高考試題卷解析-2004數(shù)學(xué)（理）天津

PAGE天津卷數(shù)學(xué)（理）第16頁（共8頁）2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試用時120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）參考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互獨立，那么柱體（棱柱、圓柱）的體積公式其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．i是虛數(shù)單位，= （） A． B． C． D．2．不等式的解集為 （） A． B． C． D．3．若平面向量與向量的夾角是，且，則 （）A． B． C． D．4．設(shè)P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、F2分別是雙曲線的左、右焦點，若，則 （）A．1或5 B．6 C．7 D．95．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a=（）A． B． C． D．6．如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于 （） A． B． C． D．7．若為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是 （） A． B． C． D．8．已知數(shù)列，那么“對任意的，點都在直線上”是“為等差數(shù)列”的 （） A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是 （）A． B． C． D．10．如圖，在長方體中，AB=6，AD=4， 。分別過BC、的兩個平行截面將長方 體分成三部分，其體積分別記為， ，. 若，則截面的面積為（） A． B． C． D．1611．函數(shù)（）的反函數(shù)是 （） A． B． C． D．12．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時，，則的值為 （） A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.13．某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=.14．如果過兩點和的直線與拋物線沒有交點，那么實數(shù)a的取值范圍是.15．若，則.（用數(shù)字作答）16．從1，3，5，7中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有個.（用數(shù)字作答）三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知，（1）求的值；（2）求的值.18．（本小題滿分12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率.19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小.20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值.（1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；（2）過點作曲線的切線，求此切線方程.21．（本小題滿分12分）已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).（1）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）當(dāng)時，求.22．（本小題滿分14分）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過點P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.1—5DAACA6—10BABCC11—12DD二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分。13．80 14． 15．2004 16．300 三、解答題：17．本小題考查兩角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能.滿分12分.（1）解：.由，有.解得.（2）解法一：.解法二：由（1），，得∴.∴.于是，.代入得.18．本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.（1）解：可能取的值為0，1，2。。所以，的分布列為012P（2）解：由（1），的數(shù)學(xué)期望為（3）解：由（1），“所選3人中女生人數(shù)”的概率為19．本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分12分.方法一：（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO?！叩酌鍭BCD是正方形，∴點O是AC的中點在中，EO是中位線，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴.①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。而平面PDC，∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知，.設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則,，.在中，。在中，，∴.所以，二面角C—PB—D的大小為.方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè).（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG.依題意得.∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為且.∴，這表明PA//EG.而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.（2）證明；依題意得，。又，故.∴.由已知，且，所以平面EFD.（3）解：設(shè)點F的坐標(biāo)為，，則.從而.所以.由條件知，，即，解得∴點F的坐標(biāo)為，且，∴即，故是二面角C—PB—D的平面角.∵，且，，∴.∴.所以，二面角C—PB—D的大小為.20．本小題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力。滿分12分.（1）解：，依題意，，即解得.∴.令，得.若，則，故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù).若，則，故在上是減函數(shù).所以，是極大值；是極小值.（2）解：曲線方程為，點不在曲線上.設(shè)切點為，則點M的坐標(biāo)滿足.因，故切線的方程為注意到點A（0，16）在切線上，有化簡得，解得.所以，切點為，切線方程為.21．本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等概念，考查靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.（1）證明：由，可得.由數(shù)學(xué)歸納法可證.由題設(shè)條件，當(dāng)時因此，數(shù)列是一個公比為k的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，當(dāng)時，當(dāng)時，.而所以，當(dāng)時.上式對也成立。所以，數(shù)列的通項公式為當(dāng)時.上式對也成立，所以，數(shù)列的通項公式為，（2）解：當(dāng)時22．本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿