蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步精講精練1.1一元二次方程(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.1一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的概念◆1、一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．◆2、一元二次方程必須同時(shí)滿足的條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．④二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的解（根）◆一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．◆一元二次方程的解（根）滿足的條件：未知數(shù)的值；（2）使方程左右兩邊相等.題型一一元二次方程的識(shí)別題型一一元二次方程的識(shí)別【例題1】（2023春?海曙區(qū)校級(jí)期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x解題技巧提煉一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式1-1】（2023春?肇源縣月考）下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2+1x=0 B．x＝C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【變式1-2】（2023?涼山州模擬）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．（x+1）2＝2x+1 D．1x2【變式1-3】（2022春?泰興市校級(jí)月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2?3x+1=0 B．（x+1）（xC．5x2﹣4＝0 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【變式1-4】（2023春?肇源縣期中）下列方程中一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③1x2+x=2；④ax2+bx+c＝0；A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-5】（2022秋?聊城期末）下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③1x2+3x?5=0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝A．1 B．2 C．3 D．4題型二由一元二次方程的定義求字母的取值范圍題型二由一元二次方程的定義求字母的取值范圍【例題2】（2023春?譙城區(qū)校級(jí)月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m應(yīng)滿足．解題技巧提煉由一元二次方程的定義求字母的取值范圍，主要是根據(jù)二次的系數(shù)不為0得出字母的取值范圍，有時(shí)要把方程先化為一般式.【變式2-1】（2022秋?連平縣校級(jí)期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2且a≠2 B．a(chǎn)≥0且a≠2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≠2【變式2-2】（2022秋?羅山縣期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a、b的取值為（）A．a(chǎn)≠0，b＝4 B．a(chǎn)≠0，b＝2 C．a(chǎn)≠﹣3，b＝4 D．a(chǎn)≠3，b＝4【變式2-3】（2022秋?武城縣期末）關(guān)于x的方程（m﹣2）xm2?2+x是（）A．m≠2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2【變式2-4】（2023?龍川縣校級(jí)開學(xué)）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或m≠2 D．m≠﹣2，且m≠2【變式2-5】（2023春?淮北月考）若(a?1)x2+a+1x=2是關(guān)于x的一元二次方程，則a題型三由一元二次方程的定義求字母的值題型三由一元二次方程的定義求字母的值【例題3】（2023春?青田縣月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1解題技巧提煉根據(jù)一元二次方程的定義，利用未知數(shù)的最高次數(shù)是2和二次項(xiàng)系數(shù)不為0得出字母的值.【變式3-1】（2022秋?南充期末）關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．m≠2【變式3-2】（2023?嶗山區(qū)二模）關(guān)于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，則a的值為．【變式3-3】（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）若xm2?2+x?3=0是關(guān)于是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2【變式3-4】（2023春?天長(zhǎng)市校級(jí)期中）已知(a?2)xa2?2?x+3=0A．±2B．2 C．﹣2 D．以上選項(xiàng)都不對(duì)【變式3-5】（2021秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，且不含x的一次項(xiàng)，則m＝．【變式3-6】（2023春?崇左月考）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？題型四一元二次方程的一般形式題型四一元二次方程的一般形式【例題4】（2022秋?恩施市期中）二元一次方程1﹣8x+16x2＝2+4x的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是．常數(shù)項(xiàng)是．解題技巧提煉一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．【變式4-1】（2023?東莞市校級(jí)模擬）將方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【變式4-2】（2022秋?北塔區(qū)期末）將一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化為一般形式后，對(duì)應(yīng)的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a(chǎn)＝1，b﹣1，c＝6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝2【變式4-3】（2023?桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是．【變式4-4】將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．（1）3x（x+1）＝4（x﹣2）；（2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）；（3）2（y+5）（y﹣1）＝y(tǒng)2﹣8；（4）2t＝（t+1）2．【變式4-5】一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化為一般形式后為2x2﹣3x﹣1＝0，試求a+bc題型五由一元二次方程的解求字母的值題型五由一元二次方程的解求字母的值【例題5】（2023?蚌埠二模）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一個(gè)解，則a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2解題技巧提煉將一元二次方程的根代入原方程得到關(guān)于字母參數(shù)的方程并求解即可．【變式5-1】（2023?淮陰區(qū)模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣x+m＝0的一個(gè)根是2，則m的值為．【變式5-2】（2023?巧家縣二模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一個(gè)根為0，則m的值為（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．0【變式5-3】（2023春?鹿城區(qū)期中）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一個(gè)根是1，則a的值是（）A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．3【變式5-4】（2023?綿陽(yáng)三模）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【變式5-5】（2023?博羅縣校級(jí)開學(xué)）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一個(gè)根，求m的值．題型六由一元二次方程的解求代數(shù)式的值題型六由一元二次方程的解求代數(shù)式的值【例題6】（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023解題技巧提煉將一元二次方程的根代入原方程得到關(guān)于字母參數(shù)的方程，然后利用整體代入法求代數(shù)式的值即可.【變式6-1】（2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則﹣2a2﹣4a的值是．【變式6-2】（2023?定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，則6m2﹣9m+2023的值為．【變式6-3】（2022秋?大荔縣期末）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．【變式6-4】（2023?鶴山市模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：(a2?4a2?4a+4?1【變式6-5】（2022春?豐城市校級(jí)期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代數(shù)式a2﹣2019a+2020題型七已知一元二次方程的根求另一方程的根題型七已知一元二次方程的根求另一方程的根【例題7】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定解題技巧提煉已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定義代入原方程中，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程，再來(lái)求另一方程的根.【變式7-1】（2023春?崇左月考）在關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定【變式7-2】（2023春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一個(gè)根是x＝m，則方程x2+bx+a＝0有一個(gè)根是（）A．x＝m B．x＝﹣m C．x=1m D．x【變式7-3】若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個(gè)根為x＝2021，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【變式7-4】（2023?安源區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個(gè)根為x＝5，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為．【變式7-5】（2022秋?南安市期中）兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常數(shù)，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（）A．±2020 B．?12020 C．﹣2020 題型八根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列簡(jiǎn)單的一元二次方程題型八根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列簡(jiǎn)單的一元二次方程【例題8】（2023?永州）某2020年人均可支收入為2.36萬(wàn)元，2022年達(dá)到2.7萬(wàn)元，若2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為x，則下面所列方程正確的是（）A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7解題技巧提煉由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問(wèn)題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問(wèn)題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．【變式8-1】（2022?襄州區(qū)模擬）在一次同學(xué)聚會(huì)上，每人都向其他人贈(zèng)送了一份小禮品，共互送110份小禮品，如果參加聚會(huì)的同學(xué)有x名．根據(jù)題意列出的方程是．【變式8-2】（2022?長(zhǎng)沙一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短．橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線長(zhǎng)恰好相等．問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？設(shè)門對(duì)角線的長(zhǎng)為x尺，下列方程符合題意的是（）A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2【變式8-3】（2023?喀什地區(qū)三模）為大力實(shí)施城市綠化行動(dòng)，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長(zhǎng)比寬多30米，設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程為（）A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000【變式8-4】（2023?花都區(qū)二模）為豐富鄉(xiāng)村文體生活，某區(qū)準(zhǔn)備組織首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排28場(chǎng)比賽，設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽，可列方程得（）A．12x(x?1)=28 B．C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28【變式8-5】（2023春?銅梁區(qū)校級(jí)期中）某校在操場(chǎng)東邊開發(fā)出一塊長(zhǎng)、寬分別為18m、10m的矩形菜園（如圖），作為勞動(dòng)教育系列課程的實(shí)驗(yàn)基地之一，為了便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，剩下的用于種植，且種植面積為144m2，設(shè)小道的寬為xm，根據(jù)題意可列方程為（）?A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.1一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的概念◆1、一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．◆2、一元二次方程必須同時(shí)滿足的條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．④二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的解（根）◆一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．◆一元二次方程的解（根）滿足的條件：未知數(shù)的值；（2）使方程左右兩邊相等.題型一一元二次方程的識(shí)別題型一一元二次方程的識(shí)別【例題1】（2023春?海曙區(qū)校級(jí)期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)中的方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，選項(xiàng)A不符合題意；B．方程x2+3=2x是分式方程，選項(xiàng)C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式1-1】（2023春?肇源縣月考）下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2+1x=0 B．x＝C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：A．該方程是分式方程，故不符合題意；B．x＝x2是一元二次方程，故符合題意；C．該方程化簡(jiǎn)后得3x＝6，是一元一次方程，故不符合題意；D．該方程中當(dāng)a≠0時(shí)才是一元二次方程，故不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的定義理解，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．【變式1-2】（2023?涼山州模擬）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．（x+1）2＝2x+1 D．1x2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：A、該方程化簡(jiǎn)后可得4x+1＝0，是一元一次方程，不符合題意；B、當(dāng)a＝0時(shí)，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合題意；C、該方程是一元二次方程，符合題意；D、該方程是分式方程，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式1-3】（2022春?泰興市校級(jí)月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2?3x+1=0 B．（x+1）（xC．5x2﹣4＝0 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且最高次項(xiàng)的次數(shù)是2次，并且得是整式方程，即可判斷．【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．∴A選項(xiàng)不是整式方程，不符合題意；B選項(xiàng)化簡(jiǎn)，得x﹣1＝0，不含有2次項(xiàng)，∴B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)當(dāng)a＝0時(shí)，不含有2次項(xiàng)，∴D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程，對(duì)一元二次方程的定義的準(zhǔn)確理解是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023春?肇源縣期中）下列方程中一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③1x2+x=2；④ax2+bx+c＝0；A．0 B．1 C．2 D．3【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個(gè)特點(diǎn)：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程．【解答】解：①2x2﹣x+1＝0、⑤12②由x（x﹣1）＝2x2得到：x2+x＝0，符合一元二次方程的定義，符合題意；③1x④當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2+bx+c＝0不是關(guān)于x的一元二次方程，不符合題意；所以一元二次方程的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理．如果能整理為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程．【變式1-5】（2022秋?聊城期末）下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③1x2+3x?5=0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程；②∵a≠0，∴ax2+bx+c＝0是一元二次方程；③1x2+④﹣x2＝0是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2是二元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2是一元一次方程，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．題型二由一元二次方程的定義求字母的取值范圍題型二由一元二次方程的定義求字母的取值范圍【例題2】（2023春?譙城區(qū)校級(jí)月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m應(yīng)滿足．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，列出關(guān)于m的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意，得m+2≠0，解得m≠﹣2．故答案為：m≠﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．解題技巧提煉由一元二次方程的定義求字母的取值范圍，主要是根據(jù)二次的系數(shù)不為0得出字母的取值范圍，有時(shí)要把方程先化為一般式.【變式2-1】（2022秋?連平縣校級(jí)期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2且a≠2 B．a(chǎn)≥0且a≠2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≠2【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式：形如：ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)且a≠0），可得a﹣2≠0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?羅山縣期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a、b的取值為（）A．a(chǎn)≠0，b＝4 B．a(chǎn)≠0，b＝2 C．a(chǎn)≠﹣3，b＝4 D．a(chǎn)≠3，b＝4【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出a﹣3≠0，b﹣2＝2求出即可．【解答】解：由題意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2解得a≠3，b＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．【變式2-3】（2022秋?武城縣期末）關(guān)于x的方程（m﹣2）xm2?2+x是（）A．m≠2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m﹣2）xm2∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，解得：m＝﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)題意得出m﹣2≠0和m2﹣2＝2是解此題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2023?龍川縣校級(jí)開學(xué)）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或m≠2 D．m≠﹣2，且m≠2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出m2﹣4≠0，再求出m即可．【解答】解：∵（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，解得：m≠﹣2且m≠2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出m2﹣4≠0是解此題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2023春?淮北月考）若(a?1)x2+a+1x=2是關(guān)于x的一元二次方程，則a【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及二次根式有意義的條件直接列不等式求解即可得到答案．【解答】解：∵(a?1)x2+∴a﹣1≠0，a+1≥0，解得：a≥﹣1且a≠1．故答案為：a≥﹣1且a≠1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件．題型三由一元二次方程的定義求字母的值題型三由一元二次方程的定義求字母的值【例題3】（2023春?青田縣月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，x的最高次數(shù)是2，且二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，從而得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得m+1＝2，∴m＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．解題技巧提煉根據(jù)一元二次方程的定義，利用未知數(shù)的最高次數(shù)是2和二次項(xiàng)系數(shù)不為0得出字母的值.【變式3-1】（2022秋?南充期末）關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．m≠2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義作答．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，∴m﹣2≠0．∴m≠2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式3-2】（2023?嶗山區(qū)二模）關(guān)于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，則a的值為．【分析】利用一元二次方程的定義，可得出|a|﹣1＝2，解之即可求出a的值．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，∴|a|﹣1＝2，解得：a＝±3，∴a的值為±3．故答案為：±3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義以及絕對(duì)值，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）若xm2?2+x?3=0是關(guān)于是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得m2﹣2＝2，進(jìn)一步求解即可．【解答】解：∵xm2?2∴m2﹣2＝2，∴m＝2或m＝﹣2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023春?天長(zhǎng)市校級(jí)期中）已知(a?2)xa2?2?x+3=0A．±2B．2 C．﹣2 D．以上選項(xiàng)都不對(duì)【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程，根據(jù)定義解答即可．【解答】解：∵(a?2)xa2∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義，解一元二次方程，熟記定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2021秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，且不含x的一次項(xiàng)，則m＝．【分析】再根據(jù)題意可得m≠0，m2﹣3m＝0，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，且不含x的一次項(xiàng)，∴m≠0，m2﹣3m＝0，∴m＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．【變式3-6】（2023春?崇左月考）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？【分析】（1）由一元一次方程的定義得到：m2﹣1＝0，由此可求得m的值；（2）根據(jù)一元二次方程的定義得到：m2﹣1≠0，由此可求得m的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程，∴m2﹣1＝0，解得m＝±1；（2）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程、一元一次方程的定義，熟知一元一次方程的未知數(shù)的系數(shù)不等于零，一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零是解題的關(guān)鍵．題型四一元二次方程的一般形式題型四一元二次方程的一般形式【例題4】（2022秋?恩施市期中）二元一次方程1﹣8x+16x2＝2+4x的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是．常數(shù)項(xiàng)是．【分析】方程整理為一般形式后，求出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和即可．【解答】解：方程整理得：16x2﹣12x﹣3＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)為16，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣12，常數(shù)項(xiàng)為﹣3，故答案為：16；﹣12；﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．解題技巧提煉一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．【變式4-1】（2023?東莞市校級(jí)模擬）將方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【分析】將原方程化為一般形式，進(jìn)而可得出a，b，c的值．【解答】解：將原方程化為一般形式得：4x2+8x﹣25＝0，∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，牢記“一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式”是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022秋?北塔區(qū)期末）將一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化為一般形式后，對(duì)應(yīng)的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a(chǎn)＝1，b﹣1，c＝6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝2【分析】按照要求將一元二次方程化成ax2+bx+c＝0的形式，然后確定a，b，c的值即可．【解答】解：（x+2）2＝5x﹣2，x2+4x+4﹣5x+2＝0，x2﹣x+6＝0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c＝0（a＞0）．【變式4-3】（2023?桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是．【分析】先去掉括號(hào)，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，即可得出答案．【解答】解：x2﹣（3x﹣2）＝8，x2﹣3x+2＝8，x2﹣3x﹣6＝0，故答案為：x2﹣3x﹣6＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．【變式4-4】將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．（1）3x（x+1）＝4（x﹣2）；（2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）；（3）2（y+5）（y﹣1）＝y(tǒng)2﹣8；（4）2t＝（t+1）2．【分析】（1）先去括號(hào)、移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，再找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可；（2）先去括號(hào)、移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，再找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可；（3）先去括號(hào)、移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，再找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可；（4）先去括號(hào)、移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，再找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可．【解答】解：（1）3x2+3x﹣4x+8＝0，3x2﹣x+8＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，常數(shù)項(xiàng)8；（2）x2+6x+9＝x2﹣x+8x﹣2，x﹣11＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為0，一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)﹣11；（3）y2+8y﹣10﹣y2+8＝0，y2+8y﹣2＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為8，常數(shù)項(xiàng)﹣2；（4）t2+1＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握去括號(hào)、移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化為一般形式后為2x2﹣3x﹣1＝0，試求a+bc【分析】把原方程運(yùn)用完全平方公式展開，化為一般形式，與已知方程系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，求出a、b、c的值，計(jì)算得到答案．【解答】解：原方程可化為：ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＝0，由題意得，a＝2，2a﹣b＝3，a﹣b+c＝﹣1，解得：a＝2，b＝1，c＝﹣2，a+bc【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的一般形式，運(yùn)用完全平方公式和合并同類項(xiàng)的方法正確變形方程是解題的關(guān)鍵，注意系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的運(yùn)用．題型五由一元二次方程的解求字母的值題型五由一元二次方程的解求字母的值【例題5】（2023?蚌埠二模）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一個(gè)解，則a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系數(shù)a的值．【解答】解：∵x＝1是方程的解，∴1+1+2a＝0，∴a＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系數(shù)的值．解題技巧提煉將一元二次方程的根代入原方程得到關(guān)于字母參數(shù)的方程并求解即可．【變式5-1】（2023?淮陰區(qū)模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣x+m＝0的一個(gè)根是2，則m的值為．【分析】把x＝2代入方程x2﹣x+m＝0得4﹣2﹣m＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣x+m＝0得4﹣2+m＝0，解得m＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式5-2】（2023?巧家縣二模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一個(gè)根為0，則m的值為（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．0【分析】先把x＝0代入原方程得到m2﹣9＝0，再解關(guān)于m的方程得到m1＝3，m2＝﹣3，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定m的值．【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0得m2﹣9＝0，解得m1＝3，m2＝﹣3，∵m﹣3≠0，∴m的值為﹣3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定義．【變式5-3】（2023春?鹿城區(qū)期中）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一個(gè)根是1，則a的值是（）A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．3【分析】將方程的根代入求解即可得到答案；【解答】解：∵x2+x+a2﹣18＝0的一個(gè)根是1，∴12+1+a2﹣18＝0，解得：a＝±4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)一元二次方程的根求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是將根代入列式求解．【變式5-4】（2023?綿陽(yáng)三模）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將﹣1代入關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到關(guān)于k的方程求解，再根據(jù)一元二次方程定義確定k值即可得到答案．【解答】解：由題意得：把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，解得：k＝±3，∵k﹣3≠0，∴k≠3，∴k＝﹣3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2023?博羅縣校級(jí)開學(xué)）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一個(gè)根，求m的值．【分析】將x＝2代入x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0，求出m的值即可．【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一個(gè)根，∴22﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，∴m2﹣m＝0，∴m＝0或m＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的根與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型六由一元二次方程的解求代數(shù)式的值題型六由一元二次方程的解求代數(shù)式的值【例題6】（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023【分析】根據(jù)一元二次方程解得定義即可得到a+b＝1，再由2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)解是x＝1，∴a+b﹣1＝0，∴a+b＝1，∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣1＝2021，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了代數(shù)式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉將一元二次方程的根代入原方程得到關(guān)于字母參數(shù)的方程，然后利用整體代入法求代數(shù)式的值即可.【變式6-1】（2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則﹣2a2﹣4a的值是．【分析】將a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a(bǔ)2+2a＝3整體代入﹣2a2﹣4a，即可得出答案．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴﹣2a2﹣4a＝﹣2（a2+2a）＝﹣2×3＝﹣6，故答案為：﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023?定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，則6m2﹣9m+2023的值為．【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到2m2﹣3m＝﹣1，再把2m2﹣3m＝﹣1整體代入所求式子中求解即可．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，∴2m2﹣3m+1＝0，∴2m2﹣3m＝﹣1，∴6m2﹣9m+2023＝3（2m2﹣3m）+2023＝﹣1×3+2023＝2020，故答案為：2020．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋?大荔縣期末）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+3m﹣2022＝0，則m2+3m＝2022，然后利用降次的方法對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵m是方程x2+3x﹣2022＝0的一個(gè)根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴m3+2m2﹣2025m+2022＝m（m2+3m﹣2025）﹣m2+2022＝m（2022﹣2025）﹣m2+2022＝﹣3m﹣m2+2022＝﹣2022+2022＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了代數(shù)式的變形．【變式6-4】（2023?鶴山市模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：(a2?4a2?4a+4?1【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝[(a+2)(a?2)(a?2)=a+3=a∵a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根，∴a2+3a﹣4046＝0，∴a2+3a＝4046，把a(bǔ)2+3a＝4046代入原式=4046【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2022春?豐城市校級(jí)期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代數(shù)式a2﹣2019a+2020【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+1＝0，則a2＝2020a﹣1，然后把a(bǔ)2＝2020a﹣1代入原式即可求解；（2）可化簡(jiǎn)得原式＝a+1【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+1=a=2020a?1+1＝2020﹣1＝2019．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．題型七已知一元二次方程的根求另一方程的根題型七已知一元二次方程的根求另一方程的根【例題7】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義、一元二次方程的定義求解，代入方程的左右兩邊，看左右兩邊是否相等．【解答】解：在這個(gè)式子中，如果把x＝1代入方程，左邊就變成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：當(dāng)x＝1時(shí)，方程的左右兩邊相等，即方程必有一根是1，同理可以判斷方程必有一根是﹣1．則方程的根是1，﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題就是考查了方程的解的定義，判斷一個(gè)數(shù)是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右兩邊，看左右兩邊是否相等．解題技巧提煉已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定義代入原方程中，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程，再來(lái)求另一方程的根.【變式7-1】（2023春?崇左月考）在關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定【分析】分別把x＝1或x＝﹣2代入方程可得到足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，則根據(jù)一元二次方程的解的定義可判斷方程的根．【解答】解：當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＝0，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，4a﹣2b+c＝0，所以方程的根分別為1或﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式7-2】（2023春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一個(gè)根是x＝m，則方程x2+bx+a＝0有一個(gè)根是（）A．x＝m B．x＝﹣m C．x=1m D．x【分析】利用一元二次方程的解，可得出am2+bm+1＝0，在等式的兩邊同時(shí)除以m2，可得出a+b?1m+（1m）2＝0，進(jìn)而可得出方程x2+bx+a＝0有一個(gè)根是【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一個(gè)根是x＝m，∴am2+bm+1＝0，在等式的兩邊同時(shí)除以m2得：a+b?1m+（1m∴方程x2+bx+a＝0有一個(gè)根是x=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，牢記“能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解”是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個(gè)根為x＝2021，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】對(duì)于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，設(shè)t＝x﹣1得到at2+bt﹣3＝0，利用at2+bt﹣3＝0有一個(gè)根為t＝2021得到x﹣1＝2021，從而可判斷一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為x＝2022．【解答】解：對(duì)于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b即a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，設(shè)t＝x﹣1，所以at2+bt﹣3＝0，而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一根為x＝2021，所以at2+bt﹣3＝0有一個(gè)根為t＝2021，則x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為x＝2022．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式7-4】（2023?安源區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個(gè)根為x＝5，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為．【分析】把a(bǔ)（x﹣1）2+bx﹣3＝b化為a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，再結(jié)合題意得到x﹣1＝5，解出即可．【解答】解：∵a（x﹣1）2+bx﹣3＝b，∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0．令x﹣1＝t，則at2+bt﹣3＝0，∵方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個(gè)根為x＝5，∴方程at2+bt﹣3＝0有一根為t＝5，∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0有一根為x﹣1＝5，∴x﹣1＝5，∴x＝6．故答案為：x＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的根的含義，掌握利用整體未知數(shù)求解方程的根是解此題的關(guān)鍵．【變式7-5】（2022秋?南安市期中）兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常數(shù)，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（）A．±2020 B．?12020 C．﹣2020 【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵a≠0，c≠0，a+c＝0，∴ca∴x2+bax+ca=0，c∴x2+bax﹣1＝0，x2?∵x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，∴x＝2020是方程x2+ba∴20202+b∴（﹣2020）2?b∴x＝﹣2020是方程x2?ba即x＝﹣2020是方程cx2+bx+a