2020高考數(shù)學(xué)新課改省份專用講義第二章第七節(jié)函數(shù)與方程

第七節(jié)函數(shù)與方程突破點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒]函數(shù)零點(diǎn)的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的實(shí)根．(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件．2．二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)零點(diǎn)個(gè)數(shù)_2__1__0_eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．()(2)函數(shù)y＝f(x)，x∈D在區(qū)間(a，b)?D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)．()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空題1．若函數(shù)f(x)＝ax－b有一個(gè)零點(diǎn)是3，那么函數(shù)g(x)＝bx2＋3ax的零點(diǎn)是________．解析：∵函數(shù)f(x)＝ax－b的零點(diǎn)是3，∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函數(shù)g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－12．函數(shù)f(x)＝ex＋eq\f(1,2)x－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：∵f′(x)＝ex＋eq\f(1,2)>0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－eq\f(3,2)>0，∴函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有零點(diǎn)且只有一個(gè)．答案：13．若函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝1在(－1,1)上沒(méi)有零點(diǎn)，所以a≠0.所以函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，要滿足題意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得eq\f(1,3)<a<1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))eq\a\vs4\al([全析考法])考法一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷[例1](2019·河南階段性測(cè)試)函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[解析]法一：(利用零點(diǎn)存在性定理)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是增函數(shù)，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)上，故選C.法二：(數(shù)形結(jié)合)函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點(diǎn)所在區(qū)間轉(zhuǎn)化為g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在范圍．如圖所示，可知f(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)．[答案]C[方法技巧]判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)所在區(qū)間的方法解方程法當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上定理法利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷考法二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷[例2](1)(2019·南昌模擬)函數(shù)f(x)＝x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3(2)(2019·保定模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x＋1|，x∈－1，3，,\f(4,x－1)，x∈[3，＋∞，))則函數(shù)g(x)＝f[f(x)]－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1 B．3C．4 D．6[解析](1)法一：(定理法)∵f(0)＝－1，f(1)＝eq\f(1,2)，∴f(0)f(1)<0，故函數(shù)f(x)在(0,1)上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又∵f(x)為增函數(shù)，∴f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.法二：(圖象法)令f(x)＝0，得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，在平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y＝x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象(圖略)，可得交點(diǎn)只有一個(gè)，∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有1個(gè)，故選B.(2)函數(shù)g(x)＝f[f(x)]－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f[f(x)]＝1在(－1，＋∞)上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，令f(x)＝1得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝1，x3＝5，作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．由圖象可知f(x)＝－eq\f(1,2)無(wú)解，f(x)＝1有3個(gè)解，f(x)＝5有1個(gè)解．綜上所述，函數(shù)g(x)＝f[f(x)]－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，故選C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法直接法即直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)定理法即利用零點(diǎn)存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)圖象法即利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個(gè)函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)法即利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])函數(shù)f(x)＝ln(2x)－1的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A．(2,3) B．(3,4)C．(0,1) D．(1,2)解析：選Df(x)＝ln(2x)－1是(0，＋∞)上的增函數(shù)，并且是連續(xù)函數(shù)，且f(1)＝ln2－1<0，f(2)＝ln4－1>0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1,2)內(nèi)．故選D.2.eq\a\vs4\al([考法一])方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝x的解所在的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))解析：選B令函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－x，易知函數(shù)f(x)為[0，＋∞)上的減函數(shù)．又f(0)＝1>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).即方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝x的解所在的區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).故選B.3.eq\a\vs4\al([考法二])已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x＋2x－4，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(2)<0，所以當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)也有1個(gè)零點(diǎn)．因此函數(shù)f(x)一共有3個(gè)零點(diǎn)．故選B.突破點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題由于函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，如比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等，都可以將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決．此類問(wèn)題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決．eq\a\vs4\al([典例感悟])1．(2019·六安一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x≥2.))方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(1,3) B．(0,3)C．(0,2) D．(0,1)解析：選D畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖．由方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知函數(shù)y＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象易知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)，故選D.2．(2019·鄭州一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]解析：選A當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)≤f(0)＝1－a；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，且f(x)>－a.∵f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≥0，,－a<0，))解得0<a≤1.eq\a\vs4\al([方法技巧])由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍分離參數(shù)法先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決數(shù)形結(jié)合法先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解eq\a\vs4\al([針對(duì)訓(xùn)練])1．函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1在區(qū)間(－1,1)和區(qū)間(1,2)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－3,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,4))) D．(－∞，－3)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))解析：選B根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1在區(qū)間(－1,1)和區(qū)間(1,2)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1f1<0，,f1f2<0，))解得eq\f(3,4)<a<1，故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－\f(9,4)，x≤0，,x－2，x>0.))若方程f(x)＝a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,4)))∪[－2，＋∞)B．(－2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,4)))∪(－