第9題 樣本的數(shù)字特征（解析）

第9題樣本的數(shù)字特征一、原題呈現(xiàn)【原題】有一組樣本數(shù)據(jù),,…,,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù),,…,,其中(為非零常數(shù),則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,A錯誤；設(shè)第一組中位數(shù)為,則第二組的中位數(shù)為,,所以,B錯誤；第一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,第二組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,C正確；若第一組數(shù)據(jù)的極差為,則第二組數(shù)據(jù)的極差為,故D正確；故選CD【就題論題】本題涉及到中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差及極差等樣本的數(shù)字特征,題型是常規(guī)題型,考生在復(fù)習(xí)時訓(xùn)練的比較多,絕大部分考生都能得分.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查樣本的數(shù)字特征,考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.【考情分析】概率與統(tǒng)計是高考重點(diǎn),在高考試卷中既有客觀題又有解答題,由于該模塊涉及知識點(diǎn)比較多,高考命題沒有固定的熱點(diǎn),一般情況下,統(tǒng)計與概率、隨機(jī)變量的分布列都會涉及,客觀題至少會有2道.【得分秘籍】(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)=1\*GB3①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).=2\*GB3②中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?處在正中間位置的數(shù)(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).=3\*GB3③平均數(shù)：如果n個數(shù)x1,x2,…,xn,那么叫做這n個數(shù)的平均數(shù).(2)三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)眾數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；②容易計算.缺點(diǎn)：它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息,無法客觀地反映總體特征.中位數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②容易計算,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息.缺點(diǎn)：對極端值不敏感.平均數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量.一般情況下可以反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.缺點(diǎn)：代表性不強(qiáng),任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大.(3)極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差①一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.②標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,=3\*GB3③方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方.(3)對方差與標(biāo)準(zhǔn)差概念的理解①標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.②標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是：[0,+∞).“獨(dú)立”與“互斥”的區(qū)別=3\*GB3③因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位相同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.(4)有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,方差為s2.則ax1,ax2,…,axn的平均數(shù)為,方差為a2s2.數(shù)據(jù)mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)為,方差為m2s2.(5)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的兩個作用①標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大,數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小,數(shù)據(jù)的離散程度較小.②在實(shí)際應(yīng)用中,常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策.在平均值相等的情況下,比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性.(6)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關(guān)系①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來顯示,即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.=3\*GB3③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.【易錯警示】混淆標(biāo)準(zhǔn)差與方差求數(shù)據(jù)的中位數(shù)時沒有按照從小到大（或從大到小）的順序排列．三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）一、單選題1．（2021福建省龍巖市高三三模）平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).如圖所示的統(tǒng)計圖,記這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為,中位數(shù)為,平均數(shù)為,則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由統(tǒng)計圖可得,眾數(shù)為；共有個數(shù)據(jù),處在中間位置的兩個數(shù)據(jù)為,所以中位數(shù)為；平均數(shù),所以.故選B.2．（2021廣東省深圳市高三一模）2020年12月31日,國務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制發(fā)布,國藥集團(tuán)中國生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監(jiān)局批準(zhǔn)附條件上市,其保護(hù)效力達(dá)到世界衛(wèi)生組織及藥監(jiān)局相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求,現(xiàn)已對18至59歲的人提供.根據(jù)某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖）估計該地接種年齡的中位數(shù)為（）A．40 B．39 C．38 D．37【答案】C【解析】年齡位于的頻率為,年齡位于的頻率為,年齡位于的頻率為,年齡位于的頻率為,因?yàn)?而,所以中位數(shù)位于,設(shè)中位數(shù)為,則,解得,故選C.3．（2021河北省邯鄲市高三一模）構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向．某中學(xué)積極響應(yīng)黨的號召,開展各項有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動．如圖所示的是該校高三（1）、（2）班兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖（得分越高,說明該項教育越好）．下列說法正確的是（）A．高三（2）班五項評價得分的極差為1.5B．除體育外,高三（1）班的各項評價得分均高于高三（2）班對應(yīng)的得分C．高三（1）班五項評價得分的平均數(shù)比高三（2）班五項評價得分的平均數(shù)要高D．各項評價得分中,這兩班的體育得分相差最大【答案】C【解析】對于A,高三（2）班德智體美勞各項得分依次為9.5,9,9.5,9,8.5,所以極差為,A錯誤；對于B,兩班的德育分相等,B錯誤；對于C,高三（1）班的平均數(shù)為,（2）班的平均數(shù)為,故C正確；對于D,兩班的體育分相差,而兩班的勞育得分相差,D錯誤,故選C．4．（2021湖南省衡陽市高三下學(xué)期考前預(yù)測）俗話說：“一心不能二用”,意思是我們做事情要專心,那么,“一心”到底能否“二用”,某高二幾個學(xué)生在學(xué)完《統(tǒng)計》后,做了一個研究,他們在本年級隨機(jī)抽取男生和女生各100名,要求他們同時做一道數(shù)學(xué)題和英語聽力題,然后將這些同學(xué)完成問題所用時間制成分布圖如下,則下列說法正確的是（）①男生“一心二用”所需平均時間平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都強(qiáng)于男生；③女生用時眾數(shù)小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正態(tài)分布.A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④【答案】D【解析】根據(jù)圖形可看出,男生“一心二用”所需平均時間平均值大于女生；并不是所有女生“一心二用”能力都強(qiáng)于男生；女生用時眾數(shù)小于男生；男生“一心二用”能力分布近似于正態(tài)分布；故①③④正確.故選D.5．（2021江蘇省南通市學(xué)科基地高三下學(xué)期高考全真模擬）甲?乙?丙?丁四人參加奧運(yùn)會射擊項目的選拔賽,四人的平均成績和方差見下表甲乙丙丁平均成績/環(huán)9.08.98.69.0方差環(huán)2.82.82.13.5如果從這四人中選擇一人參加奧運(yùn)會射擊項目比賽,那么最佳人選是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】甲?丁的平均成績高于乙?丙的平均成績,甲的方差小于丁的方差,說明甲的成績較穩(wěn)定.故選A6．（2021山東省泰安肥城市高三三模）已知某城市月平均氣溫為,如當(dāng)月最熱日和最冷日的平均氣溫相差不超過,則該月平均氣溫在及以上的日子最多有多少天？（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)平均氣溫度有天,度以下有天,∴,化簡得,要使度及以上的天數(shù)多,氣溫就要低,∴度時,天數(shù)最多為天（因?yàn)椴坏教欤?故最多有天.故選B．7．（2021江蘇省六校高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性聯(lián)考）學(xué)校組織開展勞動實(shí)踐,高二某班名學(xué)生利用假期時間前往敬老院?消防隊等場所勞動服務(wù).經(jīng)統(tǒng)計,該名學(xué)生的勞動服務(wù)時長平均為小時,標(biāo)準(zhǔn)差為.后來經(jīng)核實(shí),發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計的甲?乙兩名同學(xué)的勞動服務(wù)時長有誤.甲同學(xué)的勞動服務(wù)時長實(shí)際為小時,被誤統(tǒng)計為小時；乙同學(xué)的勞動服務(wù)時長實(shí)際為小時,被誤統(tǒng)計為小時.更正后重新計算,得到標(biāo)準(zhǔn)差為,則與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無法判斷【答案】C【解析】由于甲同學(xué)的勞動服務(wù)時長實(shí)際為小時,被誤統(tǒng)計為小時,乙同學(xué)的勞動服務(wù)時長實(shí)際為小時,被誤統(tǒng)計為小時,所以平均時長不變,設(shè)20名學(xué)生的平均時長為,用分別表示甲乙兩名學(xué)生原來錯誤的服務(wù)時長,用分別表示甲乙兩名學(xué)生正確的服務(wù)時長,分別表示余下18名學(xué)生的勞動服務(wù)時長,所以,,所以只比較與即可,因?yàn)?所以,.故選：C.8．（2021湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期保溫卷）已知某個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為,現(xiàn)加入和兩個新數(shù)據(jù),此時個數(shù)據(jù)的方差為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)原數(shù)據(jù)為、、、、、,則,加入和兩個新數(shù)據(jù)后,所得個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,所得個數(shù)據(jù)的方差為.故選B.9．（2021湖北省武漢市華中師范大學(xué)附中高三下學(xué)期5月押題卷）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年,A?B?C?D四個興趣小組舉行黨史知識競賽,每個小組各派10名同學(xué)參賽,記錄每名同學(xué)失分(均為整數(shù))情況,若該組每名同學(xué)失分都不超過7分,則該組為“優(yōu)秀小組”,已知A?B?C?D四個小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下,則一定為“優(yōu)秀小組”的是（）A．A組中位數(shù)為2,極差為8 B．B組平均數(shù)為2,眾數(shù)為2C．C組平均數(shù)為1,方差大于0 D．D組平均數(shù)為2,方差為3【答案】D【解析】對,因?yàn)橹形粩?shù)為2,極差為8,故最大值大于7,故錯誤；對,如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為,則滿足平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分,故B錯誤；對,如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為,則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分,故C錯誤；對,利用反證法,假設(shè)有一同學(xué)失分超過7分,則方差大于,與題設(shè)矛盾,故每名同學(xué)失分都不超過7分．故D正確．故選D10．（2021河北省張家口市高三三模）某中學(xué)春季運(yùn)動會上,12位參加跳高半決賽同學(xué)的成績各不相同,按成績從高到低取前6位進(jìn)入決賽,如果小明知道了自己的成績后,則他可根據(jù)其他11位同學(xué)成績的哪個數(shù)據(jù)判斷自己能否進(jìn)入決賽（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．方差【答案】A【解析】12位同學(xué)參賽,按成績從高到低取前6位進(jìn)入決賽,正好一半,因此可根據(jù)中位數(shù)判斷小明是否能進(jìn)入決賽.故選A.11．（2021福建省三明市高三三模）某市原來都開小車上班的唐先生統(tǒng)計了過去一年每一工作日的上班通行時間,并進(jìn)行初步處理,得到頻率分布表如下（表示通行時間,單位為分鐘）：通行時間頻率0.10.30.30.20.1該市號召市民盡量減少開車出行,以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.唐先生積極響應(yīng)政府號召,準(zhǔn)備每天從騎自行車和開小車兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種.如果唐先生選擇騎自行車,當(dāng)天上班的通行時間為30分鐘.將頻率視為概率,根據(jù)樣本估計總體的思想,對唐先生上班通行時間的判斷,以下正確的是（）A．開小車出行的通行時間的中位數(shù)為27.5分鐘B．開小車出行兩天的總通行時間少于40分鐘的概率為0.01C．選擇騎自行車比開小車平均通行時間至少會多耗費(fèi)5分鐘D．若選擇騎自行車和開小車的概率相等,則平均通行時間為28.5分鐘【答案】D【解析】對于A,由頻率分布表可知中位數(shù)在內(nèi),若設(shè)中位數(shù)為,則有,解得,所以A錯誤；對于B,由頻率分布表可知開小車出行兩天的總通行時間少于40分鐘的概率為1,所以B錯誤；對于C,由頻率分布表可得開小車平均通行時間為,所以選擇騎自行車比開小車平均通行時間至少會多耗費(fèi)3分鐘,所以C錯誤；對于D,由上面的計算可知平均通行時間為,所以D正確,故選D12．（2021湖北省武漢市高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測）一組數(shù)據(jù)由10個數(shù)組成,將其中一個數(shù)由4改為1,另一個數(shù)由6改為9,其余數(shù)不變,得到新的10個數(shù),則新的一組數(shù)的方差相比原先一組數(shù)的方差的增加值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】一個數(shù)由4改為1,另一個數(shù)由6改為9,故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變,設(shè)沒有改變的八個數(shù)分別為,原先一組數(shù)的方差,新數(shù)據(jù)的方差所以,故選B.二、多選題13．（2021福建省廈門市高三三模）記考試成績的均值為,方差為,若滿足,則認(rèn)為考試試卷設(shè)置合理．在某次考試后,從20000名考生中隨機(jī)抽取1000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計,得到成績的均值為63.5,方差為169,將數(shù)據(jù)分成7組,得到如圖所示的頻率分布直方圖．用樣本估計總體,則（）A．本次考試成績不低于80分的考生約為5000人B．C．本次考試成績的中位數(shù)約為70D．本次考試試卷設(shè)置合理【答案】BC【解析】由頻率分布直方圖可得,故,故B正確.不低于80分的考生的頻率為,故本次考試成績不低于80分的考生約為人,故A錯.由頻率分布直方圖可得前4組的頻率和為,故中位數(shù)約為70,故C正確.由頻率分布直方圖可得：,故本次考試試卷設(shè)置不合理,故D錯誤.故選BC.14．（2021廣東省佛山市高三下學(xué)期二模）百年大計,教育為本.十四五發(fā)展綱要中,教育作為一個專章被提出.近日,教育部發(fā)布2020年全國教育事業(yè)統(tǒng)計主要結(jié)果.其中關(guān)于高中階段教育（含普通高中、中等職業(yè)學(xué)校及其他適齡教育機(jī)構(gòu)）近六年的在校規(guī)模與毛入學(xué)率情況圖表及2020年高中階段教育在校生結(jié)構(gòu)餅圖如下,根據(jù)圖中信息,下列論斷正確的有（）（名詞解釋：高中階段毛入學(xué)率≡在校生規(guī)?！逻m齡青少年總?cè)藬?shù)×100%）

A．近六年,高中階段在校生規(guī)模與毛入學(xué)率均持續(xù)增長B．近六年,高中階段在校生規(guī)模的平均值超過4000萬人C．2019年,未接受高中階段教育的適齡青少年不足420萬D．2020年,普通高中的在校生超過2470萬人【答案】BD【解析】對A,在前四年有下降的過程,故A錯誤；對B,六年的在校生總數(shù)為24037,平均值為4006以上,故B正確；對C,,未接受高中階段教育的適齡青少年有468萬人以上,故C錯誤；對D,,故D正確.故選BD15．（2021湖北省武漢市高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測）某學(xué)校為了促進(jìn)學(xué)生德?智?體?美?勞全面發(fā)展,制訂了一套量化評價標(biāo)準(zhǔn).下表是該校甲?乙兩個班級在某次活動中的德?智?體?美?勞的評價得分(得分越高,說明該項教育越好).下列說法正確的是（）德智體美勞甲班9.59.599.58乙班9.599.598.5A．甲班五項得分的極差為1.5B．甲班五項得分的平均數(shù)高于乙班五項得分的平均數(shù)C．甲班五項得分的中位數(shù)大于乙班五項得分的中位數(shù)D．甲班五項得分的方差小于乙班五項得分的方差【答案】AC【解析】甲班的極差為,故A正確；甲班的平均數(shù),乙班的平均數(shù),故B錯誤；甲班的成績從低到高：8,9,9.5,9.5,9.5,中位數(shù)為9.5,乙班的成績從低到高排列：8.5,9,9,9.5,9.5,中位數(shù)9,故C正確；甲班的成績的方差為,乙班的成績的方差為,,故D錯誤.故選AC.16．（2021江蘇省南通等七市2021屆高三下學(xué)期2月第一次調(diào)研）冬末春初,乍暖還寒,人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱.若發(fā)生群體性發(fā)熱,則會影響到人們的身體健康,干擾正常工作生產(chǎn).某大型公司規(guī)定：若任意連續(xù)天,每天不超過人體溫高于,則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)天體溫高于人數(shù)的統(tǒng)計特征數(shù)中,能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（）A．中位數(shù)為,眾數(shù)為 B．均值小于,中位數(shù)為C．均值為,眾數(shù)為 D．均值為,標(biāo)準(zhǔn)差為【答案】BD【解析】將個數(shù)由小到大依次記為、、、、、、.對于A選項,反例：、、、、、、,滿足中位數(shù)為,眾數(shù)為,與題意矛盾,A選項不合乎要求；對于B選項,假設(shè),即該公司發(fā)生了群體性發(fā)熱,因中位數(shù)為,則,平均數(shù)為,矛盾,故假設(shè)不成立,即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱,B選項合乎要求；對于C選項,反例：、、、、、、,滿足眾數(shù)為,均值為,與題意矛盾,C選項不合乎要求；對于D選項,假設(shè),即該公司發(fā)生群體性發(fā)熱,若均值為,則方差為,即,與D選項矛盾,故假設(shè)不成立,即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱,D選項合乎要求.故選BD.三、填空題17．（2021山東省濟(jì)南市高三二模）習(xí)近平總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動員大會上強(qiáng)調(diào)：“回望過往的奮斗路,眺望前方的奮進(jìn)路,必須把黨的歷史學(xué)習(xí)好、總結(jié)好,把黨的成功經(jīng)驗(yàn)傳承好、發(fā)揚(yáng)好．”某黨小組為響應(yīng)習(xí)總書記號召,重溫百年奮斗的恢弘史詩,以信仰之光照亮前行之路,組織開展黨史學(xué)習(xí)教育知識競賽活動,其中名黨員在這次活動中的成績統(tǒng)計如圖所示．則這個成績的中位數(shù)所對應(yīng)的黨員是______．【答案】甲【解析】根據(jù)條形圖可知,名黨員的成績由高到低依次為：庚、丙、戊、甲、丁、己、乙,因此,這個成績的中位數(shù)所對應(yīng)的黨員是甲.1