遼寧省阜新市2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測試題含解析

遼寧省阜新市2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.2．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.93．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.4．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.5．已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.46．某綜合實踐小組設(shè)計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁7．如圖，在直三棱柱中，且，點E為中點．若平面過點E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個8．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線9．在中，，滿足條件的三角形的個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無數(shù)多10．若點在橢圓的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.12．已知函數(shù)，在上隨機取一個實數(shù)，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為________14．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲、乙兩人下成和棋的概率為___________.15．曲線在處的切線斜率為___________.16．甲、乙兩名運動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：經(jīng)過點.（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）經(jīng)過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線交于兩點M，N，且與拋物線的準線交于點Q.若，求直線l的方程.18．（12分）一個完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當?shù)淖鴺讼岛?，懸鏈線對應(yīng)的函數(shù)近似是一個雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).（1）當時，判斷并證明的奇偶性；（2）當時，若最小值為，求的最小值.19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積20．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若與相交于A、兩點，設(shè)，求.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.2、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B3、C【解析】設(shè)矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.4、C【解析】，，若，則，項，符合條件，故選5、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因為，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).6、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學的估算，故選：D7、B【解析】構(gòu)造出長方體，取中點連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構(gòu)造出長方體，取中點，連接則所有過點與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過點繞且與成角，當與水平面垂直且在面的左側(cè)（在長方體的外面）時，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過點繞旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周，90°顯然最大，到了另一個邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個，故選：B.8、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B9、B【解析】利用正弦定理得到，進而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個.故選：B10、B【解析】根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為點在橢圓的外部，所以，即，解得或.故選：B.11、C【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C12、B【解析】首先求不等式的解集，再根據(jù)區(qū)間長度，求幾何概型的概率.【詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機取一實數(shù)，則實數(shù)滿足不等式的概率為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、相交【解析】由題意知，兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，故兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓的位置關(guān)系為相交14、##【解析】直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.【詳解】.故答案為：.15、##【解析】首先求得的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因為函數(shù)的導數(shù)為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：16、【解析】先由極差以及平均數(shù)得出，進而得出中位數(shù).【詳解】由可得，，，因為乙得分的平均值為24，所以，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）拋物線C的方程為，準線方程為（2）或.【解析】（1）將點代入拋物線求出即可得出拋物線方程和準線方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出弦長和即可求出.【小問1詳解】將代入可得，解得，所以拋物線C的方程為，準線方程為；【小問2詳解】由題得，設(shè)直線方程為，，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，則，所以，因為直線與準線交于點Q，則，則，因為，所以，解得，所以直線l的方程為或.18、（1）偶函數(shù)（2）10【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義直接判斷可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的關(guān)系，然后代入目標式，分離常數(shù)，然后可得.【小問1詳解】當時，，定義域為R，因為所以為偶函數(shù).【小問2詳解】因為，所以，當且僅當，即時，取等號.由題知，即，因為，所以，即所以令，，則，所以，所以，當，即時，取等號.所以的最小值為10.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標系，用向量法結(jié)合已知先確定點M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個法向量，設(shè)平面MAC的一個法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點.所以20、（1）；（2）存在，為上靠近點的三等分點【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標以及平面的一個法向量，計算即可求解；（2）假設(shè)線段上存在點符合題意，設(shè)可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，.不妨設(shè)平面的一個法向量,則有，即，取.設(shè)直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設(shè)線段上存在點，使得二面角的余弦值.設(shè)，則,從而，，.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點滿足條件，為上靠近點的三等分點【點睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.21、（1）曲線的普通方程為；曲線的直角坐標方程為（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系式把參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；（2）易得滿足直線的方程，轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，再利用韋達定理結(jié)合弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為普通方程為，曲線的極坐標方程為，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為；【小問2詳解】解：因為滿足直線的方程，將轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，設(shè)A、兩點的參數(shù)分別為，則，所以.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解