河北省五校2025屆高三上學期第一次聯(lián)合測評數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁河北省五校2025屆高三上學期第一次聯(lián)合測評數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知A=xlog21A.x?1≤x≤14 B.x?2≤x≤142.已知數(shù)列an，a1=2，且an+1=A.?1 B.2 C.?2 D.13.已知向量a=4,3,?2，b=2,1,1，則a在向量bA.3,32,32 B.324.已知1sinα2+1cosA.1781 B.?1781 C.795.據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當．即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推．例如⊥‖表示62，=T表示26，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方式任意表示兩位數(shù)(算籌不剩余且個位不為0)，則這個兩位數(shù)不小于50的概率為(

)

A.13 B.12 C.236.若log4x+log4y=2A.22 B.18 C.37.已知拋物線x2=4y，P為直線y=?1上一點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別為A,B，則PA?PBA.0 B.1 C.?2 D.?18.已知函數(shù)fx=x+4x+3lnx在A.a>1 B.13<a<1 C.0≤a<1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數(shù)z滿足zi=3i?1，則下列說法正確的是A.z的虛部為i

B.z?2i=z

C.若復數(shù)z1，z2滿足z1=z2=2，且z110.設fx,gx都是定義在R上的奇函數(shù)，且fx為單調(diào)函數(shù)，f1>1，若對任意x∈R有fgxA.g2=0 B.f3<3

C.f11.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1上一點，且B1P=2PBA.若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡是一條長為223的線段

B.存在點Q，使得D1Q⊥平面A1PD

C.三棱錐Q?A1PD的最大體積為5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(3x?1)5=a0+a13.已知點P是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)左支上一點F1,F214.若函數(shù)f(x)=sin6x+cos6x+38四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)數(shù)列an滿足：a1=1，(1)證明bn是等比數(shù)列，并求a(2)求an的前n項和Sn16.(本小題12分)2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎正式開幕.人們在觀看奧運比賽的同時，開始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機從抽取200人進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時長合計周平均鍛煉時間少于4小時周平均鍛煉時間不少于4小時50歲以下406010050歲以上(含50)2575100合計65135200(1)試根據(jù)α=0.05的χ2獨立性檢驗，分析周平均鍛煉時長是否與年齡有關？(χ2(2)現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于4小時，用分層隨機抽樣法抽取5人做進一步訪談，再從這5人中隨機抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于4小時的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．α0.10.050.010.0050.001χ2.7063.8416.6357.87910.828參考公式及數(shù)據(jù)：χ2=n(ad?bc)17.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面ABCD所成角為45°，四邊形ABCD是梯形，AD⊥AB,BC//AD,AD=2,PA=BC=1

(1)證明：平面PAC⊥平面PCD；(2)若點T是CD的中點，點M是PT的中點，求點P到平面ABM的距離．(3)點T是線段CD上的動點，PT上是否存在一點M，使PT⊥平面ABM，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．18.(本小題12分)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，離心率為22，直線l經(jīng)過點F(1)求C的方程；(2)求弦AB的長(用α表示)；(3)若直線MN也經(jīng)過點F，且傾斜角比l的傾斜角大π4，求四邊形AMBN面積的最小值．19.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)當a=?3時，求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx有唯一的極值點x①求實數(shù)a取值范圍；②證明：x02f參考答案1.A

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.A

8.C

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.240

13.514.[1,5+215.解：(1)由題意知an+1=2a即bn+1=2bn，又故bn是首項為2，公比為2故bn=2(2)由于an=2

16.解：(1)零假設H0由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2∴χ根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0即認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．所以50歲以下和50歲以上(含50)周平均鍛煉時長有差異．(2)抽取的5人中，周平均鍛煉時長少于4小時的有5×40100=2人，不少于4所以X所有可能的取值為1,2,3，所以PX=1=C31所以隨機變量X的分布列為：X123P331隨機變量X的數(shù)學期望E

17.解：(1)由PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥CD，PB與底面ABCD所成角為∠PBA=45所以三角形PAB為等腰直角三角形，AB=AP=1．又由四邊形ABCD是直角梯形，BC//AD，可知AB⊥BC，所以?ABC為等腰直角三角形，而BC=1，故AC=在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AD，垂足為E，則四邊形ABCE為正方形，可知AE=BC=CE=1．所以DE=1，在等腰直角三角形CDE中，CD=則有AC2+C又因為PA⊥DC，PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC．所以DC⊥平面PAC.因為DC?平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．(2)以A為坐標原點，分別以AB,AD,AP所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D0,2,0，C(1,1,0)因為T是CD的中點，點M是PT的中點，所以T12,設平面ABM的法向量為n=x,y,z，AB=則n?AB取y=4，則z=?6，得平面ABM的一個法向量為n=而AP=0,0,1，所以點P到平面ABM的距離為(3)設AT=λAC+所以Tλ,2?λ,0所以PT=設PM=μPT=μ所以Mμλ,2μ?μλ,1?μ因為A(0,0,0)，B(1,0,0)，所以AB=若PT⊥平面ABM，則當且僅當PT?AB此時M0,綜上所述，當且僅當T,D重合，此時存在M0,25,4

18.解：(1)由題意知c=1,ca=22,a2?b2=c2,解得a=2，b=1，

所以C的方程為x22+y2=1．

(2)當α≠π2時，設l的方程為y=k(x?1)，k=tanα，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=k(x?1),x22+y2=1,得(2k2+1)x2?4k2x+2k2?2=0，

其中Δ=8(19.解：(1)由函數(shù)fx=2lnx?4當a=?3時，可得f′x則當0<x<1時，f’(x)<0；當所以fx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)所以，當x=1時，函數(shù)fx的極小值為f(2)①由(1)可知，分析?x可得?(x)在0,+∞上單調(diào)遞增，且?0當a≥0時，則f′x故函數(shù)fx在0,+∞當a<0時，令f′x=0，解得x0則函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1+即此時fx有唯一的極值點x0，且滿足綜上所述：當a<0時，函數(shù)fx有唯一的極值點x②由①可知，函數(shù)fx有唯一的極值點x0=?1+故x=2x即等價于lnx0?令Fx可得F′x=1當0<x<1時，構建φx則φ′x由0<x<1，