2024-2025學(xué)年陜西省西安市華清中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年陜西省西安市華清中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.經(jīng)過(guò)A(2,0)，B(5,3)兩點(diǎn)的直線的傾斜角(

)A.45° B.135° C.90° D.60°2.已知集合M={x|y=lg?(2x?3)}，N={y|y>1}，則M∩N=(

)A.(?1,32) B.(1,32)3.若cosα+sinαcosα=3，則tanA.?1 B.13 C.1 D.4.若正實(shí)數(shù)x，y滿足3x+12y?2xy=0，則2x+y的最大值為(

)A.427 B.13 C.2275.已知空間向量a=(3,0,4)，b=(?3,2,5)，則向量b在向量a上的投影向量是(

)A.1125(?3,2,5) B.1138(?3,2,5) C.6.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，A.34a+34b+14c7.直線l的傾斜角是直線5x+12y?1=0傾斜角的一半，且直線l與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是(

)A.5x+y?10=0 B.y=?15x+1 C.x8.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的x∈R，都有f(2?x)=f(2+x)，且當(dāng)x∈[?2,0]時(shí)，f(x)=2?(12)x，若在區(qū)間(?2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)?logaA.(0,12) B.(0,24二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法中正確的是(

)A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大

B.若A(1,?3)，B(1,3)，則直線AB的傾斜角為90°

C.若直線過(guò)點(diǎn)(1,2)，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過(guò)點(diǎn)(3,4)

D.若直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα10.下列等式成立的是(

)A.sin275°?cos275°=32 11.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，若棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)A.DB1⊥面ACD1

B.面A1C1B//面ACD1

C.點(diǎn)F到面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線(k+1)x?y+2=0的傾斜角為135°，則k=______．13.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為_(kāi)_____．14.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：(x?a)2+(y?b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l：kx?y+1+2k=0(k∈R).

(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；

(2)若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；

(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．16.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(sinC+sinB)(c?b)=a(sinA?sinB)．

(1)求角C的大小；

(2)設(shè)c=3，CA?CB=1，求17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC/?/AD，AD⊥AB，∠ADC=45°，PA⊥，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=3．

(1)求異面直線PB與CD所成角的大小．

(2)求直線AD到平面PBC的距離．18.(本小題17分)

2023年10月22日，2023襄陽(yáng)馬拉松成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)．

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者.若本次宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的方差．19.(本小題17分)

如圖，三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，側(cè)面四邊形ACC1A1為等腰梯形，底面三角形ABC為正三角形，且AC=2A1C1=2.設(shè)D為棱A1C1上的點(diǎn)．

(1)若D為A1C1的中點(diǎn)，求證：AC⊥BD；

(2)

參考答案1.A

2.D

3.B

4.A

5.C

6.A

7.C

8.C

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.?2

13.3：1：2

14.515.解：(1)直線l的方程可化為y=k(x+2)+1，

由{x+2=0y=1，解得x=?2y=1,

故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)(?2,1)；

(2)直線l的方程可化為y=kx+2k+1，

則直線l在y軸上的截距為2k+1，

且直線l總過(guò)定點(diǎn)(?2,1)，

故要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，

則k≥01+2k≥0，解得k≥0；

(3)依題意，直線l在x軸上的截距為?1+2kk，在y軸上的截距為1+2k，

∴A?1+2kk,0，B(0,1+2k)．

又?1+2kk<0且1+2k>0，

∴k>0，

故S=12OAOB16.解：(1)因?yàn)?sinC+sinB)(c?b)=a(sinA?sinB)，

所以由正弦定理得：(c+b)(c?b)=a(a?b)，即a2+b2?c2=ab，

所以由余弦定理得：cosC=a2+b2?c22ab=12．

因?yàn)镃∈(0,π)，所以C=π3；

(2)因?yàn)镃A17.解：(1)∠ADC=45°，AB=2，AD=3，

可得BC=AD?AB=3?2=1，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,3,0)，

PB=(2,0,?2),CD=(?2,2,0)，

設(shè)異面直線PB與CD所成角為θ，則cosθ=|PB?CD|PB|?|CD||=422×22=12，

所以異面直線PB與CD所成角大小為π3；

(2)由AD//BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，

可得AD/?/平面PBC，

則直線AD到平面PBC的距離即為點(diǎn)A到平面PBC的距離．

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),PB=(2,0,?2),BC=(0,1,0)，

由n?18.解：(1)由題意可知10a+10b=0.3,10×(0.045+0.020+a)=0.7,

解得a=0.005,b=0.025,

可知每組的頻率依次為0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為：

50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；

(2)設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)分別為x?1,x?2，方差分別為s12,s22，

且各組頻率之比為：

(0.005×10)：(0.025×10)：(0.045×10)：(0.02×10)：(0.005×10)=1：5：9：4：1，

所以用分層抽樣的方法抽取第二組面試者51+5+9+4+1×20=5人，

第四組面試者19.(1)證明：側(cè)面四邊形ACC1A1為等腰梯形，底面三角形ABC為正三角形，且AC=2A1C1=2，

D為棱A1C1上的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)O，

連接DO，OB，

所以DO⊥AC，BO⊥AC，DO∩BO=O，

所以AC⊥平面DOB，

所以AC⊥BD；

(2)解：因?yàn)閭?cè)面ACC1A1⊥底面ABC，設(shè)D′為A1C1的中點(diǎn)，由(1)可得D′O⊥平面ABC，

以O(shè)為坐