新高考數學題型全歸納之排列組合專題19列舉法策略(原卷版+解析)

專題19列舉法策略例1．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有A．5種 B．10種 C．8種 D．16種【解析】解：根據題意，做出樹狀圖，注意第四次時球不能在甲的手中．分析可得，共有10種不同的傳球方式；故選：．例2．設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒子內放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法的總數為45．【解析】解：先選出1個小球，放到對應序號的盒子里，有種情況，例如：5號球放在5號盒子里，其余四個球的放法為，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9種，故將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒子內放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法總數為種，故答案為：45．例3．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓．若按一定順序將每個螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓．則不同的固定螺栓方式的種數是60．【解析】解：第一步任意選取一個螺栓，有6種方法，第二步，按照要求以此固定．不妨第一次固定緊螺栓1，則有如下的固定方法：1，3，5，2，4，6；1，3，5，2，6，4；1，3，6，4，2，5；1，5，2，4，6，3；1，5，3，6，2，4；1，5，3，6，4，2；1，4，2，6，3，5；1，4，2，5，3，6，1，4，6，3，5，2，1，4，6，2，5，3；有10種，共有種方法．故答案為：60．例4.有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法【解析】紅111223黃123121蘭321211取法共有150種.5．從，1，2，，20中選取四元數組，，，，且滿足，，，則這樣的四元數組，，，的個數是A． B． C． D．【解析】解：將連同其右邊的2個空位捆綁，連同其右邊的3個空位捆綁，連同其右邊的4個空位捆綁分別看作一個元素，四元數組，，，的個數相當于從11個元素中選取4個，故這樣的四元數組，，，的個數是．故選：．例6．定義“有增有減”數列如下：，滿足，且，滿足．已知“有增有減”數列共4項，若，，，2，3，，且，則數列共有A．64個 B．57個 C．56個 D．54個【解析】解：由題意可知4個數值的數列中，只有2個數值，例如：，，，類型，共有種．只有2個數值相同，例如：，，，類型．共有：種；有3個數值相同，例如，，，類型，共有：種．滿足題目的數列類型共有：54種．故選：．例7．若一個三位數的各位數字之和為10，則稱這個三位數為“十全十美數”，如208，136都是“十全十美數”，則這樣的“十全十美數”共有個A．32 B．64 C．54 D．96【解析】解：任取一個“十全十美三位數”，包含含有一個0的三位數：109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，703，730，406，460，604，640，505，550，含有相同數字的三位數：，分別為：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，244，424，不含有0，并且沒有相同數字的三位數．，分別為：127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，235，253，352，325，523，532，共54個，故選：．例8．集合，2，3，4，．選擇的兩個非空子集和，要使中的最小數大于中的最大數，則不同的選擇方法有49種．【解析】解：集合、中沒有相同的元素，且都不是空集，從5個元素中選出2個元素，有種選法，小的給集合，大的給集合；從5個元素中選出3個元素，有種選法，再分成1一個元素一組、2個元素一組，有兩種分法，較小元素的一組給集合，較大元素的一組的給集合，共有種方法；從5個元素中選出4個元素，有種選法，再分成1個元素一組、3三個元素一組；2個元素一組、2個元素一組；3個元素一組、1一個元素一組，共三種分法，較小元素的一組給集合，較大元素的一組的給集合，共有種方法；從5個元素中選出5個元素，有種選法，再分成1個元素一組、4個元素一組；2個元素一組、3個元素一組；3個元素一組、2個元素一組；4個元素一組、1兩個元素一組組，有四種分法，較小元素的一組給集合，較大元素的一組的給集合，共有種方法；總計為種方法．故答案為：49例9．定義域為集合，2，3，，上的函數滿足：①（1）；②，2，，；③（1）、（6）、成等比數列；這樣的不同函數的個數為155．【解析】解：經分析，的取值的最大值為，最小值為，并且成以2為公差的等差數列，故（6）的取值為6，4，2，0，，．的取值為12，10，8，6，4，2，0，，，，，，所以能使中的（1）、（6）、成等比數列時，（1）、（6）、的取值只有兩種情況：①（1）、（6）、；②（1）、（6）、．，2，，，，或者，即得到后項時，把前項加1或者把前項減1．（1）當（1）、（6）、時；將要構造滿足條件的等比數列分為兩步，第一步：從（1）變化到（6），第二步：從（6）變化的．從（1）變化到（6）時有5次變化，函數值從1變化到2，故應從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對應的方法數為種．從（6）變化到時有6次變化，函數值從2變化到4，故應從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對應的方法數為種．根據分步乘法原理，共有種方法．（2）當（1）、（6）、時，將要構造滿足條件的等比數列分為兩步，第一步：從（1）變化到（6），第二步：從（6）變化的．從（1）變化到（6）時有5次變化，函數值從1變化到，故應從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對應的方法數為種．從（6）變化到時有6次變化，函數值從變化到4，故應從6次變化中選擇6次增加1，對應的方法數為種．根據分步乘法原理，共有種方法．綜上，滿足條件的共有：種．故填：155．例10．由海軍、空軍、陸軍各3名士兵組成一個有不同編號的的小方陣，要求同一軍種不在同一行，也不在同一列，有2592種排法．【解析】解：假設海軍為，空軍為，陸軍為，先將，，，填入的小方陣，則有種，每個，，填入3名士兵均有種，故共有，故答案為：2592例11．設集合，2，3，，選擇的兩個非空子集和，使得中最大的數不大于中最小的數，則可組成不同的子集對49個．【解析】解：根據題意，分4種情況討論：①，集合中最大的元素為1，此時集合有1種情況，集合的數目為，2，3，的非空子集數目，集合有種情況，此時可組成個不同的子集對，②，集合中最大的元素為2，此時集合可以為或，，有2種情況，集合的數目為，3，的非空子集數目，集合有種情況，此時可組成個不同的子集對，③，集合中最大的元素為3，此時集合可以為或，或，或，2，，有4種情況，集合的數目為，的非空子集數目，集合有種情況，此時可組成個不同的子集對，④，集合中最大的元素為3，此時集合的數目為，2，的子集數目，有種情況，集合必須為，有1種情況，此時可組成個不同的子集對，則一共可以組成個不同的子集對，故答案為：49．例12．若集合，，，，，且，，，，，，，，且，，，，用表示集合中的元素個數，則（E）A．200 B．150 C．100 D．50【解析】解：（1）時，，，的取值的排列情況有種；時，，，的取值的排列情況有種；時，有種；時，有種；（E）；（2）時：若，，的取值的排列情況有種；若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；時：若，，的取值的排列情況有種；若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；時：若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；若，有種；時：若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；若，有種；；（E）．故選：．例13．某城市街道的平面圖如圖所示，若每個路口僅能沿右、左上、右上三個方向走，從至的路徑條數有條：若、兩處因故施工，不能通行，從至的路徑條數有條，則，分別為A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；288【解析】解：由于每個路口僅能沿右、左上、右上三個方向走，則從點到任意一點的路徑條數為自身左，右下，左下三個點的路徑條數之和，故在走到每個點的路徑條數如下圖所示故選：．例14．某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為，2，，，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處的所有不同走法共有A．22種 B．24種 C．25種 D．27種【解析】解：法一：根據題意，正方形的邊長為2個單位，則其周長是8，若拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處，則三次骰子的點數之和是8或16，若三次骰子的點數之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5種組合，若三次骰子的點數之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2種組合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，這5種組合有種順序，1、2、5，1、3、4，這2種組合有種順序，則拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處的所有不同走法種，法二：同法一：分析可得三次骰子的點數之和是8或16，若三次骰子的點數之和是8，相當于8個點數中用2個隔板，有種順序，若三次骰子的點數之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2種組合，每種組合有種順序，則此時有種順序，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處的所有不同走法種，故選：．例15．如圖所示，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左右兩部分，左側的每個算珠表示數2，右側的每個算珠表示數1（允許一側無珠），記上、中、下三檔的數字和分別為，，．例如，圖中上檔的數字和．若，，成等差數列，則不同的分珠計數法有種．A．12 B．24 C．16 D．32【解析】解：根據題意，，，的取值范圍都是從共8個數字，故公差范圍