèi)的格點數(shù),b是多邊形邊界上的格點數(shù))計算,這個公式稱為“【答案】6【分析】根據(jù)題目要求,數(shù)出五邊形內(nèi)部格點的數(shù)量,五邊形邊上格點的數(shù)量,代入S=【詳解】由圖可知:五邊形內(nèi)部格點有4個,故a五邊形邊上格點有6個,故b∴S=a故答案為:6.【點睛】本題考查了網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形的計算,按題目要求盡心計算即可.【變式23】(2021·山西臨汾·統(tǒng)考三模)閱讀下列材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).你知道“皮克定理”嗎?“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克(如圖1)發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中多邊形的面積公式.在一張方格紙上,上面畫著縱橫兩組平行線,相鄰平行線之間的距離都相等,這樣兩組平行線的交點,就是所謂格點.一個多邊形的頂點如果全是格點,這個多邊形就叫做格點多邊形.有趣的是,這種格點多邊形的面積計算起來很方便,只要數(shù)一下圖形邊線上的點的數(shù)目及圖內(nèi)的點的數(shù)目,就可用公式算出.即S=a+12b-1,其中a表示多邊形內(nèi)部的點數(shù),b表示多邊形邊界上的點數(shù),S表示多邊形的面積.(利用圖任務(wù):(1)如圖2,是6×6的正方形網(wǎng)格,且小正方形的邊長為1,利用“皮克定理”可以求出圖中格點多邊形的面積是_______.(2)已知:一個格點多邊形的面積S為19,且邊界上的點數(shù)b是內(nèi)部點數(shù)a的3倍,則a+b(3)請你在圖3中設(shè)計一個格點多邊形.要求:①格點多邊形的面積為8;②格點多邊形是一個軸對稱圖形.【答案】(1)21;(2)32;(3)見解析【分析】(1)觀察圖形,得到a=16,b(2)由題意b=3a,然后列出關(guān)于a的方程,求出(3)由格點多邊形的面積為8,然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì),即可畫出圖形.【詳解】解:(1)由題意,如圖:多邊形內(nèi)部的點數(shù)為:a=16多邊形邊界的點數(shù)為:b=12∴S=故答案為:21;(2)設(shè)內(nèi)部點數(shù)是a,則b=3∴S=∴a=8∴b=8×3=24∴a+故答案為:32.(3)答案不唯一,只要符合題意要求即可.例如:【點睛】本題考查了多邊形,解一元一次方程,軸對稱的性質(zhì)等知識,理解正方形網(wǎng)格紙中多邊形面積的公式S=題型03計算多邊形對角線條數(shù)【例3】(2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模)已知一個多邊形內(nèi)角和為1080°,則這個多邊形可連對角線的條數(shù)是(
)A.10 B.16 C.20 D.40【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計算公式求出這個多邊形是八邊形,再根據(jù)多邊形對角線計算公式求解即可.【詳解】解:設(shè)這個多邊形為n邊形,由題意得,180×n∴n=8∴這個多邊形為八邊形,∴這個多邊形可連對角線的條數(shù)是8×8-3故選C.【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理,多邊形對角線計算公式,熟知n邊形的對角線條數(shù)是nn【變式31】(2022·河北保定·統(tǒng)考一模)如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍,那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是(
)A.3 B.6 C.9 D.18【答案】A【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系可得n-【詳解】解:設(shè)這個多邊形為n邊形,則n-∴n解得:n=6所以從這個多邊形的一個頂點出發(fā)共有n-故選A.【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理,多邊形的對角線問題,掌握“利用多邊形的內(nèi)角和為n-2?180°,【變式32】(2021·云南普洱·統(tǒng)考一模)如圖,從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出1條對角線,從五邊形的同一個頂點出發(fā),可以引出2條對角線,從六邊形的同一個頂點出發(fā),可以引出3條對角線,……,依此規(guī)律,從n邊形的同一個頂點出發(fā),可以引出的對角線數(shù)量為(
)A.n B.n-2 C.n-【答案】C【分析】根據(jù)題意可得從n邊型的同一個頂點出發(fā),可以引n-【詳解】解:∵從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出4-3=1條對角線;從五邊形的同一個頂點出發(fā),可以引出5-3=2條對角線,從六邊形的同一個頂點出發(fā),可以引出6-3=3條對角線,∴從n邊型的同一個頂點出發(fā),可以引n-故選:C.【點睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律題,解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到規(guī)律求解.【變式33】(2023·陜西西安·高新一中校考模擬預(yù)測)一個正多邊形的中心角是72°,則過它的一個頂點有條對角線.【答案】2【分析】根據(jù)正多邊形的中心角是72°,可得該正多邊形是正五邊形,然后利用過n邊形的一個頂點有n-【詳解】解:∵設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n,且正多邊形的中心角是72°∴72°n∴n∴過n邊形的一個頂點有n-3條對角線,即故答案為:2.【點睛】本題考查的是多邊形的對角線、正多邊形的中心角等知識點,要掌握過n多邊形的一個頂點有n-【變式34】(2022·陜西西安·??既#┮粋€正多邊形的每個外角為45°,則這個正多邊形的對角線共有條.【答案】20【分析】根據(jù)正多邊形的每一個外角都相等,多邊形的邊數(shù)=360°÷45°,進而求得多邊形的對角線條數(shù).【詳解】解:這個正多邊形的邊數(shù):360°÷45°=8,則對角線的條數(shù)是:12故答案是:20.【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角與外角.解題的關(guān)鍵在于掌握正多邊形的外角和為360°,并且正多邊形的每一個外角都相等.題型04對角線分三角形個數(shù)問題【例4】(2019·廣東深圳·校聯(lián)考一模)如圖,從多邊形一個頂點出發(fā)作多邊形的對角線,試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點數(shù)、線段數(shù)及三角形個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果,推斷f,e,v三個量之間的數(shù)量關(guān)系是:多邊形:
頂點個數(shù)f1:
4
5
6
…線段條數(shù)e:
5
7
9
…三角形個數(shù)v1:
2
3
4
…【答案】f+ve=1【分析】三角形個數(shù)等于頂點數(shù)減2,線段條數(shù)等于對角線條數(shù)加邊數(shù),即可求解;【詳解】解:三角形個數(shù)v=f?2,線段條數(shù)e=f?3+f=2f?3,∴f+ve=1,故答案為f+ve=1;【點睛】本題考查多邊形的邊,頂點,三角形個數(shù),熟練掌握多邊形對角線的求法,多邊形分割三角形的方法是解題的關(guān)鍵.題型05多邊形內(nèi)角和問題【例5】(2021·河南周口·統(tǒng)考二模)如圖,⊙A,⊙B,⊙C,⊙D,⊙E相互外離,它們的半徑都是2A.6π B.5π C.4π【答案】A【分析】求出五個扇形的圓心角之和,利用扇形面積公式求解即可.【詳解】∵(5-2)×180°=540°∴S故選A.【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和,扇形面積公式,理解題意是解題的關(guān)鍵.【變式51】(2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模)下列多邊形中,內(nèi)角和最大的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進行排除選項.【詳解】解:A、是一個三角形,其內(nèi)角和為180°;B、是一個四邊形,其內(nèi)角和為360°;C、是一個五邊形,其內(nèi)角和為540°;D、是一個六邊形,其內(nèi)角和為720°;∴內(nèi)角和最大的是六邊形;故選D.【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和,熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.【變式52】(2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模)如圖,四邊形ABCD中,∠1=93°,∠2=107°,∠3=110°,則∠D的度數(shù)為(
)A.125° B.130° C.135° D.140°【答案】B【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠BAD【詳解】∵∠1=93°,∠2=107°,∠3=110°,∠1+∠BAD=180°∴∠在四邊形ABCD中,∵∠∴∠故選:B.【點睛】本題考查了平角的定義及四邊形的內(nèi)角和定理,熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.【變式53】(2020·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考三模)如圖,多邊形ABCDEFG中,∠E=∠F=∠G=108°A.108° B.72° C.54° D.36°【答案】B【分析】連接CD,設(shè)AD與BC交于點O,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出∠E+∠F+∠G+∠EDC+∠GCD,根據(jù)各角的關(guān)系即可求出∠ODC+∠OCD,然后根據(jù)對頂角的相等和三角形的內(nèi)角和定義即可求出結(jié)論.【詳解】解:連接CD,設(shè)AD與BC交于點O∵∠E+∠F+∠G+∠EDC+∠GCD=180°×(5-2)=540°,∠E=∠F∴108°+108°+108°+72°+∠ODC+72°+∠OCD=540°∴∠ODC+∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=180°-∠AOB=180°-∠COD=∠ODC+∠OCD=72°故選B.【點睛】此題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式和對頂角的性質(zhì),掌握多邊形的內(nèi)角和公式和對頂角相等是解決此題的關(guān)鍵.【變式54】(2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測)如圖,正方形AMNP的邊AM在正五邊形ABCDE的邊AB上,則∠PAE=【答案】18【分析】由正方形的性質(zhì)及正五邊形的內(nèi)角可直接進行求解.【詳解】解:∵四邊形AMNP是正方形,五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠EAB∴∠PAE故答案為18.【點睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì),熟練掌握正多邊形的定義是解題的關(guān)鍵.【變式55】(2021·陜西·三模)如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的,則∠ABC等于【答案】30【分析】先證出內(nèi)部的圖形是正六邊形,求出內(nèi)部小正六邊形的內(nèi)角,即可得到∠ACB的度數(shù),根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解.【詳解】解:由題意六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成,可得BD=AC,BC=AF,∴CD=CF,同理可證小六邊形其他的邊也相等,即里面的小六邊形也是正六邊形,∴∠1=16∴∠2=180°120°=60°,∴∠ABC=30°,故答案為:30.【點睛】本題考查正多邊形的證明、多邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和,熟練掌握多邊形內(nèi)角和的計算是解題的關(guān)鍵.題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)【例6】(2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測)一個多邊形的內(nèi)角和為900°,則這個多邊形是()A.七邊形 B.八邊形 C.九邊形 D.十邊形【答案】A【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是(n﹣2)?180°,列出方程即可求解.【詳解】解:根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式,得(n﹣2)?180°=900°,解得n=7,∴這個多邊形的邊數(shù)是7,故選:A.【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和,解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程.【變式61】(2022·北京房山·統(tǒng)考一模)下列多邊形中,內(nèi)角和為720°的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用n邊形內(nèi)角和公式為(n2)×180°,構(gòu)造方程確定n即可.【詳解】∵n邊形內(nèi)角和公式為(n2)×180°,∴(n2)×180°=720°,解得n=6,故選D.【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式,熟練掌握公式,準(zhǔn)確解方程,準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.題型07多邊形的割角問題【例7】(2020·浙江杭州·模擬預(yù)測)一個多邊形截去一個角后,形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1440°.則原來多邊形的邊數(shù)是.【答案】9或10或11【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式n-【詳解】解:設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為n,根據(jù)題意得:n∴又∵截去一個角后的多邊形的邊可以增加1、不變、減少1,∴原多邊形的邊數(shù)為9或10或11.【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式,本題的易錯點在于忽略考慮截去一個角后多邊形的邊數(shù)可以不變、增加或者減少.【變式71】(2018·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如果一個正方形被截掉一個角后,得到一個多邊形,那么這個多邊形的內(nèi)角和是.【答案】180°或360°或540°【詳解】分析:剪掉一個多邊形的一個角,則所得新的多邊形的角可能增加一個,也可能不變,也可能減少一個,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解.詳解:n邊形的內(nèi)角和是(n2)?180°,邊數(shù)增加1,則新的多邊形的內(nèi)角和是(4+12)×180°=540°,所得新的多邊形的角不變,則新的多邊形的內(nèi)角和是(42)×180°=360°,所得新的多邊形的邊數(shù)減少1,則新的多邊形的內(nèi)角和是(412)×180°=180°,因而所成的新多邊形的內(nèi)角和是540°或360°或180°.故答案為540°或360°或180°.點睛:本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和的計算公式,理解:剪掉一個多邊形的一個角,則所得新的多邊形的角可能增加一個,也可能不變,也可能減少一個,是解決本題的關(guān)鍵.【變式72】(2021·河北唐山·統(tǒng)考一模)如圖,一張內(nèi)角和為1800°的多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內(nèi)角后,得到的新多邊形的邊數(shù)為.【答案】13【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式,可得原多邊形的邊數(shù),根據(jù)新多邊形比原多邊形多1條邊,可得答案.【詳解】解:設(shè)原多邊形是n邊形,由多邊形內(nèi)角和公式得:(n2)180°=1800°,解得n=12,新多邊形是12+1=13,故答案為:13.【點睛】本題考查了剪紙問題,多邊形內(nèi)角與外角,掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵.一個n變形剪去一個角后,若剪去的一個角只經(jīng)過一個頂點和一邊,則剩下的形狀是n邊形,若剪去的一個角經(jīng)過兩條鄰邊,則剩下的形狀是(n+1)邊形,若剪去的一個角經(jīng)過兩個相鄰點,則剩下的形狀是(n-1)邊形.所以遇到相關(guān)題目時,要分類討論.題型08多邊形的外角問題【例8】(2022·湖南長沙·模擬預(yù)測)若一個正多邊形的一個外角是60°,則這個正多邊形的邊數(shù)是(
)A.10 B.9 C.8 D.6【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計算即可.【詳解】解:360°÷60°=6,即正多邊形的邊數(shù)是6.故選:D.【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理,掌握多邊形的外角和等于360°,正多邊形的每個外角都相等是解題的關(guān)鍵.【變式81】(2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,小明從點A出發(fā)沿直線前進10米到達點B,向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進10米到達點C,再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進10米到達點D……照這樣走下去,小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程為()A.100米 B.80米 C.60米 D.40米【答案】B【分析】根據(jù)題意,小明走過的路程是正多邊形,先用360°除以45°求出邊數(shù),然后再乘以10米即可.【詳解】解:∵小明每次都是沿直線前進10米后再向左轉(zhuǎn)45°,∴他走過的圖形是正多邊形,邊數(shù)n=360°÷45°=8,∴小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程=8×10=80米.故選:B.【點睛】本題考查了正多邊形外角問題的實際應(yīng)用,根據(jù)題意判斷小明走過的圖形是正多邊形是解題的關(guān)鍵.【變式82】(2020·山東濟寧·濟寧學(xué)院附屬中學(xué)??级#┱呅蔚耐饨呛蜑椋?/p>
)A.180° B.360° C.720° D.1440°【答案】B【分析】根據(jù)多邊的外角和定理進行選擇.【詳解】解:因為任意多邊形的外角和都等于360°,所以正十邊形的外角和等于360°,.故選B.【點睛】本題考查了多邊形外角和定理,關(guān)鍵是熟記:多邊形的外角和等于360度.題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的綜合運用【例9】(2022·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上,若∠1=19°,則∠2的度數(shù)為()A.41° B.51° C.42° D.49°【答案】A【分析】先求出正六邊形的內(nèi)角和外角,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵正六邊形的每個內(nèi)角等于120°,每個外角等于60°,∴∠FAD=120°∠1=101°,∠ADB=60°,∴∠ABD=101°60°=41°∵光線是平行的,∴∠2=∠ABD=41°,故選A【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì),三角形外角性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì),掌握三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式91】(2019·四川宜賓·校聯(lián)考一模)如圖,AB∥CD,∠BED=61°,∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點F,則∠DFB=()A.149° B.149.5° C.150° D.150.5°【答案】B【分析】過點E作EG∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得“∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠EDC=180°”,根據(jù)角的計算以及角平分線的定義可得“∠FBE+∠EDF=12∠ABE+∠CDE)”,再依據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°【詳解】如圖,過點E作EG∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥GE,∴∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠EDC=180°,∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°;又∵∠BED=61°,∴∠ABE+∠CDE=299°.∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F,∴∠FBE+∠EDF=12(∠ABE+∠CDE)=149.5°∵四邊形的BFDE的內(nèi)角和為360°,∴∠BFD=360°149.5°61°=149.5°.故選B.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和為360°,解決該題型題目時,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等(或互補)的角是關(guān)鍵.【變式92】(2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)??寄M預(yù)測)如圖,五邊形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3是外角,則∠1+∠2+∠3等于(A.100° B.180° C.210° D.270°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B【詳解】解:∵∠1+∠BAE=180°,∠2+∠AED∴∠1+∠BAE∴∠1+∠2+∠3=540°-∠∵AB∴∠B∵∠B∵∠BAE∴∠1+∠2+∠3=540°-360°=180°,故選:B.【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和和平行線的性質(zhì),熟記多邊形的內(nèi)角公式為n-【變式93】(2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測)如圖,一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……
【答案】6【分析】過A2作A2B∥A1An,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠3,∠CA2B=∠1【詳解】解:過A2作A
則∠4=∠3,∠∵∠1-∠2=60°∴∠設(shè)正多邊形的內(nèi)角為x,則∠4=180°-∴x∴∠3=∵180°-x=∴∠4=60°∴這個正多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6故答案為:6.【點睛】本題考查了根據(jù)正多邊形外角求正多邊形的邊數(shù),平行線的性質(zhì)等知識,熟練掌握正多邊形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式94】(2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,AB∥CD,AD平分∠BDC,CE∥AD,∠(1)求∠BAD(2)若∠F=40°,求∠【答案】(1)30°(2)110°【分析】(1)根據(jù)∠DCE=150°和CE∥AD可求得∠ADC=30°,然后根據(jù)AB∥(2)由AD平分∠BDC,可得∠CDF=2∠ADC=60°,然后由四邊形的內(nèi)角和是【詳解】(1)解:∵CE∥AD,∴∠ADC∴∠ADC∵AB∥CD,∴∠BAD(2)解:∵AD平分∠BDC∴∠CDF∵∠E∴∠E【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理、角平分線的的定義,熟記相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運用【例10】(2022·貴州黔東南·模擬預(yù)測)如圖,AB∥CD,∠BED=100°,BF、DF分別為∠ABE、∠CDE的角平分線,則A.100° B.120° C.130° D.135°【答案】C【分析】先過E作EG//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,再根據(jù)DE⊥BE,【詳解】解:如圖所示,過E作EG//∵AB∴EG∴∠ABE+∠BEG∴∠ABE又∵DE⊥BE,BF,DF分別為∠∴∠FBE∴四邊形BEDF中,∠BFD故選:C.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用,四邊形內(nèi)角和定理,解題時注意:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.解決問題的關(guān)鍵是作平行線.【變式101】(2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模)如圖,在四邊形ABCD中,∠A=150°,∠C=60°,∠ABC與∠ADC的平分線交于點O,則∠BOD的度數(shù)為(
)A.120° B.125° C.130° D.135°【答案】D【分析】由題意易得∠ABO=12∠【詳解】解:∵∠ABC與∠ADC的平分線交于點O,∴∠ABO∵∠A=150°,∠C=60°,∴∠ABC∴∠ABO∴∠BOD故選D.【點睛】本題主要考查四邊形內(nèi)角和及角平分線的定義,熟練掌握四邊形內(nèi)角和及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.【變式102】(2022·山東濟南·統(tǒng)考一模)如圖,正五邊形ABCDE中,內(nèi)角∠EAB的角平分線與其內(nèi)角∠ABC的角平分線相交于點P,則∠APB=度.【答案】72【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠EAB=∠ABC=108度,然后根據(jù)角平分線的定義得到∠PAB=∠PBA=54度,再利用三角形內(nèi)角和定理得到∠APB的度數(shù).【詳解】解:∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠EAB=∠ABC=(5-2)∵AP是∠EAB的角平分線,∴∠PAB=54度,∵BP是∠ABC的角平分線,∴∠ABP=54°.∴∠APB=180°54°54°=72°,故答案為:72.【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和,題目中還用到了角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理.【變式103】(2021·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校??级#┤鐖D,在四邊形ABCD中,∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P,且∠D+∠【答案】15°【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB=1【詳解】解:∵∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點∴∠PAB∵在四邊形ABCD中,∠D∴∠DAB由三角形的外角性質(zhì)得:∠P=90°-1=90°-1=90°-1=15°,故答案為:15°.【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、角平分線的定義等知識點,熟練掌握四邊形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵.【變式104】(2020·河北·模擬預(yù)測)如圖所示,過正五邊形ABCDE的頂點B作一條射線與其內(nèi)角∠EAB的角平分線相交于點P,且∠ABP=60°,則【答案】66【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠EAB=108度,然后根據(jù)角平分線的定義得到∠PAB【詳解】解:∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠EAB∵AP是∠EAB∴∠PAB∵∠ABP∴∠APB故答案為66.【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角,題目中還用到了角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理.題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用【例11】(2022·河北唐山·統(tǒng)考一模)如圖,由一個正六邊形和正五邊形組成的圖形中,∠1的度數(shù)應(yīng)是(
)A.72° B.84° C.82° D.94°【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正六邊形和正五邊形的內(nèi)角和內(nèi)角的補角,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解;【詳解】解:正六邊形的內(nèi)角為:180°×6-26=120°正五邊形的內(nèi)角為:180°×5-25=108°∴∠1=360°-故選:B【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式,三角形的內(nèi)角和定理,掌握相關(guān)知識并正確求解是解題的關(guān)鍵.【變式111】(2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模)一個正多邊形的內(nèi)角和是1260°,則這個正多邊形的一個外角等于(
)A.60° B.45° C.72° D.40°【答案】D【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求得多邊形的邊數(shù),然后求得內(nèi)角即可,進而得出其外角度數(shù).【詳解】解:設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n,∵正多邊形的內(nèi)角和為1260°,∴(n2)×180°=1260°,解得:n=9,∵360°÷9=40°,∴正九邊形的每個外角40°,故選:D.【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和及外角和定理,任何多邊形的外角和是360°.【變式112】(2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模)如圖,五邊形ABCDE是正五邊形,AF∥DG,若∠2=20°,則∠1=(A.60° B.56° C.52° D.40°【答案】B【分析】延長DE,F(xiàn)A交于點H,由正五邊形的性質(zhì),解得∠3=360°5【詳解】解:延長DE,F(xiàn)A交于點H,如圖,∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠3∵∴∴∠1=∠∵∠∴∠∴∠1=∠H故選:B.【點睛】本題考查正五邊形的性質(zhì)、兩直線平行,內(nèi)錯角相等、三角形的外角性質(zhì)等知識,是重要考點,掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.【變式113】(2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測)正八邊形中,每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比為(
)A.1:3 B.1:2 C.2:1 D.3:1【答案】D【分析】根據(jù)正八邊形的外角和等于360°,求出每個外角的度數(shù),再求出每個內(nèi)角的度數(shù),進而即可求解.【詳解】解:正八邊形中,每個外角=360°÷8=45°,每個內(nèi)角=180°45°=135°,∴每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比=135°:45°=3:1,故選D.【點睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和外角,熟練掌握正多邊形的外角和等于360°,是解題的關(guān)鍵.【變式114】.(2023·山西大同·大同一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)等邊三角形、正方形及正五邊形各一個,按下圖放在同一平面內(nèi),則∠1+∠2+∠3=(
)
A.102° B.104° C.106° D.108°【答案】A【分析】根據(jù)正方形,正三角形和正五邊形的內(nèi)角以及正多邊形的外角和即可即可求解.【詳解】正三角形的每個內(nèi)角為180°÷3=60°,正五邊形的每個內(nèi)角5-2×180°÷5=108°正方形的每一個內(nèi)角為360°÷4=90°,∴∠1+∠2+∠3=360°-90°-60°-108°=102°,故選:A.【點睛】本題考查了正多邊形的外角和與內(nèi)角和的關(guān)系,熟練掌握多邊形的外角和為360°是解題的關(guān)鍵.【變式115】(2019·河北秦皇島·統(tǒng)考一模)發(fā)現(xiàn):如圖1,在有一個“凹角∠A1A2A3”n邊形A1A2驗證:(1)如圖2,在有一個“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中,證明:∠(2)如圖3,有一個“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中,證明;∠延伸:(3)如圖4,在有兩個連續(xù)“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四邊形【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)6.【分析】(1)如圖2,延長AB交CD于E,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)如圖3,延長AB交CD于G,則∠ABC(3)如圖4,延長A2A3交A5A4于C,延長A3A2交A【詳解】解:(1)如圖2,延長AB交CD于E,則∠ABC=∠BEC∴∠ABC(2)如圖3,延長AB交CD于G,則∠ABC∵∠BGC=180°-∠BGD∴∠ABC(3)如圖4,延長A2A3交A5A4于C,延長則∠A∵∠1+∠3=(n而∠2+∠4=360°-(∠1+∠3)=360°-[(n∴∠A故答案為:6.【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角和等知識,熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式116】(2023·陜西西安·高新一中??寄M預(yù)測)定義:由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形.相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角,一邊和它鄰邊的延長線組成的角叫做它的外角.為了探究n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù),小華做了以下實驗:取若干張紙片,分別在紙片上畫出三角形、四邊形、五邊形等,順次延長各邊得到各個外角,然后沿著多邊形的邊和延長線將它剪開,將外角拼在一起,觀察圖形,并進行推理.(1)實驗操作.
(2)歸納猜想.多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內(nèi)角和_________________________________…___________(3)理解應(yīng)用.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍,它是多少邊形?【答案】(2)見解析;(3)這個多邊形是二零一八邊形【分析】(2)利用實驗操作探究規(guī)律后即可解決問題;(3)構(gòu)建方程,解方程即可解決問題;【詳解】(2)解:由實驗操作可知,多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和360°360°360°…360°內(nèi)角和180°360°540°…n(3)設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n.由題意(n解得n答:這個多邊形是二零一八邊形.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法,屬于中考??碱}型.題型12多邊形外角和的實際應(yīng)用【例12】(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模)如圖,將三角形紙片剪掉一角得四邊形,設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α,β,則正確的是(
)A.α-β=0C.α-β>0 D.無法比較α【答案】A【分析】多邊形的外角和為360°,△ABC與四邊形BCDE的外角和均為360°,作出選擇即可.【詳解】解:∵多邊形的外角和為360°,∴△ABC與四邊形BCDE的外角和α與β均為360°,∴α-故選:A.【點睛】本題考查多邊形的外角和定理,注意多邊形的外角和為360°是解答本題的關(guān)鍵.【變式121】(2022·北京順義·統(tǒng)考一模)如圖,小明從A點出發(fā),沿直線前進20米后左轉(zhuǎn)30°,再沿直線前進20米,又向左轉(zhuǎn)30°,…,照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)地A點時,一共走了(
)A.120米 B.200米 C.160米 D.240米【答案】D【分析】由題意可知小華走出了一個正多邊形,根據(jù)正多邊形的外角和公式可求解.【詳解】已知多邊形的外角和為360°,而每一個外角為30°,可得多邊形的邊數(shù)為360°÷30°=12,所以小明一共走了:12×20=240米.故答案選:D.【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角與外角,熟記公式是關(guān)鍵.【變式122】(2023·河北保定·統(tǒng)考一模)如圖,琪琪沿著一個四邊形公園小路跑步鍛煉,從A處出發(fā),當(dāng)她跑完一圈時,她身體轉(zhuǎn)過的角度之和為.【答案】360°/360度【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360度即可求解.【詳解】解:∵多邊形的外角和等于360度,∴琪琪跑完一圈時,身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360度.故答案為:360度.【點睛】此題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角,解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于360度.題型13平面鑲嵌【例13】(2022·山西太原·一模)如圖,若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀,圖中所示的是前3個正五邊形,要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個數(shù)為(
)A.10 B.9 C.8 D.7【答案】D【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)·180°求出正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù),再延長五邊形的兩邊相交于一點,并根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出這個角的度數(shù),然后根據(jù)周角等于360°【詳解】解:∵五邊形的內(nèi)角和為5-2∴正五邊形的每一個內(nèi)角為540°÷5=108°,∴正五邊形的每一個外角為180°-108°=72°,如圖,延長正五邊形的兩邊相交于點O,則∠1=180°-2×72°=36°,360°÷36°=10,∵已經(jīng)有3個五邊形,∴10-3=7,即完成這一圓環(huán)還需7個五邊形.故選:D.【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式,延長正五邊形的兩邊相交于一點,并求出這個角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵,注意需要減去已有的3個正五邊形.【變式131】(2023·北京平谷·統(tǒng)考二模)如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成,則∠BAD的度數(shù)為(
A.50° B.60° C.100° D.120°【答案】B【分析】先計算出正六邊形的內(nèi)角,根據(jù)平面鑲嵌的條件計算求解.【詳解】解:正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為180°-360°∴∠BAD的度數(shù)為360°-120°×2故選:B.【點睛】本題考查了平面鑲嵌,也考查了正多邊形內(nèi)角的計算方法,掌握正多邊形的概念,理解幾何圖形鑲嵌成平面是:圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角是解題關(guān)鍵.【變式132】(2023·吉林長春·長春市第八十七中學(xué)??既#┤鐖D①是15世紀(jì)藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計,圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖,其中菱形的最小內(nèi)角為度.
【答案】36【分析】根據(jù)平面鑲嵌的定義,結(jié)合正五邊形的內(nèi)角,即可求解.【詳解】解:正五邊形的每一個內(nèi)角為5-2設(shè)菱形的最小內(nèi)角為x,根據(jù)題意得,x解得:x故答案為:36.【點睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式,平面鑲嵌,熟練掌握平面鑲嵌的定義以及多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.【變式133】(2023·陜西西安·高新一中??寄M預(yù)測)“動感數(shù)學(xué)”社團教室重新裝修,如圖是用邊長相等的正方形和正n邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖,則n的值為.【答案】8【分析】根據(jù)正方形的內(nèi)角為90°,正n邊形的每個內(nèi)角為n-2×180°n,再結(jié)合題意可列出關(guān)于【詳解】解:正方形的每個內(nèi)角為90°,正n邊形的每個內(nèi)角為n-則根據(jù)題意有90°+2×n解得:n=8故答案為:8.【點睛】本題考查平面鑲嵌,正多邊形的內(nèi)角問題.掌握正n邊形的每個內(nèi)角為n-【變式134】(2021·浙江金華·統(tǒng)考一模)如圖,要設(shè)計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒,已知每支鉛筆大小相同,底面均為正六邊形,邊長記作2a(1)如果要裝10支鉛筆,小藍畫了圖①、圖②兩種排列方式,請你通過計算,判斷哪種方式更節(jié)省空間:.(填①或②)(2)如果要裝24支鉛筆,請你模仿以上兩種方式,算出紙盒底面最小半徑是.(用含a的代數(shù)式表示)【答案】圖①109【分析】(1)圖①由10個正六邊形構(gòu)成,圖②由10個正六邊形和4個正三角形構(gòu)成,分別計算出其面積比較大小即可,(2)要裝24支鉛筆,要使紙盒底面最小,按圖①方式排每個正六邊形相鄰的空間最小計算出半徑即可;【詳解】(1)∵一個正六邊形可以分為6個全等的等邊三角形,且邊長為2∴小三角形的高=(2a∴S正六邊形=圖①由10個正六邊形構(gòu)成S=10×63圖②由10個正六邊形和4個正三角形構(gòu)成S∵60∴圖①更節(jié)省空間故答案為:①(2)由(1)可知,每個正六邊形相鄰空間最小,此時的盒地面半徑最小,如圖以中點O為圓心,OA長為半徑紙盒底面半徑最小,過O點作OB⊥AB,由(1)可知,OB=3×23在Rt△AOB中,AB=a,OB=6OA=AB紙盒底面最小半徑是109故答案為:109【點睛】此題主要考查了平面鑲嵌,正多邊形的面積,勾股定理,以及圓的知識,解題的關(guān)鍵要讀懂題意畫出示意圖.解決幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是:圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角.考點二平行四邊形的性質(zhì)與判定平行四邊形的定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示:用符號“?”表示,平行四邊形ABCD記作“?ABCD”,讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì):1)對邊平行且相等;2)對角相等、鄰角互補;3)對角線互相平分;
4)平行四邊形是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形,平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心.【解題技巧】1)平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半.2)平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系,所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題.3)過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長.4)如圖①,AE平分∠BAD,則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形,即AB=BE.5)如圖②,已知點E為AD上一點,根據(jù)平行線間的距離處處相等,可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.6)如圖③,根據(jù)平行四邊形的面積的求法,可得AE·BC=AF·CD.平行四邊形的判定定理:①定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【解題技巧】一般地,要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法,主要有以下三種思路:1)當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時,可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明;2)當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時,可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明;3)當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對角線時,可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明.題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解【例1】(2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺,其中∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移,使得△ABC移動到△A'B'CA.96 B.963 C.192 D.【答案】B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°,根據(jù)四邊形ACC'A【詳解】解:依題意ACC∵∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=∴∴平行四邊形ACC'A'的面積故選B【點睛】本題考查了解直角三角形,平移的性質(zhì),掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式11】(2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測)將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,則∠EGC的度數(shù)為()A.100° B.80° C.70° D.60°【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可得到∠GEF的度數(shù),依據(jù)平行線的性質(zhì),即可得到∠EGC的度數(shù).【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥∴∠AEG=∠EGC,∵∠EFG=90°,∠EGF=60°,∴∠GEF=30°,∴∠GEA=80°,∴∠EGC=80°.故選:B.【點睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì),掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.【變式12】(2023·陜西西安·西北大學(xué)附中校考模擬預(yù)測)如圖,在?ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分線BM交CD邊于點M,則DM的長為()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得∠CBM=∠CMB,利用等邊對等角即可得MC=BC=8,進而可求解.【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB=12,BC=AD=8,AB∥CD,∴∠ABM=∠CMB,∵BM是∠ABC的平分線,∴∠ABM=∠CBM,∴∠CBM=∠CMB,∴MC=BC=8,∴DM=CD﹣MC=12﹣8=4,故選:B.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì),掌握其相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式13】(2022·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測)如圖,將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊,使點B落在點B'處,若∠1=∠2=36°,∠B為(A.36° B.144° C.108° D.126°【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和折疊性質(zhì)得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,由折疊的性質(zhì)得:∠BAC=∠B′AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=18°∴∠B=180°∠2∠BAC=180°36°18°=126°;故選D.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理;熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),求出∠BAC的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.【變式14】(2023·吉林松原·校聯(lián)考一模)如圖,在?ABCD中,AD=10,對角線AC與BD相交于點O,AC+BD=22,則△BOC的周長為【答案】21【分析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,求出OC+OB的長,即可解決問題.【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD,BC=∵AC+BD=22,∴OC+BO=11,∵BC=10,∴△BOC的周長=OC+OB+BC=11+10=21.故答案為:21.【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長等知識,解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的對角線互相平分,屬于中考基礎(chǔ)題.【變式15】(2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖四邊形ABCD是平行四邊形,CD在x軸上,點B在y軸上,反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過第一象限點A,且平行四邊形ABCD的面積為【答案】6【分析】過點A作AE⊥CD于點E,然后平行四邊形的性質(zhì)可知△AED≌△BOC,進而可得矩形ABOE的面積與平行四邊形ABCD的面積相等,最后根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求解.【詳解】解:過點A作AE⊥CD于點E,如圖所示:∴∠AED∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC=∴∠ADE∴△AED≌△BOC(AAS),∵平行四邊形ABCD的面積為6,∴S?∴k=6故答案為6.【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)k的幾何意義,熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵.【變式16】(2023·湖南衡陽·??家荒#┤鐖D,平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4,點E為BC邊上的動點(不與B、C重合,過點E作直線AB(1)求證:△ABM(2)當(dāng)點E為BC的中點時,求DE的長;(3)設(shè)BE=x,△DEF的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)【答案】(1)證明見解析(2)DE(3)解析式為y=-625x-55【分析】(1)利用AA證明△ABM(2)過點E作EN⊥AD于點N,可得四邊形AMEN為矩形,從而得到NE=AM=4,AN=ME(3)延長FE交DC的延長線于點G.根據(jù)sin∠B=AMAB=EFBE,可得【詳解】(1)證明:∵EF⊥AB,∴∠AMB又∵∠B∴△ABM(2)解:過點E作EN⊥AD于點在平行四邊形ABCD中,AD∥又∵AM是BC邊上的高,∴AM⊥AD,∴∠AME∴四邊形AMEN為矩形,∴NE=在Rt△ABM中,又∵E為BC的中點,∴BE=∴ME=∴DN=8在Rt△DNE中,;(3)解:延長FE交DC的延長線于點G.∵sin∠∴45∴EF=∵AB∥CD,∴∠B=∠ECG,∠EGC=∠又∵∠AMB∴△ABM∴CGBM∴CG3∴GC=∴DG=∴y=12∴當(dāng)x=556時,y【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),矩形的性質(zhì),解直角三角形,熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例2】(2022·山東濟南·統(tǒng)考一模)如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,BE⊥AC,DF⊥AC,求證:AE=CF.【答案】見解析【分析】可證明△ABE≌△CDF,即可得到結(jié)論.【詳解】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AB∥CD∴∠BAC=∠DCA∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F∴∠AEB=∠DFC=90°在△ABE和△CDF中,∠BAE∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì),掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵.【變式21】(2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,過點D作DE⊥AB于點E,點F在CD邊上,(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若AF平分∠DAB,CF=3,【答案】(1)見解析(2)20【分析】(1)由在平行四邊形ABCD中,得到DF∥EB,AB=(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得AD=FD=5,【詳解】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴又∵∴∴四邊形BFDE是平行四邊形,∵∴∠∴四邊形BFDE是矩形.(2)∵AF平分∠DAB,∴∠∴∠∵∴AD∵AE=∴∴矩形BFDE的面積是:DF【點睛】本題主要考查了矩形的判定,平行四邊形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),熟練掌握這些判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.【變式22】(2021·河南駐馬店·統(tǒng)考一模)如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,?OABC的邊OC在x軸上,對角線AC,OB交于點M,函數(shù)y=kxx
(1)求k的值和點M的坐標(biāo);(2)求?OABC【答案】(1)k=12,M(6,2);(2)28【分析】(1)將點A(3,4)代入y=kx中求出k的值,作AD⊥x軸于點D,ME⊥x軸于點E,證明△MEC∽△ADC,得到MEAD=MCCA(2)根據(jù)勾股定理求出OA=5,根據(jù)點A、M的坐標(biāo)求出DE,即可得到OC的長度,由此求出答案.【詳解】(1)將點A(3,4)代入y=kx中,得∵四邊形OABC是平行四邊形,∴MA=MC,作AD⊥x軸于點D,ME⊥x軸于點E,∴ME∥AD,∴△MEC∽△ADC,∴MEAD∴ME=2,將y=2代入y=12x∴點M的坐標(biāo)為(6,2);
(2)∵A(3,4),∴OD=3,AD=4,∴OA=∵A(3,4),M(6,2),∴DE=63=3,∴CD=2DE=6,∴OC=3+6=9,∴?OABC的周長【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì),待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,求函數(shù)圖象上點的坐標(biāo),勾股定理,相似三角形的判定及性質(zhì).【變式23】(2022·重慶·重慶八中??级#┤鐖D,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,交對角線BD于點E.(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖:作∠BCD的平分線,交對角線BD于點F;(不寫作法和證明,保留作圖痕跡)(2)在(1)所作的圖形中,求證:BE=DF.(請補全下面的證明過程,除題目給的字母外,不添加其它字母或者符號)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,①__________,∴∠ABE=∠CDF∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB∴∠BAE=12∠BAD,②___________∵四邊形ABCD是平行四邊形∴③_______________∴∠BAE=∠DCF在△ABE與△CDF中∠∴△ABE≌△CDF(ASA)∴BE=DF【答案】(1)見解析(2)AB//CD,∠DCF=【分析】(1)在CB,CD上,分別截取CM,CN,使CM=CN,分別以點M,點N為圓心,大于12MN的長為半徑畫弧,在∠BCD內(nèi),兩弧交于點P,作射線CP交BD于點F(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABE=∠CDF,根據(jù)角平分線得∠BAE=12∠BAD,∠DCF=12∠BCD,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠BAD=∠BCD,即【詳解】(1)解:如圖,在CB,CD上,分別截取CM,CN,使CM=CN,分別以點M,點N為圓心,大于12MN的長為半徑畫弧,在∠BCD內(nèi),兩弧交于點P,作射線CP交BD于點F(2)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AB//∴∠ABE=∠CDF,∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB,∴∠BAE=1∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠BAD∴∠BAE=∠DCF,在△ABE與△CDF中,∠∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=DF,故答案為:AB//CD,∠DCF=1【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖,平行線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點.【變式24】(2022·山西臨汾·統(tǒng)考一模)如圖,在?ABCD中,AB>AD(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖:在AB上截取AE,使得AE=AD;作∠BCD的平分線交AB于點F.(保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)所作的圖形中,連接DE交CF于點P,猜想△CDP按角分類的類型,并證明你的結(jié)論.【答案】(1)見解析;(2)直角三角形,理由見解析【分析】(1)直接利用角平分線的作法得出符合題意的答案;(2)先證明∠ADE=∠CDE,再利用平行線的性質(zhì)“同旁內(nèi)角互補”,得出∠CPD=90°即可得出答案.【詳解】解:(1)解:如圖所示:E,F(xiàn)即為所求;(2)△CDP是直角三角形.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,AD∥BC.∴∠CDE=∠AED,∠ADC+∠BCD=180°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠CED=∠ADE=12∠ADC.∵CP平分∠BCD,∴∠DCP=12∠BCD∴∠CDE+∠DCP=90°.∴∠CPD=90°.∴△CDP是直角三角形.【點睛】本題主要考查了基本作圖以及平行四邊形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形【例3】(2022·河南鄭州·一模)如圖1,?ABCD中,AD>AB,∠ABC為銳角.要在對角線BD上找點N,M,使四邊形ANCM為平行四邊形,現(xiàn)有圖A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是【答案】A【分析】甲方案:利用對角線互相平分得證;乙方案:由△ABN≌△CDM,可得BN=再利用對角線互相平分得證;丙方案:方法同乙方案.【詳解】連接AC,BD交于點甲方案:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=∵∴ON∴四邊形ANCM為平行四邊形.乙方案:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,∴∠ABN又∵∴∠ANB∴△ABN∴BN∵∴ON∴四邊形ANCM為平行四邊形.丙方案:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AB//CD∴∠又∵AN,CM∴12∠BAD=∴△ABN≌△CDM∴BN∵∴ON∴四邊形ANCM為平行四邊形.所以甲、乙、丙三種方案都可以.故選A.【點睛】本題考查了平行四邊的性質(zhì)與判定,三角形全等的性質(zhì)和判定,角平分線的概念等知識,能正確的利用全等三角的證明得到線段相等,結(jié)合平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵.【變式31】(2023·湖南婁底·統(tǒng)考二模)在下列條件中,不能判定四邊形為平行四邊形的是()A.對角線互相平分 B.一組對邊平行且相等C.兩組對邊分別平行 D.一組對邊平行,另一組對邊相等【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別分析各選項,即可求得答案.【詳解】解:A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;故本選項能判定;B、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;故本選項能判定;C、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;故本選項能判定;D、一組對邊平行,另一組對邊相等不一定是平行四邊形;故本選項不能判定.故選:D.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定.熟記平行四邊形的判定方法是解此題的關(guān)鍵.【變式32】(2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)統(tǒng)考二模)在下列條件中,不能判定一個四邊形是平行四邊形的是()A.一組對邊平行另一組對邊相等 B.一組對邊平行且相等C.兩組對角相等 D.對角線互相平分【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐一判斷即可:①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.【詳解】解:A、一組對邊平行另一組對邊相等不能判定一個四邊形是平行四邊形,符合題意;B、一組對邊平行且相等能判定一個四邊形是平行四邊形,不符合題意;C、兩組對角相等能判定一個四邊形是平行四邊形,不符合題意;D、對角線互相平分能判定一個四邊形是平行四邊形,不符合題意;故選A.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定方法,熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵,在解題過程中要靈活運用所學(xué)知識.題型04添加一個條件使四邊形成為平行四邊形【例4】(2023·陜西西安·陜西師大附中??寄M預(yù)測)在四邊形ABCD中,∠A+∠B=180A.AB=CD B.C.AD=BC D【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定:①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,逐項判斷即可.【詳解】解:如圖,∵∠A∴AD∥補充AB=CD,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形,故補充AD∥BC,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形,故補充AD=BC,能判定四邊形ABCD為平行四邊形,故補充∠C+∠D=180°,則故選C.【點睛】此題主要考查了學(xué)生對平行四邊形的判定的掌握情況.對于判定定理:“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.”應(yīng)用時要注意必須是“一組”,而“一組對邊平行且另一組對邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形.【變式41】(2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖是嘉淇不完整的推理過程.小明為保證嘉淇的推理成立,需在四邊形ABCD中添加條件,下列正確的是(
)A.∠B+∠CC.∠A=∠B【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的5條判定定理可得到,在有一組對邊平行的情況下,只能添加另一組對邊平行或這一組對邊相等,查看選項可得到答案.【詳解】選項A中,∠B+∠C=180°,得到選項B中,AB=CD,得到AB與CD平行且相等,可證明平行四邊形,選項選項C中,∠A≠∠B選項D中,一組對邊平行,另一組對邊相等,可能為等腰梯形,不能判定平行四邊形,選項D錯誤.故選:B.【點睛】本題考查平行四邊形的判定,需要嚴(yán)格按照判定定理進行推理論證,熟悉5條平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.【變式42】(2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模)如圖,點E、F在?ABCD的對角線AC上,連接BE、DE、DF、BF,請?zhí)砑右粋€條件使四邊形BEDF是平行四邊形,那么需要添加的條件是【答案】AF=【分析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,即可求解.【詳解】解:添加:AF=連接BD交AC于點O,如圖,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO,BO=DO,∵AF=∴OE=OF,∴四邊形BEDF是平行四邊形.故答案為:AF=【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì),熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.題型05數(shù)平行四邊形個數(shù)【例5】(2020·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖,由25個點構(gòu)成的5×5的正方形點陣中,橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位.定義:由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形.圖中以A,B為頂點,面積為4的陣點平行四邊形的個數(shù)為(
)A.6個 B.7個 C.9個 D.11個【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定,兩組對邊必須平行,可以得出上下各兩個平行四邊形符合要求,以及特殊四邊形矩形與正方形即可得出答案.【詳解】解:根據(jù)題意得:一共11個面積為4的陣點平行四邊形.故選:D.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定,根據(jù)平行四邊形的判定得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵.【變式51】(2019·湖北黃石·校聯(lián)考一模)如圖,已知平行四邊形ABCD的對角線的交點是O,直線EF過O點,且平行于AD,直線GH過O點且平行于AB,則圖中平行四邊形共有(
)A.15個 B.16個 C.17個 D.18個【答案】D【分析】根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,根據(jù)圖形寫出所有的平行四邊形即可得解.【詳解】解:平行四邊形有:?AEOG,?AEFD,?ABHG,?GOFD,?GHCD,?EBHO,?EBCF,?OHCF,?ABCD,?EHFG,?AEHO,?AOFG,?EODG,?BHFO,?HCOE,?OHFD,?OCFG,?BOGE.共18個.故選D.【點睛】本題考查平行四邊形的判定,準(zhǔn)確識別復(fù)雜圖形是解題的關(guān)鍵,寫出平行四邊形時要按照一定的順序,這樣方能做到不重不漏.題型06求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)【例6】(2021·河南商丘·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A1,0,B-1,3,C-2,-1,找一點D,使得以點A、B、C、DA.2,4 B.-4,2 C.0,-4 D.【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)畫出圖形進行分析即可解決問題,得出滿足條件的點D有三個.【詳解】解:如圖所示:觀察圖象可知,滿足條件的點D有三個,坐標(biāo)分別為(2,4)或(4,2)或(0,4),∴點D的坐標(biāo)不可能是(3,2).故選:D.【點睛】本題考查平行四邊形的判定以及平面直角坐標(biāo)系與圖形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形,利用圖象法解決問題.【變式61】(2020·浙江杭州·模擬預(yù)測)如圖,A、B、C為一個平行四邊形的三個頂點,且(1)請直接寫出這個平行四邊形第四個頂點的坐標(biāo);(2)在△ABC中,求出AB【答案】(1)(7,7)或(5,1)或(1,5);(2)4【分析】(1)分以BC、AC和AB為對角線三種情況進行討論,即可得出第四個點的坐標(biāo).(2)先利用間接的方法求出ΔABC的面積,再利用勾股定理求出AB的長,又SΔABC=12×【詳解】解:(1)BC為對角線時,第四個點坐標(biāo)為(7,7);AB為對角線時,第四個點為(5,1);當(dāng)AC為對角線時,第四個點坐標(biāo)為(1,5).(2)∵SAB=∴h=4×2÷【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是要分情況討論,難易程度適中.題型07證明四邊形是平行四邊形【例7】(2022·福建莆田·統(tǒng)考一模)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE⊥AC,DF⊥
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