2023年《雙曲線的幾何性質(2)》教學設計

高中數(shù)學精編資源3/3《雙曲線的幾何性質(2)》教學設計必備知識學科能力學科素養(yǎng)高考考向1.雙曲線及其標準方程學習理解能力觀察記憶概括理解說明論證應用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學運算【考查內容】1.根據(jù)幾何條件求出雙曲線的方程2.進一步掌握雙曲線的方程及其性質的應用3.運用雙曲線的方程與性質解決綜合問題【考查題型】填空題、選擇題、解答題為主2.雙曲線的幾何性質(1)數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模3.雙曲線的幾何性質(1)數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模一、本節(jié)內容分析本節(jié)對雙曲線的教學,是在學生對于橢圓基本知識和研究方法已經熟悉基礎上進行的,所以講解時應采用類比的方法讓學生以自主研究、合作交流等方式得出雙曲線的定義、標準方程,最后反思應用.雙曲線的定義與橢圓的定義很相似,但不容易掌握而又非常重要,學習時要注意和橢圓的聯(lián)系與區(qū)別,為深刻體會圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準備,又可對學生進行運動、變化、聯(lián)系、對立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育.本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.雙曲線及其標準方程2.雙曲線的幾何性質(1)3.雙曲線的幾何性質(2)直觀想象數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學運算數(shù)學建模核心素養(yǎng)二、學情整體分析學生已掌握了一些雙曲線圖形的實物與實例,對曲線和方程的概念有了一些了解,對用坐標法研究幾何問題有了初步的認識通過橢圓的學習,學生已經對圓錐曲線有所了解,對探索圓錐曲線的方法基本掌握.通過類比的方法探究雙曲線及其標準方程,學生比較熟悉通過探究、操作,歸納得出雙曲線的定義,以及根據(jù)條件列出等式并化簡整理得到雙曲線的標準方程,同時對雙曲線幾何性質的探究學生皆可以類比橢圓的學習過程來完成.學情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學活動準備【任務專題設計】1.雙曲線及其標準方程2.雙曲線的幾何性質(1)3.雙曲線的幾何性質(2)【教學目標設計】1.理解雙曲線的定義,掌握雙曲線的標準方程及其幾何性質2.運用雙曲線標準方程解決相關問題.【教學策略設計】本節(jié)課內容為推導雙曲線標準方程、研究雙曲線的性質,這部分內容類似于橢圓的學習,教學中可以與其類比講解,讓學生自己進行探究,得到類似的結論.在教學中,學生自己能得到的結論應該讓學生自己得到,凡是難度不大,經過學習,學生自己能解決的問題,應該讓學生自己解決,這樣有利于調動學生學習的積極性,同時也有利于學生建立信心,使他們的主動性得到充分發(fā)揮,從中提高學生的數(shù)學思維和解決問題的能力.【教學方法建議】情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________【教學重點難點】重點1.理解和掌握雙曲線的定義、標準方程及其求法.2.掌握雙曲線的幾何性質.難點1.推導雙曲線的標準方程.2.雙曲線方程的簡單應用.【教學材料準備】1.常規(guī)材料:直尺、多媒體課件、_________________________________________2.其他材料_____________________________________________________________四、教學活動設計(課時建議:1課時)教學導入師:本節(jié)課我們將繼續(xù)學習利用雙曲線的幾何性質解決雙曲線有關的問題.首先我們對已經學習過的橢圓和雙曲線的標準方程、圖形和性質進行對比總結,請?zhí)畋?類型橢圓雙曲線標準方程(a>b>0)(a>b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)圖形頂點坐標(±a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)(±a,0)(0,±a)對稱軸x軸、y軸焦點坐標(±c,0)(0,±c)(±c,0)(0,±c)對稱中心(0,0)a,b,c的關系a2=b2+c2(a>b>0,a>c>0)c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)離心率且0<e<1且e>1漸近線方程不存在【設計意圖】通過填表,對兩種圓錐曲線進行對比總結,不僅使學生加深了對雙曲線定義和標準方程的理解,而且有助于本節(jié)教學目標的實現(xiàn).師:前面學習雙曲線定義時,我們進行過求雙曲線標準方程的練習.在學習完雙曲線的簡單幾何性質之后,我們再來看一組求標準方程的問題.【典型例題】由雙曲線的幾何性質確定標準方程例1根據(jù)下列條件,分別求出雙曲線的標準方程:(1)過點P(3,?),離心率e=;(2)與雙曲線有共同的漸近線,且過點(?3,2);(3)經過P(?2,)和(,4)兩點.【簡單問題解決能力】在例1中,三個問題的焦點位置不明確,應先討論焦點位置,再根據(jù)已知條件求解.對于(2)也可以根據(jù)漸近線方程設雙曲線的方程求解,對于(3)也可以設雙曲線的一般式方程,省去分類討論.通過例1提升簡單問題解決能力.【師生互動,學生積極思考,獨立完成】生解:(1)依題意,雙曲線的焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,分別討論如下:①若雙曲線的焦點在x軸上,設雙曲線的標準方程為(a>0,b>0).由e=,得.①由點P(3,)在雙曲線上,得.②又a2+b2=c2,結合①②,得a2=1,b2=.∴雙曲線的標準方程為.②若雙曲線的焦點在y軸上,設雙曲線的標準方程為(a>0,b>0).同理有,由點P(3,-)在雙曲線上,得,解得b2=?(不合題意,舍去).故雙曲線的焦點只能在x軸上,∴所求雙曲線的標準方程為.【推測解釋能力】通過例1,掌握根據(jù)雙曲線的基本幾何性質求標準方程的思路,提升學生數(shù)形結合及方程思想和推測解釋能力.師:求雙曲線標準方程時,一定要先區(qū)別焦點在哪個軸上,如果不確定要進行分類討論.【少教精教】解決問題的過程中,教師提示解題思路,學生動手實踐,在解決問題的過程中通過少教精教增長對知識的掌握運用能力.生解:(2)(方法一)由題意可知,雙曲線的漸近線方程為y=±x.①當所求雙曲線的焦點在x軸上時,設雙曲線的標準方程為(a>0,b>0),由題意,得解得a2=,b2=4.雙曲線的標準方程為.②當所求雙曲線的焦點在y軸上時,設雙曲線的標準方程為(a>0,b>0),由題意可得此方程組無解,∴所求雙曲線的標準方程為.【分析計算能力】同一個題目有不同的解法,從中選擇簡捷、自然的解題思路.培養(yǎng)學生分析計算能力及良好的解題習慣.師:因為不確定焦點在哪個軸上,所以進行了分類討論,接下來我們換一個角度解決問題,看看是否可以避免分類討論解決問題,不難發(fā)現(xiàn)(λ≠0)是一類雙曲線,其漸近線方程是相同的,都是,那就可以設雙曲線方程為(λ≠0),再加一個條件就能求出雙曲線方程了.師解:(2)(方法二)∵所求雙曲線與雙曲線有共同的漸近線,∴設所求雙曲線的方程為(λ≠0).將點(?3,2)代入,得(λ≠0),即λ=,∴雙曲線的標準方程為,即為.【深度學習】通過典型例題,掌握雙曲線的基本幾何性質及其簡單運用,掌握利用雙曲線的幾何性質求標準方程的思路.生解:(3)①當雙曲線的焦點在x軸上時,設雙曲線的標準方程為(a>0,b>0).∵點P1(?2,),(,4)在雙曲線上,∴解得(不合題意,舍去).②當雙曲線的焦點在y軸上時,設雙曲線的標準方程為(a>0,b>0).將點P1,P2的坐標代入上式得解得即a2=9,b2=16.∴所求雙曲線的標準方程為.師:第(3)題也是因為不確定焦點在哪個軸上,所以進行了分類討論,如果我們換一個角度思考,如何設方程可以避免分類討論.師解:(3)(方法二)∵雙曲線的焦點位置不確定,∴設雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn<0),將點P1和P2的坐標分別代入該方程,則解得∴所求雙曲線的標準方程為.師:通過例1題,你能總結出求雙曲線標準方程的方法和步驟嗎？【學生總結,教師補充后進行多媒體展示】【以學定教】利用兩種方法求雙曲線的標準方程,讓學生比較兩種方法的不同之處,從而引出雙曲線的一般式方程,讓學生體會一般式簡化解題步驟和省去討論的優(yōu)越性.【方法策略】求雙曲線標準方程的方法與步驟1.求雙曲線標準方程的兩個關鍵點2.用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的四個步驟(1)定位置:根據(jù)條件確定雙曲線的焦點在哪條坐標軸上,還是有兩種可能.(2)設方程:根據(jù)焦點位里,設其方程為或(a>0,b>0),焦點位置不定時,亦可設為mx2+y2=1(mn<0).(3)尋關系:根據(jù)已知條件列出關于a,b,c(m,n)的方程組.(4)得方程:解方程組,將a,b(m,n)代入所設方程即可得(求)標準方程.3.利用漸近線與雙曲線的位置關系,設有公共漸近線的雙曲線方程為(λ≠0),這樣可避免分類討論,從而減少運算量,提高解題速度與準確性.【概括理解能力】通過典例解析,歸納基本題型,幫助學生形成基本解題思路,進一步體會數(shù)形結合的思想方法和求雙曲線標準方程的不同方法,提升概括理解能力.探究2求雙曲線的離心率師:接下來,我們來求雙曲線的離心率.【典型例題】求雙曲線的離心率例2已知雙曲線C的頂點為A1,A2,虛軸的一個端點為B,且△BA1A2是一個等邊三角形,求雙曲線C的離心率.【分析計算能力】通過例2,掌握求雙曲線離心率的方法,進一步體會方程和數(shù)形結合的思想方法在解析幾何中的應用,在解決例2的過程中提升分析計算能力.【教師提示思路,同學們積極思考,獨立完成】師:求離心率的突破點就是通過已知條件結合雙曲線的幾何性質,建立a,b,c的等式關系來求解比值.生解:設O為坐標原點,則|AO|=|A2O|=a,|BO|=b,因為△BA1A2是等邊三角形,所以b=a,所以c2=a2+b2=a2+(3a)2=4a2,所以c=2a,從而e==2.師:下面進行鞏固練習.【鞏固練習】求雙曲線的離心率已知A,B為雙曲線C的左、右頂點,點M在C上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,求C的離心率.【深度學習】在焦點三角形中求解雙曲線的離心率.考查了學生對雙曲線的定義和離心率公式的深度理解和運用情況.【同學們積極思考,獨立完成,教師進地個別指導】生解:設雙曲線C的方程為(a>0,b>0).如圖所示,過點M作MN⊥x軸,垂足為N,在Rt△BMN中,因為|AB|=|BM|,∠ABM=120°,所以|BN|=a,|MN|=a,故點M的坐標為M(2a,a),代入雙曲線方程得a2=b2,所以e=.師:下面我們總結一下求雙曲線離心率(取值范圍)的方法與技巧.【以學定教】通過例題總結求雙曲線離心率的常規(guī)方法和技巧,升華雙曲線幾何性質的靈活應用,提高學生的學習效果.【方法策略】求雙曲線離心率(取值范圍)的方法與技巧1.求雙曲線離心率的常見方法(1)依據(jù)條件求出求出a,c,再計算e=;(2)依據(jù)條件建立參數(shù)a,b,c的關系式,一種方法是消去b轉化成離心率e的方程求解;另一種方法是消去c轉化成含的方程,求出后,利用求離心率.2.求離心率的取值范圍一般是根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,通過解不等式得或的范圍,再求得離心率的取值范圍.探究3求雙曲線的漸近線師:下面是一道關于雙曲線漸近線的例題.【典型例題】求雙曲線的漸近線例3如圖,已知F1,F2,為雙曲線(a>0,b>0)的焦點,過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P,且∠PF1F2=30°,求雙曲線的漸近線方程.【發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力】學生經歷觀察,類比解決雙曲線離心率問題的方法,尋找求漸近線的方法,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋求方法,總結結論的思維路線,經歷知識形成的全過程,使學生真正理解自己總結出來的知識,從而達到形成技能的目的.提升發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力.【教師點撥思路,學生獨立完成,教師予以肯定】師:可根據(jù)Rt△PF2F1中的邊角關系及雙曲線的定義得a,b的關系,進而求得漸近線方程.生解:設F2(c,0)(c>0),P(c,y0),則,解得.∴.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,則|PF1|=2|PF2|.①由雙曲線的定義,得|PF1|?|PF2|=2a.②由①②,得|PF2|=2a.∵|PF2|=,∴2a=,即b2=2a2.∴.∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.師:下面鞏固練習一下.【意義學習】通過解決例3,得到尋求a和b之間的關系是求解漸近線方程的思路.學生在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋找解決問題的方法.【鞏固練習】求雙曲線的漸近線已知雙曲線C的對稱軸與坐標軸重合,兩個焦點分別為F1,F2,虛軸的一個端點為A,若△AF1F2是頂角為120°的等腰三角形.求雙曲線C的漸近線方程.【分析計算能力】通過鞏固練習,掌握求漸近線的方法,發(fā)現(xiàn)與求離心率是同一個思路,進一步體會方程和數(shù)形結合的思想方法.提升分析計算能力.【學生獨立完成,教師進行個別指導,并進行點評總結】生解:由題意可知,分雙曲線焦點在x軸、y軸上兩種情況求解,如圖(1)(2)所示.若△AF1F2是頂點為120°的等腰三角形,可得,所以,即a2+b2=3b2,a2=2b2,解得或.所以雙曲線的漸近線方程為y=±x或y=±x.師:下面我們總結一下與雙曲線漸近線有關的問題及解決方法.【概括理解能力】總結歸納,把方法系統(tǒng)化,形成數(shù)學能力.啟發(fā)引導學生進行歸納整理,培養(yǎng)學生概括理解能力.【方法策略】與雙曲線漸近線有關的問題及解決方法1.雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,兩者容易記混,可將雙曲線方程中的“1”換成“0”,然后因式分解即得漸近線方程.2.若已知漸近線方程為mx±ny=0,求雙曲線方程,雙曲線的焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,可用下面的方法來解決.(1)分兩種情況設出方程進行討論.(2)依據(jù)漸近線方程,設出雙曲線方程m2x2?n2y2=λ(λ≠0),求出λ即可.這樣可以避免討論.3.有共同漸近線的雙曲線的方程.與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設為(λ≠0).若λ>0,則實軸在x軸上;若λ<0,則實軸在y軸上,再依據(jù)題設條件可確定λ.探究4雙曲線中的最值問題師:在雙曲線的幾何性質中,涉及了一些不等關系,如雙曲線上點的坐標的取值范圍、離心率的取值范圍等,經常被用來處理與雙曲線相關的范圍和最值問題.如求雙曲線上一點到焦點的最短距離,可以考慮結合雙曲線上點的坐標的取值范圍來處理.【綜合問題解決能力】解決與雙曲線有關的不等關系,就是雙曲線的幾何性質的綜合應用,讓學生體會解題的本質,降低思維難度.提高自我獲取知識和解決綜合問題的能力.【典型例題】雙曲線中的最值問題例4已知雙曲線(a>0,b>0)的左焦點為F,且P是雙曲線上的一點,求|PF|的最小值.生解:記雙曲線的焦距為2c,則F(?c,0),而且c=.設P(x,y),則|PF|2=(x+c)2+y2,又因為P是雙曲線上一點,所以,則y2=?b2+,因此|PF|2==.注意到x≤?a或x≥a,而且0>=>?a,所以,當x=?a時,|PF|2最小,且最小值為.【自主學習】學生自主解決雙曲線上的點到焦點的距離問題,鍛煉了學習的主觀能動性.師:從這個例題說明,雙曲線上的所有點中,到給定焦點距離最小的點,是離該焦點距離最近的實軸的端點.師:好的,同學們回憶一下,本節(jié)課的重點概念.生:本節(jié)課對雙曲線的幾何性質進行了進一步的應用,對求標準方程、離心率、漸近線以及最值問題進行了練習,對雙曲線性質進行了很好的鞏固.師:非常好！也請同學們在處理雙曲線問題時,注意以下幾點.【設計意圖】教師引導學生進行課后小結,使得學生再認識了本節(jié)課所學知識點,加深學生記憶,促進對雙曲線的定義、標準方程和幾何性質的理解與應用,培養(yǎng)了學生的歸納總結能力.【課堂小結】雙曲線的幾何性質(2)1.如果涉及雙曲線兩焦點距離時,可以考慮雙曲線的定義.2.要注意焦點的位置帶來的影響.3.求雙曲線的標準方程時,要注意待定系數(shù)法的使用.4.離心率是比值,在求解時注意關于a,b,c的關系式.5.已知雙曲線的漸近線方程,可以使用(λ≠0)來求解雙曲線的標準方程.教學評價雙曲線是三種圓錐曲線中最復雜的一種,我們是先學習橢圓,再學習雙曲線,這充分考慮了緊密聯(lián)系知識體系和由易到難的教學要求,符合學生的學習規(guī)律,前面有橢圓知識及學習方法的鋪墊,后面有拋物線學習的綜合加強,有利于學生掌握和鞏固.應用所學知識,完成下面各題:1.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)以橢圓長軸的端點為焦點,且經過點(3,);(2)a=b,經過點(3,?1);(3)過點P(3,?),離心率為;(4)與橢圓有公共焦點,且離心率.【設計意圖】學生在掌握雙曲線的定義及標準方程之后,反過來利用雙曲線的標準方程研究其幾何性質.靈活運用雙曲線的定義、方程、性質、體會解析幾何這門學科的研究方法,培養(yǎng)學生的解析幾何觀念,提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).解析:本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程,首先根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點的位置然后設定方程,最后尋找a,b的關系并求解其中,與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可設為.(1)由題意得,雙曲線的焦點在x軸上,且c=2.設雙曲線的標準方程為.則有,將點(3,)代入方程得,解得.故所求雙曲線的標準方程為.(2)當焦點在x軸上時,可設雙曲線的方程為x2?y2=a2,將點(3,?1)代入,得32?(?1)2=a2,所以a2=62=8.故所求的雙曲線的標準方程為.當焦點在y軸上時,可設雙曲線的方程為,將點(3,?1)代入,得(?1)2?32=a2,a2=?8(舍去),所以焦點不可能在y軸上.綜上,雙曲線的標準方程為.【分析計算能力】從基礎入手,通過評價練習,使學生更好地理解雙曲線標準方程的兩種形式,以及各個量之間的關系,掌握求雙曲線標準方程的方法.培養(yǎng)分析計算能力.(3)若雙曲線的焦點在x軸上,設其方程為,∵e=,∴,即a2=b2.①又雙曲線過P(3,?),∴,②由①②得a2=b2=4,故雙曲線方程為.若雙曲線的焦點在y軸上,設其方程為,同理有a2=b2,③,④由③④得a2=b2=?4(舍去).綜上,雙曲線的標準方程為.【簡單問題解決能力】通過設計不同層次的習題,讓學生能夠理解并運用雙曲線的幾何性質,解決簡單的雙曲線問題;也讓學有余力的學生有所提高,從而達到激發(fā)學生學習興趣的目的.培養(yǎng)簡單問題解決能力.(4)由橢圓方程知,,所以橢圓的焦點是F1(?,0),F2(,0).因此雙曲線的焦點為(?,0),(,0).設雙曲線的標準方程為,由已知條件,有,解得所以所求雙曲線的標準方程為.2.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農場,如圖所示,在△PEF中,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=?2,試建立適當直角坐標系,求出分別以E,F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程.【簡單問題解決能力】通過雙曲線實際應用的練習,幫助學生形成基本解題思路,進一步體會數(shù)形結合的思想方法和利用雙曲線的定義解決實際問題的基本步驟.發(fā)展學生簡單問題的解決能力,提升數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).解析:本題主要利用特定系數(shù)法求解雙曲線的標準方程.以EF所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,如圖.設以E,P為焦點目過點P的雙曲線方程為,焦點為E(?c,0),F(c,0).由tan∠PEF=,tan∠EFP=?2,設∠PFx=α