高考數學選填壓軸題型第9講復雜數列的通項公式求解問題專題練習(原卷版+解析)

7/7第9講復雜數列的通項公式求解問題一．方法綜述數列的通項公式是數列高考中的熱點問題，求數列通項公式時會滲透多種數學思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數陣（數表）問題、點列問題、函數問題中、由復雜遞推公式求解數列通項公式問題、兩邊夾問題中的數列通項公式問題、下標為形式的數列通項公式問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數陣（數表）中涉及到的數列通項公式問題【例1】（2020·江西九江模擬）將一些數排成倒三角形如圖所示，其中第一行各數依次為1，2，3，…，2018，從第二行起，每一個數都等于他“肩上”的兩個數之和，最后一行只有一個數M，則M＝（）A．201822015 B．201922016 C．201822016 D．201922017【舉一反三】5．以下數表的構造思路來源于我國南宋數學家所著的《詳解九章算術》一書中的“楊輝三角”:該表由若干行數字組成,從第二行起,每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和,表中最后一行僅有一個數,則這個數為A． B． C． D．2．（2020·河南省實驗中學）在正整數數列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數染成紅色．先染1；再染3個偶數2，4，6；再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個連續(xù)偶數16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，則在這個紅色子數列中，由1開始的第2019個數是（）A．3972 B．3974 C．3991 D．39933.（2020南充模擬）如圖所示的“數陣”的特點是：每行每列都成等差數列，則數字73在圖中出現的次數為____．類型二函數問題中涉及到的數列通項公式問題【例2】已知，又函數是上的奇函數，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．【舉一反三】（2020·上海中學高三期中）對函數設，，則函數的零點個數的通項公式為_________；2.（2020河北省石家莊市模擬）定義在正實數上的函數，其中表示不小于x的最小整數，如，，當時，函數的值域為，記集合中元素的個數為，則=____.3.已知是上的奇函數，，則數列的通項公式為類型三由復雜遞推公式求解數列通項公式問題【例3】（2020·天津市第一百中學高三）已知數列滿足，，若，則數列的通項（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·安徽高考模擬）已知首項為的正項數列滿足，若，則實數的值為（）A． B． C． D．2．已知數列滿足，則________類型四兩邊夾問題中的數列通項公式問題【例4】（2020·安徽六安一中）已知數列滿足，且，則（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·浙江模擬）對任意的n∈N*，數列{an}滿足且，則an等于（）A． B． C． D．2.設數列滿足，且對任意的，滿足，,則_________3．（2020·四川樹德中學）設定義在上的函數，，且對任意，滿足，，則（）A． B． C． D．三．強化訓練1．（2020·福建高三期末（理））已知數列的前n項和為，且滿足，則（）A． B． C． D．2．（2020·天津靜海一中）在數列中，，，則（）A． B． C． D．3．已知函數的定義域為，當時，；對任意的，成立.若數列滿足，且，則的值為（）A． B． C． D．【來源】海南省海南中學2021屆高三第五次月考數學試題4．（2020·上海市建平中學高三）數列為1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先給出，接著復制該項后，再添加其后繼數2，于是，，然后再復制前面的所有項1、1、2，再添加2的后繼數4，于是，，，，接下來再復制前面的所有項1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此繼續(xù)，則（）A．16 B．4 C．2 D．15．（2020·山東高三期末）對于數列，規(guī)定為數列的一階差分數列，其中，對自然數，規(guī)定為數列的階差分數列，其中.若，且，則數列的通項公式為（）A． B．C． D．6．已知數列各項均不為零，且，若，則（）A．19 B．20 C．22 D．23【來源】河南省駐馬店市新蔡縣2020-2021學年高三上學期四校聯考理數試題7．（2015·上海師大附中高三期中（理））若數列滿足：對任意的，只有有限個正整數使得成立，記這樣的的個數為，則得到一個新數列．例如，若數列是1，2，，，，則數列是0，1，2，，已知對任意的，，則A． B． C． D．8.（2020浙江省湖州三校）已知數列滿足，，則使的正整數的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．（2020·山西模擬）黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個比例，現把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設為，每扇形的半徑設為滿足，若將的每一項按照上圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的對應正方形格子的面積之和為，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．10．（2020·浙江高三）已知數列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．11．數列中，，，則（）A． B． C． D．12．已知數列滿足，則（）A． B． C． D．13．已知數列滿足，且(其中為數列前項和)，是定義在上的奇函數，且滿足，則___________.【來源】上海市虹口區(qū)2021屆高三上學期一模數學試題14．數列滿足，若時，，則的取值范圍是__________．15．設是定義在上且周期為6的周期函數，若函數的圖象關于點對稱，函數在區(qū)間（其中）上的零點的個數的最小值為，則__________16．隨著科學技術的不斷發(fā)展，人類通過計算機已找到了630萬位的最大質數．陳成在學習中發(fā)現由41，43，47，53，61，71，83，97組成的數列中每一個數都是質數，他根據這列數的一個通項公式，得出了數列的后幾項，發(fā)現它們也是質數．于是他斷言：根據這個通項公式寫出的數均為質數．請你寫出這個通項公式，從這個通項公式舉出一個反例，說明陳成的說法是錯誤的：.18.（2020河北省衡水市第二中學）數列中的項按順序可以排列成如圖的形式，第一行項，排；第二行項，從左到右分別排，；第三行項，……以此類推，設數列的前項和為，則滿足的最小正整數的值為（）4,4,434,43,44,43,4,4…19．（2020·北京高三（理））已知數列{}對任意的n∈N*，都有∈N*，且=①當=8時，_______②若存在m∈N*，當n>m且為奇數時，恒為常數P，則P=_______20.已知等差數列，等比數列的公比為，設，的前項和分別為，．若，則__________．21.等差數列和等比數列的各項均為正整數，且的前項和為，數列是公比為16的等比數列，.則的通項公式____________.22.在直角坐標平面中，已知點列，，，…，，…，其中是正整數.連接的直線與軸交于點，連接的直線與軸交于點，…，連接的直線與軸交于點，….則數列的通項公式為___________.23．（2020·江蘇省揚中高級中學）已知數列的前項和為，且，則________.24．（2020·湖北高三模擬）在正項數列中，，且，若，則_______.第9講復雜數列的通項公式求解問題第9講復雜數列的通項公式求解問題一．方法綜述數列的通項公式是數列高考中的熱點問題，求數列通項公式時會滲透多種數學思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數陣（數表）問題、點列問題、函數問題中、由復雜遞推公式求解數列通項公式問題、兩邊夾問題中的數列通項公式問題、下標為形式的數列通項公式問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數陣（數表）中涉及到的數列通項公式問題【例1】（2020·江西九江模擬）將一些數排成倒三角形如圖所示，其中第一行各數依次為1，2，3，…，2018，從第二行起，每一個數都等于他“肩上”的兩個數之和，最后一行只有一個數M，則M＝（）A．201822015 B．201922016 C．201822016 D．201922017【答案】B【解析】【分析】記第行的第一個數為，由規(guī)律可總結得到，構造出，可知為等差數列，從而可求得，根據共行，知，代入可求得結果.【詳解】記第行的第一個數為，則，，，，…，，，即是以為首項，為公差的等差數列又每行比上一行的數字少個最后一行為第行,故選：【點睛】本題考查由數列中的項求解通項公式的問題，關鍵是能夠通過每一行首個數字所呈現出的規(guī)律，總結出遞推關系式，利用構造的方式得到等差數列，從而求得數列的通項公式.【舉一反三】5．以下數表的構造思路來源于我國南宋數學家所著的《詳解九章算術》一書中的“楊輝三角”:該表由若干行數字組成,從第二行起,每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和,表中最后一行僅有一個數,則這個數為A． B． C． D．【答案】B【解析】觀察每一行第一個數的規(guī)律：

第一行的第一個數為，

第二行的第一個數為，

第三行的第一個數為，

第四行的第一個數為，

……

第行的第一個數為，

表中一共2018行，

∴第2018行的第一個數即，

故選B．2．（2020·河南省實驗中學）在正整數數列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數染成紅色．先染1；再染3個偶數2，4，6；再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個連續(xù)偶數16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，則在這個紅色子數列中，由1開始的第2019個數是（）A．3972 B．3974 C．3991 D．3993【答案】D【解析】【分析】根據題意知，每次涂成紅色的數字成等差數列，并且第n次染色時所染的最后一個數是n(2n-1)，可以求出2019個數是在第45次染色的倒數第7個數，因此可求得結果．【詳解】第1此染色的數為1=1，共染色1個，第2次染色的最后一個數為6=2，共染色3個，第3次染色的最后一個數為15=3，共染色5個，第4次染色的最后一個數為28=4，共染色7個，第5次染色的最后一個數為45=5，共染色9個，…∴第n次染色的最后一個數為n，共染色2n-1個，經過n次染色后被染色的數共有1+3+5+…+（2n-1）=n2個，而2019，∴第2019個數是在第45次染色時被染色的，第45次染色的最后一個數為45，且相鄰兩個數相差2，∴2019＝45＝3993．故選D．3.（2020南充模擬）如圖所示的“數陣”的特點是：每行每列都成等差數列，則數字73在圖中出現的次數為____．【答案】12【指點迷津】1.本題主要考查等差數列通項與整數解問題.根據每行每列都成等差數列，先從第一行入手求出第一行數組成的數列的通項公式，再把第一行的數當成首項，再次根據等差數列這一性質求出第數列組成的數列，最后根據整數解方程的解法列舉所有解即可.2.數陣：由實數排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確定數陣的規(guī)律及求某項.對于數陣首先要明確“行”與“列”的概念.橫向為“行”，縱向為“列”，在項的表示上通常用二維角標進行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在題目中經常會出現關于某個數的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數的特點，確定所求數的序號，再根據每行元素個數的特點（數列的通項），求出前行共含有的項的個數，從而確定該數位于第幾行，然后再根據數之間的規(guī)律確定是該行的第幾個，即列.類型二函數問題中涉及到的數列通項公式問題【例2】已知，又函數是上的奇函數，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在R上為奇函數，故,代入得:當時,.令,則,上式即為:.當為偶數時:.當為奇數時:.綜上所述,.所以C選項是正確的.【舉一反三】（2020·上海中學高三期中）對函數設，，則函數的零點個數的通項公式為_________；【答案】【解析】計算易知：，則當時，得到即，對應數列為；當時，得到即，（舍去），繼續(xù)迭代得到即當時：方程的解的個數為，，；當時：方程的解的個數為，；當時：方程的解的個數為，，.綜上所述：2.（2020河北省石家莊市模擬）定義在正實數上的函數，其中表示不小于x的最小整數，如，，當時，函數的值域為，記集合中元素的個數為，則=____.【答案】【解析】易知：當n=1時，因為x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.當n=2時，因為x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以.當n=3時，因為x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，；當n=4時，因為x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以；當n=5時，因為x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以.由此類推：.故.【指點迷津】1.“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.2.已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式.3.已知是上的奇函數，，則數列的通項公式為【答案】【解析】∵是奇函數，∴，令，，令，，∴，∴，學科&網令，∴，令，∴，∵，∴，同理可得，，∴，類型三由復雜遞推公式求解數列通項公式問題【例3】（2020·天津市第一百中學高三）已知數列滿足，，若，則數列的通項（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,,,則,數列是首項為2，公比為2的等比數列，，利用疊加法，，，則.選B.【舉一反三】1．（2020·安徽高考模擬）已知首項為的正項數列滿足，若，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】已知關系式可得：，令，可得；利用對數法可證得為等比數列，從而可求得，進而得到，表示出后與已知條件對應，則可求得的值.【詳解】由題意得：令，則，兩邊取對數得：又，則數列是首項為，公比為的等比數列，即又,本題正確選項：2．已知數列滿足，則________【答案】【解析】，，，設，則，，兩邊取對數，，，所以是首項，公比的等比數列，，，故答案為：類型四兩邊夾問題中的數列通項公式問題【例4】（2020·安徽六安一中）已知數列滿足，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意得出，由，得出，再利用累加法得出的值?！驹斀狻?，，又，，，，則，于是得到，上述所有等式全部相加得，因此，，故選：B?！军c睛】本題考查數列項的計算，考查累加法的應用，解題的關鍵就是根據題中條件構造出等式，考查分析問題的能力和計算能力?！九e一反三】1．（2020·浙江模擬）對任意的n∈N*，數列{an}滿足且，則an等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵且，∴，，即，∴，故選A.2.設數列滿足，且對任意的，滿足，,則_________【答案】【指點迷津】解題的關鍵是要通過所給的不等關系找到數列的項的特征，即，然后經過恰當的變形，將求的問題轉化為數列求和的問題去處理，對于求和問題要把握準數列的公比和數列的項數，這是比較容易出現錯誤的地方.3．（2020·四川樹德中學）設定義在上的函數，，且對任意，滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先把轉化成，與進行加法運算，依次推倒，得到，再根據條件，得到，然后根據等式關系，用累加法計算得到結果.【詳解】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴===+++++3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.三．強化訓練1．（2020·福建高三期末（理））已知數列的前n項和為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】當時，求得，當時，，得到，即可得到是以為首項，為公比的等比數列，求出的通項公式，即可得解.【詳解】解：①，當時，解得，當時，②，①減②得，,則是以為首項，為公比的等比數列，,故選：2．（2020·天津靜海一中）在數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用累加法先求出,進而求得即可【詳解】由題,,則,…,,所以由累加法可得,,即,則,所以,故選：D3．已知函數的定義域為，當時，；對任意的，成立.若數列滿足，且，則的值為（）A． B． C． D．【來源】海南省海南中學2021屆高三第五次月考數學試題【答案】C【解析】當時，，在上任取兩數，且，令，則．，即在上是單調增函數．令，則，解得．而數列滿足，，，則，∴數列是公比為，首項為的等比數列，得：，∴，故.故選：C．4．（2020·上海市建平中學高三）數列為1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先給出，接著復制該項后，再添加其后繼數2，于是，，然后再復制前面的所有項1、1、2，再添加2的后繼數4，于是，，，，接下來再復制前面的所有項1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此繼續(xù)，則（）A．16 B．4 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】利用已知條件，推出，及時，有，再求解的值即可．【詳解】由數列的構造方法可知，，，，可得，所以數首次出現于第項，所以當時，有，故．5．（2020·山東高三期末）對于數列，規(guī)定為數列的一階差分數列，其中，對自然數，規(guī)定為數列的階差分數列，其中.若，且，則數列的通項公式為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據題中定義可得，即，即，等式兩邊同時除以，得，且，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，，因此，.故選：B.6．已知數列各項均不為零，且，若，則（）A．19 B．20 C．22 D．23【來源】河南省駐馬店市新蔡縣2020-2021學年高三上學期四校聯考理數試題【答案】A【解析】由得，則.令，則數列是公差為1，首項為t1的等差數列，所以，所以.所以當n1時，，也符合上式，所以；所以公差,解得,所以，所以，故選A.7．（2015·上海師大附中高三期中（理））若數列滿足：對任意的，只有有限個正整數使得成立，記這樣的的個數為，則得到一個新數列．例如，若數列是1，2，，，，則數列是0，1，2，，已知對任意的，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】對任意的，，則，，，，，，，，，猜想．故選：．8.（2020浙江省湖州三校）已知數列滿足，，則使的正整數的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,則,所以，從而，，因為,所以數列單調遞增，設當時,當時,所以當時，，，從而,因此,選C.9．（2020·山西模擬）黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個比例，現把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設為，每扇形的半徑設為滿足，若將的每一項按照上圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的對應正方形格子的面積之和為，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得為以為長和寬矩形的面積，即；；又，故正確；因為，所以D錯誤,選D.10．（2020·浙江高三）已知數列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】考察函數，則先根據單調性可得，再利用單調性可得.【詳解】考察函數，由可得在單調遞增，由可得在單調遞減且，可得，數列為單調遞增數列，如圖所示：且，，圖象可得，所以，故選B.11．數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，故，記，則，兩邊取倒數，得，所以是以為公差的等差數列，又，所以，所以，故.故選：C.12．已知數列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，．令，當時，，故當時，，即，．又，，所以.故選：B13．已知數列滿足，且(其中為數列前項和)，是定義在上的奇函數，且滿足，則___________.【來源】上海市虹口區(qū)2021屆高三上學期一模數學試題【答案】【解析】因為是定義在上的奇函數，且滿足所以，所以的最小正周期為又因為數列滿足，且①；當時，②；①減②得，所以，所以以為首項，為公比的等比數列，所以，即所以又所以被除余所以故答案為：014．數列滿足，若時，，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】,,故填.15．設是定義在上且周期為6的周期函數，若函數的圖象關于點對稱，函數在區(qū)間（其中）上的零點的個數的最小值為，則__________【答案】，，或（表示不超過的最大整數）【解析】將的圖象向左平移1個單位，得到的圖象，因為函數的圖象關于點對稱，即有的圖象關于原點對稱，即為定義在上的奇函數，可得，又為周期為6的周期函數，可得．

可令，則，即，可得，

當時，在上，有；當時，在上，有；

當時，在上，有；

當時，在上，有，，…，

可得

即，或（表示不超過的最大整數）故答案為：，或（表示不超過的最大整數）16．隨著科學技術的不斷發(fā)展，人類通過計算機已找到了630萬位的最大質數．陳成在學習中發(fā)現由41，43，47，53，61，71，83，97組成的數列中每一個數都是質數，他根據這列數的一個通項公式，得出了數列的后幾項，發(fā)現它們也是質數．于是他斷言：根據這個通項公式寫出的數均為質數．請你寫出這個通項公式，從這個通項公式舉出一個反例，說明陳成的說法是錯誤的：.【答案】見解析【詳解】解，令n=41，得不是質數．17.定義運算：，若數列滿足且()，則數列的通項公式＝________.【