微積分-經(jīng)管類-下冊-9.4 二階常系數(shù)線性微分方程

二階常系數(shù)線性微分方程第4節(jié)一、線性齊次方程解的結構二、線性非齊次方程解的結構

第9章三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程證畢一、線性齊次方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關與線性無關概念.定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關,否則稱為線性無關.例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關;又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關.若存在不全為

0

的常數(shù)兩個函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關與線性無關的充要條件:線性相關存在不全為0的使(無妨設線性無關常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(證明略)線性無關定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

則二、線性非齊次方程解的結構

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)常數(shù),則該方程的通解是().設線性無關函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關.(反證法可證)三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.特征方程2.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為特征方程3.當時,

特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為小結:特征方程:實根特征根通解例4.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例5.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為四、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程根據(jù)解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法1、

為實數(shù),設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得為m

次多項式.(1)若

不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式(2)若

是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為小結對方程①,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當

是特征方程的k重根時,可設特解例6.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例7.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為例8.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得2、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點第一步利用歐拉公式將f(x)變形

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設則②有特解:第三步求原方程的特解

利用第二步的結果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項式.第四步分析因均為

m

次實多項式.本質上為實函數(shù),小結:對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),例9.

的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解例10.

的通解.

解:特征方程為其根為對應