1911變量與函數(shù)(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

19.1.1變量與函數(shù)變量、常量的概念在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量.數(shù)值保持不變的量叫做常量.注意：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對(duì)某個(gè)變化過(guò)程而言的.例如，，速度60千米/時(shí)是常量，時(shí)間和里程為變量.題型1：變量與常量1.圓的周長(zhǎng)公式是C=2πr，那么在這個(gè)公式中，關(guān)于變量和常量的說(shuō)法正確的是（）A．2是常量， B．π、r是變量C．2、π是常量， D．r是變量C.2是常量，r是變量【變式11】設(shè)路程s，速度v，時(shí)間t，在關(guān)系式s=vt中，說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)s一定時(shí)，v是變量，t是變量B．當(dāng)v一定時(shí)，t是常量，s是變量C．當(dāng)t一定時(shí)，t、s是常量，v是變量D．當(dāng)t一定時(shí)，s是常量，v是變量【變式12】一本筆記本5元，買x本共付y元，則常量和變量分別是（）A．常量：5；變量：x B．常量：5；變量：yC．常量：5；變量：x，y D．常量：x，y；變量：5【變式13】分析并指出下列關(guān)系中的變量與常量：（1）球的表面積Scm2與球的半徑Rcm的關(guān)系式是S=4πR2；（2）以固定的速度v0米/秒向上拋一個(gè)小球，小球的高度h米與小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t秒之間的關(guān)系式是h=v0t﹣4.9t2；（3）一物體自高處自由落下，這個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的距離hm與它下落的時(shí)間ts的關(guān)系式是h=12gt2（其中g(shù)取9.8m/s2（4）已知橙子每千克的售價(jià)是1.8元，則購(gòu)買數(shù)量W千克與所付款x元之間的關(guān)系式是x=1.8W．題型2：因變量和自變量2.對(duì)于關(guān)系式y(tǒng)＝3x＋5，下列說(shuō)法：①x是自變量，y是因變量；②x的數(shù)值可以任意選擇；③y是變量，它的值與x無(wú)關(guān)；④這個(gè)關(guān)系式表示的變量之間的關(guān)系不能用圖象表示；⑤y與x的關(guān)系還可以用表格和圖象表示，其中正確的是()A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤【變式21】某居民小區(qū)電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.55元/千瓦時(shí)，收取的電費(fèi)y（元）和所用電量x（千瓦時(shí)）之間的關(guān)系式為y=0.A．x是自變量，0.55是因變量 B．0.55是自變量，x是因變量C．x是自變量，y是因變量 D．y是自變量，x是因變量【變式22】圓柱的高是6cm，當(dāng)圓柱的底面半徑r由小到大變化時(shí)，圓柱的體積V也隨之發(fā)生變化.在這個(gè)變化過(guò)程中，常量是，自變量是，因變量是.【變式23】一次試驗(yàn)中，小明把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛砝碼，下面是測(cè)得的彈簧長(zhǎng)度y（cm）與所掛砝碼的質(zhì)量x（g）的一組對(duì)應(yīng)值：x（g）012345…y（cm）182022242628…（1）表中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）彈簧的原長(zhǎng)是多少？當(dāng)所掛砝碼質(zhì)量為3g時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是多少？（3）砝碼質(zhì)量每增加1g，彈簧的長(zhǎng)度增加多少厘米？函數(shù)的定義一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中.如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)是自變量，是的函數(shù).注意：對(duì)于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：（1）函數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）對(duì)于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實(shí)際意義；（3）判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對(duì)于允許取的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng).（4）兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個(gè)條件：①函數(shù)關(guān)系式相同（或變形后相同）；②自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關(guān)系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時(shí)容易忽視，這點(diǎn)應(yīng)注意.題型3：函數(shù)的概念3.如圖，有一個(gè)球形容器，小海在往容器里注水的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個(gè)變量．下列有四種說(shuō)法：①S是V的函數(shù)；②V是S的函數(shù)；③h是S的函數(shù)；④S是h的函數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【變式31】下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系，其中y不是x的函數(shù)的是（）A． B．C． D．【變式32】下列關(guān)系式：①x3x=4；②s=3.5t；③y=2x；④y=5x3；⑤C=2πr；⑥y2=2x．其中是函數(shù)關(guān)系的有()A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②【變式33】下列關(guān)系中，不是函數(shù)的是()．A．y=x+13 B．y=x2C．y=9x(x≥0) D．y=±x2題型4：函數(shù)概念與基礎(chǔ)圖像識(shí)別4.下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（）A．B．C． D．【變式41】如圖所示圖象表示的兩個(gè)變量間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是（）A．B．C． D．【變式42】下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式43】下列圖形中的曲線不能表示y是x的函數(shù)的是（）A．B．C． D．自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實(shí)數(shù)叫自變量的取值范圍.注意：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：（1）當(dāng)解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)解析式是分式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)；（3）當(dāng)解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實(shí)數(shù)；（4）當(dāng)解析式中含有零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的底數(shù)不為零；（5）當(dāng)解析式表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.題型5：自變量的取值范圍5.下列函數(shù)中，自變量的取值范圍選取錯(cuò)誤的是（）A．y=2x2中，x取全體實(shí)數(shù) B．y=1x+1中，x取x≠C．y=x?2中，x取x≥2的實(shí)數(shù) D．y=1x?3中，x取x≥【變式51】．函數(shù)y=1x+1+A．x≥?1 B．x>2C．x>?1且x≠2 D．x≠?1且x≠2【變式52】求函數(shù)y=2?x2x?3【變式53】求下列函數(shù)中自變量的取值范圍．①y=?52x?1②y=2x?1【變式54】求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍．y=x?2+1x?3函數(shù)值是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.注意：對(duì)于每個(gè)確定的自變量值，函數(shù)值是唯一的，但反過(guò)來(lái)，可以不唯一，即一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè).比如：中，當(dāng)函數(shù)值為4時(shí)，自變量的值為±2.題型6：函數(shù)值的定義6.已知一次函數(shù)y＝ax－3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7，當(dāng)x＝－2時(shí)，求y的值.【變式61】當(dāng)自變量x取何值時(shí)，函數(shù)y=52【變式62】某地海拔高度h與溫度T的關(guān)系可用T=216h來(lái)表示(其中溫度單位為℃，海拔高度單位為km)，則該地區(qū)某海拔高度為2000m的山頂上的溫度為()A．9℃ B．7℃ C．6℃ D．3℃【變式63】已知函數(shù)y=2x?1x+2【變式64】當(dāng)x=2及x=﹣3時(shí)，分別求出下列函數(shù)的函數(shù)值：（1）y=（x+1）（x﹣2）；（2）y=x+2x?1題型7：構(gòu)建簡(jiǎn)單函數(shù)（幾何圖形）7.如圖，在靠墻（墻長(zhǎng)8m）的地方圍建一個(gè)矩形的養(yǎng)雞場(chǎng)，另外三邊用柵欄圍成，如果柵欄總長(zhǎng)為32m，求雞場(chǎng)的一邊y（m）與另一邊x（m）的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍．【變式71】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為DC上的點(diǎn)（不與C，D點(diǎn)重合）．設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x，求梯形ABCP的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【變式72】如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為10cm，AC與MN在同一直線上，開始時(shí)A點(diǎn)與M點(diǎn)重合，讓△ABC向右運(yùn)動(dòng)，最后A點(diǎn)與N點(diǎn)重合．試寫出重疊部分的面積ycm2與MA的長(zhǎng)度xcm之間的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量．【變式73】圓柱的底面半徑是2cm，當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)（cm）由大到小變化時(shí)，圓柱的體積V（cm3）隨之發(fā)生變化．（1）在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量和因變量各是什么？（2）在這個(gè)變化過(guò)程中，寫出圓柱的體積為V與高h(yuǎn)之間的關(guān)系式？（3）當(dāng)h由5cm變化到10cm時(shí)，V是怎樣變化的？（4）當(dāng)h=7cm時(shí)，v的值等于多少？題型8：構(gòu)建記得函數(shù)（實(shí)際問(wèn)題）8.物體從高處自由下落的高度h(m)與物體下落的時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式是：h＝12gt2(g表示重力加速度，g取9.8m/s2)．某人發(fā)現(xiàn)頭頂上空490m處有一炸彈自由下落，其地面殺傷半徑為50m，此人發(fā)現(xiàn)后，立即以6m/s的速度逃離，那么此人有無(wú)危險(xiǎn)？【變式81】為了增強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，某城區(qū)水價(jià)執(zhí)行“階梯式”計(jì)費(fèi)，每月應(yīng)繳水費(fèi)y(元)與用水量x(t)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．若某用戶去年5月繳水費(fèi)18.05元，求該用戶當(dāng)月用水量．【變式82】希望中學(xué)學(xué)生從2021年12月份開始每周喝營(yíng)養(yǎng)牛奶，單