2024-2025學(xué)年十五校教育集團(tuán)·鄂豫皖五十三校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年十五校教育集團(tuán)·鄂豫皖五十三校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知命題p：有些實數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則??p是(

)A.?x∈R，?x<0 B.?x∈R，?x≤0

C.?x0∈R，?x02.若復(fù)數(shù)z=2+im?i的實部與虛部相等，則實數(shù)m的值為(

)A.?3 B.?1 C.1 D.33.已知某地區(qū)中學(xué)生的身高X近似服從正態(tài)分布N(164,σ2)，若P(X≥170)=0.3，則P(158<X<170)=A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.84.已知P(A?)=14，P(B?A.512 B.58 C.385.已知a=3π，b=eπ，c=A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b6.已知實數(shù)a，b滿足4a2?2ab+b2=5A.(?∞,10] B.[10,+∞) C.[103,10]7.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，若一過焦點F的斜率k=22的直線與雙曲線交于A、B兩點A.32 B.322 C.8.函數(shù)f(x)=ln||x|?1|與函數(shù)g(x)=sinπA.6 B.7 C.8 D.9二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點，若一點P在底面ABCD內(nèi)(A.D1E與平面CC1D1D的夾角的正弦值為13

B.A1點到D1E的距離為42310.將1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)隨機(jī)地排成一個數(shù)列，記第i項為ai(i=1,2,?,7)，則下列說法正確的是(

)A.若a4=7，a1+a2+a3<a5+a6+a7，則這樣的數(shù)列共有360個

B.若該數(shù)列恰好先增后減，則這樣的數(shù)列共有11.已知S={(x,y)|(x?2)2+(y?m)2=1，y≥0}∪{(x,y)|(x?2)2+(y+m)A.當(dāng)m=12時，S∩{(x,y)|y=0}={(2?32,0),(2+32,0)}

B.當(dāng)m=52+1時，P有1個元素

C.若三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x2+2x13.已知集合A，B，C均是集合{1,3,5,7,9}的非空真子集，則以集合A，B，C為元素所構(gòu)成的集合{A,B,C}的個數(shù)為______．14.二階魔方是一個2×2×2的正方體，由8個角塊組成，沒有中心塊和棱塊，結(jié)構(gòu)相對簡單.若空間中方向不同但狀態(tài)相同(即通過整體旋轉(zhuǎn)后相同)的情況只算一種，則任意二階魔方共有______種不同的狀態(tài).(提示：任選其中1個角塊作為參考，則其余7塊能自由排列，在這7塊中，任意確定6塊，最后1塊也就唯一確定了)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且B=π6,c=2．

(1)證明：a=1tanC+316.(本小題15分)

已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a3=6，a2，a4，a8成等比數(shù)列．

(1)求{an}的通項公式；

(2)17.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=22，動直線l與橢圓交于P，Q兩點：當(dāng)直線l過F2時，△PQF1的周長為8．

(1)18.(本小題17分)

設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx．

(1)分析f(x)的單調(diào)性和極值；

(2)設(shè)g(x)=f(x+1e)+1e，若對任意的x≥0，都有g(shù)(x)≥mx成立，求實數(shù)m的取值范圍；

(3)若x1≠19.(本小題17分)

某研究團(tuán)隊需要研究成分S的性質(zhì)，以研制一種新藥.現(xiàn)有n(n∈N?)瓶待測試劑，這些試劑中的部分含有少量成分S，為了更方便的檢測出含有成分S的待測試劑，該團(tuán)隊設(shè)計了以下兩個方案：

方案一：對這n瓶待測試劑進(jìn)行逐一檢測；

方案二：將這n瓶待測試劑分成k個小組(n=mk,m∈Z)，每個小組分別將該組的待測試劑混合后檢測一次，若未檢測出成分S，則不再進(jìn)行檢測，若檢測出成分S，則對該小組的待測試劑進(jìn)行逐一檢測．

已知每瓶待測試劑中含有成分S的概率均為p，設(shè)X為方案二某小組的檢測次數(shù)，E(X)為方案二的檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

(1)記E(X)的最大值為E，求證：E<2n+p?1n；

(2)能否認(rèn)為E(X)<n恒成立？說明理由，并以此說明方案二的合理性；參考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.D

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.ABD

12.112

13.4060

14.3674160

15.解：(1)因為asinA=csinC，B=π6，

則a=2sinAsinC=2sin(B+C)sinC=cosC+3sinCsinC=1tanC+3；

(2)由bsinB=csinC，得b=116.解：(1)設(shè)公差d不為0的等差數(shù)列{an}滿足a3=6，a2，a4，a8成等比數(shù)列，

故a42=a2?a8，整理得(6+d)2=(6?d)(6+5d)，解得d=2或0(舍去)；

故an=2n；

(2)由(1)得：bn17.解：(1)當(dāng)直線l過F2時，

則△PQF1的周長為|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|=4a，

又△PQF1的周長為8，

則a=2，

又|F1F2|=22，

則c=2，

則b=a2?c2=2，

即橢圓C的方程為x24+y22=1；

(2)已知直線l過點E(1,0)，

設(shè)直線方程為x=my+1，

聯(lián)立x=my+1x24+y218.解：(1)f(x)=xlnx，定義域為(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，

令f′(x)=0，即lnx+1=0，解得x=1e，

令f′(x)<0，解得0<x<1e，令f′(x)>0，解得x>1e，

所以f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，在(1e,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=1e處取得極小值，極小值為f(1e)=1eln1e=?1e．

(2)g(x)=f(x+1e)+1e=(x+1e)ln(x+1e)+1e，(x≥0)，

因為g(x)?mx≥0，即構(gòu)造函數(shù)?(x)=(x+1e)ln(x+1e)+1e?mx，x≥0，

則?′(x)=ln(x+1e)+(x+1e)×1(x+1e)?m=ln(x+1e)+1?m，

可知?(0)=0，若要?(x)≥0，必須要求?′(0)≥0，

即?1+1?m≥0，得m≤0，

當(dāng)x≥0，m≤0時，?′(x)=ln(x+1e)+1?m≥0′恒成立，

?(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以?(x)≥?(0)=0恒成立，

故實數(shù)m的取值范圍為(?∞,0]．

(3)證明：記m(x)=xlnx?12x2+12，則m′(x)=1+lnx?x，

記n(x)=1+lnx?x，n′(x)=1x?1=1?xx，n′(1)=0，

當(dāng)x∈(0,1)時，n′(x)>0，n(x)為增函數(shù)，

19.解：(1)證明：方案二中某小組的檢測次數(shù)X可能取值為1或m+1，

當(dāng)一次檢測中未檢測出S成分時，檢測次數(shù)為1，概率為1?pm，

當(dāng)一次檢測出S成分時，再對該小組的m瓶逐一檢測，檢測次數(shù)為m+1，概率為pm，

E(X)=1×(1?pm)+(m+1)pm=1+mpm，

又因為n=mk，

所以k個小組的檢測次數(shù)期望為E′=kE(X)=k+kmpm，

要證明(E′)max=E<2n+p?1n，

即證k+kmpm<2n+p?1n恒成立，

即證nm+npm<2n+p?1n，

又因為n屬于正整數(shù)，

所以1m+pm<2+p?1n2，

令g(m)=1m+pm，?(n)=2+p?1n2，

又0<p<1，

所以g(m)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，?(n)在[1,+∞)單調(diào)遞增，

所以g(m)max=g(1)=1+p，?(n)min=1+p，

所以g(m)≤?(n)在[1,+∞)恒成立，

E≤2n+p?1n，當(dāng)m=n=1時取等號，

而原題說這些試劑中部分含有少