(?？碱})人教版初中數(shù)學八年級數(shù)學上冊第三單元《軸對稱》測試卷

一、選擇題1．若，是等腰的兩邊長，且滿足，此三角形的周長是（）A．13 B．13或17 C．17 D．202．以下尺規(guī)作圖中，點為線段邊上一點，一定能得到線段的是（）A． B．C． D．3．如圖，已知中，點是射線上的兩個動點(點在點的右側(cè))．且連結(jié)，若，．則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是（）A． B．C． D．4．如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點和，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，并延長交于點，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①是的平分線；②；③點在的垂直平分線上﹔④若，則點到的距離是，A． B． C． D．5．如圖，等邊的頂點，，規(guī)定把等邊“先沿軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2021次變換后，頂點C的坐標為（）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法：①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③7．如圖，在△ABC紙片中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則△ADE的周長為是（）A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm8．下列推理中，不能判斷是等邊三角形的是（）A． B．C． D．，且9．如圖，C是線段AB上的一點，和都是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，則①；②；③；④；⑤是等邊三角形．其中，正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個10．如圖，是一個3×4的網(wǎng)格（由12個小正方形組成，虛線交點稱之格點）圖中有一個三角形，三個頂點都在格點上，在網(wǎng)格中可以畫出（）個與此三角形關(guān)于某直線對稱的格點三角形．A．6 B．7 C．8 D．911．如圖，，，則有（）A．與互相垂直平分 B．垂直平分C．平分 D．垂直平分12．如圖，在等腰中，，垂直平分線交于點，交于點，的垂直平分線交于點，交于點，連接，，則（）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，已知，點在邊上，，點在邊上，，若則的長是__________．14．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交點于，且，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，…，按此規(guī)律進行下去，則點的橫坐標是______．15．如圖，中，，點D在線段上（不與點重合）．作法如下：①連接，作的垂直平分線分別交直線于點，連接，則；②過點D作的平行線交于點P，在線段上截取，使，連接，則；③過點D作的平行線交于點P，過點D作的平行線交于點Q，連接，則；④過點D作的平行線交于點Q，在直線上取一點P，連接，使，連接，則．以上說法一定成立的是__________．（填寫正確的序號）16．如圖，在中，D是上一點，，則________°．17．如圖在鈍角△ABC中，已知∠BAC=135°，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，連接AD、AE，則∠DAE=_____18．如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是_____________．19．如圖，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，點M為OB上一定點，P為OC上的一動點，N為OB上一動點，當PM＋PN最小時，則∠PMO的度數(shù)為___________．20．如圖，在等邊三角形中，平分交于點M．（1）的大小=__________（度）；（2）的大小=__________（度）；（3）已知，點D為射線上一點，作∠DCE=，，連接交射線于點F，連接，當以B，D，M為頂點的三角形與全等時，線段的長為__________．三、解答題21．如圖，，點在邊上，和相交于點．（1）求證：（2）若，求的度數(shù)．22．如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF．求證：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．23．如圖：已知中：（1）尺規(guī)作圖：過點作（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：是的一個外角角平分線．24．已知是等邊三角形，點D是的中點，點P在射線上，點Q在線段上，．（1）如圖1，若點Q與點B重合，求證：；（2）如圖2，若點P在線段上，，求的值．25．已知：，點在直線上，位置如圖所示，且．（1）求證：；（2）若平分，求證：垂直平分線段．26．（1）如圖①，已知：在中，，，直線經(jīng)過點，直線，直線，垂足分別為點、．求證：．（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，、是、、三點所在直線上的兩動點（、、三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接、，若，試判斷的形狀．（不需要說明理由）【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【分析】根據(jù)絕對值非負性的性質(zhì)以及平方的非負性可知a和b的值，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況計算即可；【詳解】∵，∴a=3，b=7，若腰為3時，3+3＜7，三角形不成立；若腰為7時，則周長為7+7+3=17，故選：C．【點睛】本題考查了非負性的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵；．2．D解析：D【分析】點D到點A、點B的距離相等可知點D在線段AB的垂直平分線上，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點D到點A、點B的距離AD=BD，∴點D在線段AB的垂直平分線上，故選擇：D．【點睛】本題主要考查作圖?復雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段中垂線的性質(zhì)與尺規(guī)作圖．3．B解析：B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE和∠D=∠DCE=y+∠BCE，由三角形的外角性質(zhì)得出∠ABC=∠D+∠BCD，即x+∠BCE=y+∠BCE+y，即x=2y，得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：∵，，∴∠ACB=∠ABC=x+∠BCE，∵，∴∠D=∠DCE=y+∠BCE，∵∠ABC是△BCD的一個外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD，即x+∠BCE=y+∠BCE+y，即x=2y，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角和．熟練掌握并運用各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．B解析：B【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠BAC=60°，再利用基本作圖對①進行判斷；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，則可對②進行判斷；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可對③進行判斷．利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式即可得出兩個三角形的面積之比．【詳解】解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正確；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=×60°=30°，∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正確；∵∠B=∠BAD，∴DA=DB，∴點D在AB的垂直平分線上，所以③正確；在直角△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，．∴，∴，故④錯誤．所以，正確的結(jié)論有3個故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖-基本作圖．解題時需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．5．D解析：D【分析】先求出點C坐標，第一次變換，根據(jù)軸對稱判斷出點C變換后在x軸下方然后求出點C縱坐標，再根據(jù)平移的距離求出點C變換后的橫坐標，最后寫出第一次變換后點C坐標，同理可以求出第二次變換后點C坐標，以此類推可求出第n次變化后點C坐標．【詳解】∵△ABC是等邊三角形AB=3-1=2∴點C到x軸的距離為1+，橫坐標為2∴C(2，)由題意可得:第1次變換后點C的坐標變?yōu)?2-1，)，即(1，)，第2次變換后點C的坐標變?yōu)?2-2，)，即(0，)第3次變換后點C的坐標變?yōu)?2-3，)，即(-1，)第n次變換后點C的坐標變?yōu)?2-n，)(n為奇數(shù))或(2-n，)(n為偶數(shù))，∴連續(xù)經(jīng)過2021次變換后，等邊的頂點的坐標為(-2019，)，故選：D．【點睛】本題考查了利用軸對稱變換（即翻折）和平移的特點求解點的坐標，在求解過程中找到規(guī)律是關(guān)鍵．6．B解析：B【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根據(jù)角平分線定義即可判斷③；根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．【詳解】∵BE是中線，∴AE＝CE，∴△ABE的面積＝△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD為高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正確；∵AD為高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；根據(jù)已知條件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，屬于中考題型．7．B解析：B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：DE=CD，BE=BC=5cm，求出AE=4cm，根據(jù)△ADE的周長為AD+DE+AE=AC+AE代入數(shù)值計算即可得解．【詳解】由折疊得：DE=CD，BE=BC=5cm，∵AB=9cm，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm，∴△ADE的周長為AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm，故選：B．【點睛】此題考查折疊的性質(zhì)：折疊前后對應(yīng)邊相等，正確理解折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．D解析：D【分析】根據(jù)等邊三角形的定義、判定定理以及三角形內(nèi)角和定理進行判斷．【詳解】A、由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意；B、由“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意；C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，則由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意；D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題．（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．9．C解析：C【分析】易證△ACE≌△DCB，可得①正確；即可求得∠AOB＝120°，可得③錯誤；再證明△ACM≌△DCN，可得②④正確和CM＝CN，即可證明⑤正確；即可解題．【詳解】解：∵和都是等邊三角形∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正確；∠CBD＝∠AEC，∵∠AOB＝180°?∠OAB?∠DBC，∴∠AOB＝180°?∠AEC?∠OAB＝120°，③錯誤；在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，④正確；∠AMC＝∠DNC，②正確；CM＝CN，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠MCN＝180°-∠ACD-∠BCE=60°，∴△CMN是等邊三角形，⑤正確；故有①②④⑤正確．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解題的關(guān)鍵．10．B解析：B【分析】先確定對稱軸，再找到對稱點進而可以找到符合題意的對稱三角形即可．【詳解】解：如圖，左右對稱的有4個，如圖，上下對稱的有1個，如圖，關(guān)于正方形的對角線對稱的有2個，∴一共有7個與原三角形關(guān)于某直線對稱的格點三角形，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，找到正確的對稱軸，畫出相應(yīng)的對稱三角形是解決本題的關(guān)鍵．11．D解析：D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理解答．【詳解】∵，，∴垂直平分CD，故D正確，A、B錯誤，OC不平分∠ACB，故C錯誤，故選：D．【點睛】此題考查線段垂直平分線的判定：到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．12．C解析：C【分析】根據(jù)等腰，，得到AB=CB，∠A=∠C=，由DE垂直平分AB，求得∠ABE=，同理：，根據(jù)∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC計算得出答案．【詳解】在等腰中，，∴AB=CB，∠A=∠C=，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=，同理：，∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=，故選：C．【點睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．5【分析】作PH⊥MN于H如圖根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°則根據(jù)在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得MH=NH=MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，則根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OH=OP=5，然后計算OH-MH即可．【詳解】作PH⊥MN于H，如圖，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案為：3.5．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．14．5【分析】過A1作A1A⊥OB1于A過A2作A2B⊥A1B2于B過A3作A3C⊥A2B3于C根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)分別求得A1的橫坐標為A2的橫坐標為A3的橫坐標為進而解析：5【分析】過A1作A1A⊥OB1于A，過A2作A2B⊥A1B2于B，過A3作A3C⊥A2B3于C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，分別求得A1的橫坐標為，，A2的橫坐標為，A3的橫坐標為，進而得到An的橫坐標為，據(jù)此可得點A6的橫坐標．【詳解】解：如圖所示,過A1作A1A⊥OB1于A,則OA=OB1=，即A1的橫坐標為=，∵°，∴∠OB1D=30°，∵A1B2//x軸，∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，過A2作A2B⊥A1B2于B,則A1B=A1B2=1，即A2的橫坐標為+1=，過A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=A2B3=2，即A3的橫坐標為+1+2=，同理可得,A4的橫坐標為+1+2+4=，由此可得,An的橫坐標為，∴點A6的橫坐標是，故答案為．【點睛】本題是一道找規(guī)律問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵要利用等邊三角形的性質(zhì)總結(jié)出關(guān)于點A的系列點的規(guī)律．15．①②③【分析】根據(jù)題意畫出圖形再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定可以得證【詳解】解：①如圖∵PQ為AD的垂直平分線∴PA=PDQA=QD∴在△APQ和△DPQ中∴△APQ≌△DPQ解析：①②③【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定可以得證．【詳解】解：①如圖，∵PQ為AD的垂直平分線，∴PA=PD，QA=QD，∴在△APQ和△DPQ中，，∴△APQ≌△DPQ（SSS），①正確；②如圖，∵PD∥AC，∴∠DPQ=∠AQP，∴在△APQ和△DQP中，，∴△APQ≌△DQP（SAS），②正確；③如圖，∵PD∥AC，∴∠DPQ=∠AQP，同理∠DQP=∠APQ，∴在△APQ和△DQP中，∴△APQ≌△DQP（ASA），③正確；④如圖，△APQ≌△DPQ不成立，④錯誤；故答案為①②③．【點睛】本題考查三角形與平行線的綜合應(yīng)用，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定是解題關(guān)鍵．16．25【分析】設(shè)∠ADC＝α然后根據(jù)AC＝AD＝DB∠BAC＝105°表示出∠B和∠BAD的度數(shù)最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)進而求得∠B的度數(shù)即可【詳解】解：∵AC＝AD＝DB∴∠B＝解析：25【分析】設(shè)∠ADC＝α，然后根據(jù)AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)，進而求得∠B的度數(shù)即可．【詳解】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，設(shè)∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案為：25．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．90°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】解：連接DAEA如圖∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=180°-135°=45°∵DF是AB的垂直平分線EG是AC的垂直平解析：90°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接DA、EA，如圖，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分線，EG是AC的垂直平分線，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC–(∠DAB+∠EAC)=135°-45°=90°．故答案為：90°．【點睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．18．6【分析】作BH⊥AC垂足為H交AD于M′點過M′點作M′N′⊥AB垂足為N′則BM′+M′N′為所求的最小值再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知M′H=M′N′再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論【詳解解析：6【分析】作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知M′H=M′N′，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分線，∴M′H=M′N′，∴BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短），∵AB=，∠BAC=45°，∴BH=AH∴∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案為6．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．19．45°【分析】找到點M關(guān)于OC對稱點M′過點M′作M′N⊥OB于點N交OC于點P則此時PM+PN的值最小再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案【詳解】解：如圖找到點M關(guān)于OC對稱點M′過點M解析：45°【分析】找到點M關(guān)于OC對稱點M′，過點M′作M′N⊥OB于點N，交OC于點P，則此時PM+PN的值最小，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：如圖，找到點M關(guān)于OC對稱點M′，過點M′作M′N⊥OB于點N，交OC于點P，則此時PM+PN的值最小．∵PM=PM′，∴此時PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵點M與點M′關(guān)于OC對稱，OC平分∠AOB，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案為：45°．【點睛】本題考查了利用軸對稱的知識尋找最短路徑的知識，涉及到兩點之間線段最短、垂線段最短的知識，有一定難度，正確確定點P及點N的位置是關(guān)鍵．20．2或6或【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)等邊三角形的三線合一的性質(zhì)解答；（3）根據(jù)題意分兩種情況：當點D在線段CM上時當點D在線段CM的延長線上時分別畫出圖形利用全解析：2或6或【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)等邊三角形的三線合一的性質(zhì)解答；（3）根據(jù)題意分兩種情況：當點D在線段CM上時，當點D在線段CM的延長線上時，分別畫出圖形，利用全等三角形的性質(zhì)解答．【詳解】（1）∵△是等邊三角形，∴∠ACB=，∵平分，∴∠ACM=∠ACB=，故答案為：；（2）∵△是等邊三角形，平分，∴CM⊥AB，∴∠AMC=，故答案為：；（3）∵∠DCE=，CD=CE，∴△CDE是等邊三角形，∴DE=CE=CD，∵∠BCM=∠ACM=，∴∠BCE=，∴CF平分∠DCE，∵CD=CE，∴CB垂直平分DE，①當點D在線段CM上時，當△BDM≌△BEF時，如圖1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；當△BDM≌△EBF時，如圖1，則EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此種情況不成立，舍去；②當點D在線段CM的延長線上時，當△BDM≌△BEF時，如圖2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；當△BDM≌△EBF時，如圖3，則EF=BM=2，∴CE=2EF=4，∴，故答案為：2或6或．．【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，利用三線合一的性質(zhì)進行證明，全等三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（1）見解析；（2）40°【分析】（1）由得到，然后根據(jù)ASA即可證明；（2）由（1）得DE=CE，，由三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，又；；【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)進行解題．22．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由于△ABF與△DCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定的方法即可證明；（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出∠AFB＝∠DEC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中∵，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已證），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判斷兩個直角三角形全等，是解題的關(guān)鍵．23．（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）作∠CAE=∠C即可；（2）延長BA，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，有∠EAF=∠B，由（1）可知∠CAE=∠C，再根據(jù)AB=AC，可得∠B=∠C，等量替換之后即可得證．【詳解】（1）射線AE為所求；（2）證明：如圖所示，延長BA，∵，∴∠EAF=∠B，∠CAE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠CAE，∴是的一個外角角平分線．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的判定等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．24．（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明再利用三角形的內(nèi)角和定理求解從而可得結(jié)論；（2）過點D作交于點E，先證明為等邊三角形，再證明，可得從而可得答案．【詳解】證明：（1）∵為等邊三角形，∴∵D為的中點，∴平分，∴．∵，∴，∴，∴．（2）過點D作交于點E．∵為等邊三角形，，點D是的中點，∴．∵，∴．，∴為等邊三角形，，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定