03挑戰(zhàn)壓軸題（解答題一）-2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編

2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（江西考卷）03挑戰(zhàn)壓軸題（解答題一）1．（2021·江西）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若是的切線，，連接，如圖2．①請(qǐng)判斷四邊形ABCO的形狀，并說(shuō)明理由；②當(dāng)AB=2時(shí)，求AD，AC與圍成陰影部分的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）四邊形ABCO是菱形，理由見(jiàn)解析；（3）陰影部分的面積為．【解析】【分析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得∠D=∠EBC，再利用圓周角的性質(zhì)證得∠D+∠CAD=，即可證明∠CAD=∠ECB；（2）①利用切線的性質(zhì)得到OC⊥EC，從而證明OC∥AE，再證明∠BAO=∠EBC=60°，推出BC∥AO，即可證明四邊形ABCO是菱形；②先計(jì)算，再利用扇形的面積公式計(jì)算，即可求得陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D+∠ABC=，∵∠EBC+∠ABC=，∴∠D=∠EBC，∵AD為⊙O直徑，∴∠ACD=，∴∠D+∠CAD=，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四邊形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=，∴∠OCE+∠E=18，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°30°=60°，∴∠BAO=∠EBC=60°，∴BC∥AO，∴四邊形ABCO是平行四邊形，∵OA=OC，∴四邊形ABCO是菱形；②∵四邊形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，∵∠CAD=30°，∴CD=AD=2，AC=2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∴CF=，∴，∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．2．（2020·江西）已知的兩邊分別與圓相切于點(diǎn)，，圓的半徑為．（1）如圖1，點(diǎn)在點(diǎn)，之間的優(yōu)弧上，，求的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最大時(shí)，要使四邊形為菱形，的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若交圓于點(diǎn)，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含的式子表示）．【答案】（1）50°；（2）當(dāng)∠APB=60°時(shí)，四邊形APBC為菱形，理由見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后結(jié)合已知求得∠AOB，最后根據(jù)圓周角定理即可解答；（2）連接OA、OB，先觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠APB=60°時(shí)，四邊形APBC可能為菱形；然后利用∠APB=60°結(jié)合（1）的解答過(guò)程可得∠ACB=∠APB=60°，再根據(jù)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，即PC經(jīng)過(guò)圓心；再說(shuō)明四邊形APBC為軸對(duì)稱圖形結(jié)合已知條件得到PA=PB=CA=CB，即可得到四邊形APBC為菱形；（3）由于⊙O的半徑為r，則OA=r、OP=2r，再根據(jù)勾股定理可得AP=r、PD=r，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得的弧長(zhǎng)，最后根據(jù)周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接OA、OB∵PA，PB為⊙O的切線∴∠PAO=∠PBO=90°∴∠AOB+∠MPN=180°∵∠MPN=80°∴∠AOB=180°∠MPN=100°∴∠AOB=100°=∠ACB=50°；（2）當(dāng)∠APB=60°時(shí)，四邊形APBC為菱形，理由如下：如圖2：連接OA、OB由（1）可知∠AOB+∠APB=180°∵∠APB=60°∴∠AOB=120°∴∠ACB=60°=∠APB∵點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大∴PC經(jīng)過(guò)圓心∵PA、PB為⊙O的切線∴四邊形APBC為軸對(duì)稱圖形∵PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB.∴∠APB=∠ACB=60°∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°∴PA=PB=CA=CB∴四邊形APBC為菱形；（3）∵⊙O的半徑為r∴OA=r，OP=2r∴AP=r，PD=r∵∠AOP=60°∴∴C陰影．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、菱形的判定、弧長(zhǎng)公式以及有關(guān)圓的最值問(wèn)題，考查知識(shí)點(diǎn)較多，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2019·江西）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)行如下探究：如圖1，將長(zhǎng)為的鉛筆斜靠在垂直于水平桌面的直尺的邊沿上，一端固定在桌面上，圖2是示意圖．活動(dòng)一如圖3，將鉛筆繞端點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，鉛筆的中點(diǎn)與點(diǎn)重合．?dāng)?shù)學(xué)思考（1）設(shè)，點(diǎn)到的距離．①用含的代數(shù)式表示：的長(zhǎng)是_________，的長(zhǎng)是________；②與的函數(shù)關(guān)系式是_____________，自變量的取值范圍是____________．活動(dòng)二（2）①列表：根據(jù)（1）中所求函數(shù)關(guān)系式計(jì)算并補(bǔ)全表格．6543.532.5210.5000.551.21.581.02.4734.295.08②描點(diǎn)：根據(jù)表中數(shù)值，描出①中剩余的兩個(gè)點(diǎn)．③連線：在平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)用平滑的曲線畫出該函數(shù)的圖象．?dāng)?shù)學(xué)思考（3）請(qǐng)你結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)或結(jié)論．【答案】(1)），，;(2)見(jiàn)解析；（3）①隨著的增大而減??；②圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)的取值范圍是．【解析】【分析】（1）①利用線段的和差定義計(jì)算即可．②利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．（2）①利用函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即可．②描出點(diǎn)，即可．③由平滑的曲線畫出該函數(shù)的圖象即可．（3）根據(jù)函數(shù)圖象寫出兩個(gè)性質(zhì)即可（答案不唯一）．【詳解】解：（1）①如圖3中，由題意，，，，故答案為，．②作于．，，，，，，故答案為，．（2）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故答案為2，6．②點(diǎn)，點(diǎn)如圖所示．③函數(shù)圖象如圖所示．（3）性質(zhì)1：函數(shù)值的取值范圍為．性質(zhì)2：函數(shù)圖象在第一象限，隨的增大而減小．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線分線段成比例定理，函數(shù)的圖象等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．4．（2018·江西）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚.到了收獲季節(jié)，已知該蜜柚的成本價(jià)為8元/千克，投入市場(chǎng)銷售時(shí)，調(diào)查市場(chǎng)行情，發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會(huì)虧本，且每天銷售量(千克)與銷售單價(jià)(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；

(2)當(dāng)該品種蜜柚定價(jià)為多少時(shí)，每天銷售獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

(3)某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚4800千克，該品種蜜柚的保質(zhì)期為40天，根據(jù)(2)中獲得最大利潤(rùn)的方式進(jìn)行銷售，能否銷售完這批蜜柚？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（）；（2）定價(jià)為19元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1210元.（3）不能銷售完這批蜜柚.

【解析】【詳解】【分析】（1）根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式，再根據(jù)蜜柚銷售不會(huì)虧本以及銷售量大于0求得自變量x的取值范圍；（2）根據(jù)利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×銷售量，可得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得；（3）先計(jì)算出每天的銷量，然后計(jì)算出40天銷售總量，進(jìn)行對(duì)比即可得.【詳解】（1）設(shè)，將點(diǎn)（10，200）、（15，150）分別代入，則，解得，∴，∵蜜柚銷售不會(huì)虧本，∴，又，∴，∴，∴；（2）設(shè)利潤(rùn)為元，則==，∴當(dāng)時(shí)，

最大為1210，∴定價(jià)為19元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1210元；(3)

當(dāng)時(shí)，，110×40=4400＜4800，∴不能銷售完這批蜜柚.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，找出數(shù)量間的關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.5．（2017·江西）如圖1，⊙O的直徑AB=12，P是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），∠ABC=30°，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OP交⊙O于點(diǎn)D．（1）如圖2，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）如圖3，當(dāng)弧DC=弧AC時(shí)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接DE．①求證：DE是⊙O的切線；②求PC的長(zhǎng)．【答案】（1）2；（2）①證明見(jiàn)解析；②3﹣3．【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意首先得出半徑長(zhǎng)，再利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出OP，PD的長(zhǎng)；（2）①首先得出△OBD是等邊三角形，進(jìn)而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．試題解析：（1）如圖2，連接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直徑AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB?tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如圖3，連接OD，交CB于點(diǎn)F，連接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切線；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB?cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考點(diǎn)：圓的綜合題1．（河南省平頂山市20212022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，是的一條角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)填空：①若，當(dāng)______度時(shí)，四邊形為正方形；②當(dāng)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形時(shí)，四邊形的面積為_(kāi)_____．【答案】(1)四邊形是菱形；見(jiàn)解析(2)①55；②【解析】【分析】（1）先證平行四邊形，再證AF=DF即可；（2）①先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C+∠BAC=145°，使四邊形AEDF為正方形，∠BAC=90°，得出∠C=145°90°=55°即可；②連結(jié)EF,當(dāng)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形時(shí)，先求，再證EF為△ABC的中位線，得出EF=，然后求S四邊形AEDF=即可．(1)證明：四邊形是菱形∵，，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∵是的一條角平分線，∴∠BAD=∠CAD，又∵，∴∠FDA=∠EAD=∠CAD，∴AF=DF，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形AEDF為菱形，(2)解：①∵∠B+∠C+∠BAC=180°，，∴∠C+∠BAC=145°，使四邊形AEDF為正方形，∠BAC=90°，∴∠C=145°90°=55°當(dāng)55度時(shí)，四邊形為正方形；故答案為55②連結(jié)EF,當(dāng)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形時(shí)，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=，在Rt△ABD中，∵,，點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴，∴CF=DF，BE=AE，∴EF為△ABC的中位線，∴EF=，∵由（1）知四邊形AEDF為菱形，∴S四邊形AEDF=，四邊形的面積為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形面積，正方形的判定，掌握形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形面積，正方形的判定是解題關(guān)鍵．2．（2022·河南安陽(yáng)·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，點(diǎn)F是半徑AO上一動(dòng)點(diǎn)（不與O，A重合），過(guò)點(diǎn)F作射線，分別交弦AC，于H，D兩點(diǎn)，在射線l上取點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作的切線EC．(1)求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)D是的中點(diǎn)時(shí)，若，判斷以O(shè)，A，D，C為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)四邊形OADC是菱形；理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接OC，EC為的切線，可得及，再由，得到，繼而得出結(jié)論；（2）連接CD、DO，AD，CO，由是等邊三角形、和都是等邊三角形，可得，即可得到四邊形OADC是菱形．(1)證明：如圖，連接OC，∵EC為的切線，∴，∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴．(2)以O(shè)，A，D，C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．理由如下：如圖，連接CD、DO，AD，CO．∵，，∴是等邊三角形．又∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴和都是等邊三角形，∴，∴四邊形OADC是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)，以及菱形的判定，掌握切線的判定方法及菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，連接OP交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)C在⊙O上，四邊形OBCE為菱形，連接PC．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)連接BP交⊙O于點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G．①連接OG，求證：；②若，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①由（1）知，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由垂徑定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)勾股定理得到，，連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理即可得到結(jié)論．(1)解：證明：連接，四邊形為菱形，，，，是等邊三角形，，，，，，，是的直徑，是的切線，，，是的半徑，是的切線；(2)①證明：由（1）知，，，，，，，，，，，，；②，，，，，連接，是的直徑，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一一三中學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，⊙O中，弦AC、BD交于點(diǎn)E，連接AB、AD、OB，∠ABO=∠CAD(1)求證：AC⊥BD；(2)連接CD，∠BDC+2∠ADB=180°，求證：AB=AC；(3)在（2）的條件下，連接OC交BD于點(diǎn)F，⊙O的弦BH交AC于點(diǎn)G，CG=DF，AB=10，＝10，求GH的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【解析】【分析】(1)延長(zhǎng)BO，構(gòu)造直徑BF，連接DF，則∠ADB+∠ADF=90°，證明∠ADB+∠CAD=90°即可．(2)如圖2，連接BC，則∠ADB=∠ACB，∠ADB=90°∠BDC，利用三角形內(nèi)角和定理證明∠ABC=90°∠BDC即可．(3)如圖3，連接BC，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，證明△MBO≌△NCO，△ECF∽△EBC，利用勾股定理，相交弦定理．(1)延長(zhǎng)BO，構(gòu)造直徑BF，連接DF，則∠ADB+∠ADF=90°，∵∠ABO=∠CAD，∠ABO=∠ADF，∴∠CAD=∠ADF，∴∠ADB+∠CAD=90°，∴∠AED=90°，∴AC⊥BD．(2)如圖2，連接BC，則∠ADB=∠ACB，∵∠BDC+2∠ADB=180°，∴∠ADB=90°∠BDC，∵∠ABC=180°∠ACB∠BAC=180°∠ADB∠BDC=180°90°+∠BDC∠BDC=90°∠BDC=∠ADB=∠ACB，∴AB=AC．(3)如圖3，連接BC，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，根據(jù)(2)，得AB=AC=10，∴OM=ON，BM=CN=5，∴△MBO≌△NCO，∴∠MBO=∠NCO，∵∠MBO=∠CAD，∠CBD=∠CAD，∴∠ECF=∠EBC，∴△ECF∽△EBC，∴，∴，∵＝10，CG=DF，∴BE×CG=20=BE×DF，∴BE×(EF+DE)=20，∴BE×EF+BE×DE=20，∴+BE×DE=20，根據(jù)相交弦定理，得BE×DE=AE×EC，∴+AE×EC=20，∵AE+EC=10，∴+(10EC)×EC=20，解得EC=2，∴AE=8，根據(jù)(2)得，∠AEB=90°，∴BE==6，∴6×DE=8×2，∴DE=，∴BD=BE+DE=6+=過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BD于點(diǎn)P，根據(jù)垂徑定理，得PD==，CN=NA=5，∴PE=PDDE==，∵OP⊥BD，ON⊥AC，BD⊥AC，∴四邊形OPEN是矩形，∴ON=PE=，ON∥PE，∴，∴，∴DF=DE+EF===CG，∴AG=ACCG=10=，EG=CGCE=2=，∴BG==，根據(jù)相交弦定理，得BG×GH=AG×CG，∴GH==．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，相交弦定理，三角形全等判定和性質(zhì)，三角形相似判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形互余性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的基本定理和三角形的相似是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！の挥袑W(xué)模擬預(yù)測(cè)）在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是OA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)線段OP的中點(diǎn)H作OP的垂線交弧AB于點(diǎn)C，射線PC交弧AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD．(1)如圖，當(dāng)弧AC＝弧CD時(shí)，求弦CD的長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在弧AD上時(shí)，設(shè)PA＝x，CD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)設(shè)CD的中點(diǎn)為E，射線HE與射線OD交于點(diǎn)F，當(dāng)DF時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠P的余切值．【答案】(1)CD＝﹣1(2)yx2+2x﹣2（22≤x≤22）(3)cot∠P【解析】【分析】（1）根據(jù)弧弧，得出，進(jìn)而求出，以及，再利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)切割線定理即可求得．（3）利用等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系即可得出的值．(1)解：聯(lián)結(jié)，如圖1，垂直平分，，，，，，又，，又，，，解得：，（舍去）(2)解：如圖，補(bǔ)全圓O，連接GD，AC，在圓內(nèi)接四邊形ACDG中，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵PA＝x，CD＝y(tǒng)，，∴，，，；(3)解：如圖2，連接和．，，（不妨設(shè)其大小為．（三角形外角的性質(zhì)定理），同時(shí)，，（已知）由垂徑定理可知：，，．同時(shí)，由銳角三角函數(shù)定義，在中．，，四點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，由同圓中，同弧上的圓周角相等可知，．在中，由三角形外角性質(zhì)定理，，，．為等腰三角形，．，在中，，，由勾股定理可得，，【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理以及勾股定理和四點(diǎn)共圓以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等腰三角形、直角三角形．1．（2022·遼寧錦州·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，，，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的表達(dá)式；(3)若為的中點(diǎn)，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）證明，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由待定系數(shù)法求解析式即可；（3）延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，連接OP，PB，可證，由全等得到，求出直線的直線解析式為，直線的解析式為，兩直線的交點(diǎn)即為．(1)解：軸，軸，，，，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，；(2)解：設(shè)直線的解析式為，，，；(3)解：延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，連接OP，PB，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的直線解析式為，設(shè)直線的解析式為，，直線的解析式為，，解得，，．∵，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，有最大值，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江溫州·八年級(jí)期末）如圖，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，以BC為斜邊向左側(cè)作等腰．(1)求b的值和OC的長(zhǎng)．(2)連結(jié)OD，求的度數(shù)．(3)設(shè)點(diǎn)D到AB，AC，BC的距離分別為，，，求，，之比．【答案】(1)，(2)45°(3)【解析】【分析】（1）首先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線y=3x+b，即可求解；（2）連接OD，作DE⊥OD交y軸于E，證明△DBE≌△DCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DE=DO，∠DOE=45°，即可得∠AOD=45°；（3）延長(zhǎng)OD交AB于H，過(guò)D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，DF⊥OB于F，則d2=DM，d3=DN，證明DH⊥AB，得d1=DH，分別求出DM，DN，DH，即可求解．(1)解：直線y=x+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=3；∴點(diǎn)A（3，0）、B（0，3），∵直線y=3x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，3）代入直線y=3x+b得：b=3，∴y=3x+3當(dāng)y=0時(shí)，3x+3=0，解得x=1，∴C（1，0），∴OC=1；(2)連接OD，作DE⊥OD交y軸于E，∵Rt△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=90°，DB=DC，∴∠BDE+∠EDC=90°，∵DE⊥OD，∴∠CDO+∠EDC=90°，∴∠BDE=∠CDO，設(shè)CD、OB交于Q，∵∠BDC=∠QOC=90°，∠BQD=∠CQO，∴∠DBE=∠DCO，∵DB=DC，∠BDE=∠CDO，∴△DBE≌△DCO（ASA），∴DE=DO，∵DE⊥OD，∴∠DOE=45°，∴∠AOD=45°；(3)延長(zhǎng)OD交AB于H，過(guò)D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，DF⊥OB于F，則d2=DM，d3=DN，∵△DBE≌△DCO，C（1，0），∴BE=CO=1，∵A（3，0）、B（0，3），∴OE=2，OA=OB=3，∵DE=DO，DE⊥OD，∴延長(zhǎng)OD交AB于點(diǎn)Q，∵OD平分，，∴．在等腰中，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．3．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AF，G是線段AF上一點(diǎn)，連接BG，DG．(1)如圖1，若CF＝CA，G是AF的中點(diǎn)；①求∠FAD的度數(shù)；②求證：BG⊥DG；(2)如圖2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的長(zhǎng)度．【答案】(1)①22.5°；②見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）①可求得∠ACD=∠DAC=45°，進(jìn)而求得結(jié)果；②連接GE，根據(jù)中位線定理證得EG=CF，進(jìn)而得出EG=BD，進(jìn)一步命題得證；（2）連接EG，可證得EG=DE=BE=AE，所以點(diǎn)A、G、D、B、C共圓，從而得出∠FGD=∠ACD，進(jìn)而證得△FDG∽△FAC，進(jìn)一步求得結(jié)果．(1)①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠ACF=45°，∠ADF=∠ADC=90°，∵CF=CA，∴，∴∠FAD=∠FAC∠DAC=67.5°45°=22.5°；②證明：連接GE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC=BD，AE=CE，BE=DE=BD，∵AC=CF，∴CF=BD，∵AG=FG，AE=CE，∴EG=CF，∴EG=BD，∴GE=BE=DE，∴∠EGD=∠EDG，∠EGB=∠EBG，∵∠EGD+∠EDG+∠EGB+∠EBG=180°，∴∠EGD+∠EGB=90°，∴∠BGD=90°，∴BG⊥DG；(2)如圖2，連接EG，∵BG⊥DG，BE=DE，∴GE=BE=DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=CE=AC，BE=DE=BD，AC=BD，∴AE=CE=BE=DE，∴點(diǎn)A、G、D、C、B在以E為圓心，AE為半徑的圓上，∴∠DGF=∠ACD，∵∠F=∠F，∴△FDG∽△FAC，∴，∴FD?FC=FG?FA，設(shè)FD=x，則，∵FG=2AG，∴，∴，∴x1=，x2=（舍去），∴FD=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，確定圓的條件，三角形中位線定理，相似三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，找出相似三角形的條件．4．（2022·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知在中，，，，BC為OP上的中線．在中，，連接AC并延長(zhǎng)交邊BO于點(diǎn)E．(1)求AC的長(zhǎng)．(2)設(shè)AP的長(zhǎng)度為x，四邊形ACBP的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．(3)當(dāng)四邊形ACBP為梯形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)5(2)(3)或【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可；（2）先利用勾股定理求出，再根據(jù)列出關(guān)系式即可；（3）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)，則，兩種情況分