新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題19列舉法策略(原卷版+解析)

專題19列舉法策略例1．三人互相傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有A．5種 B．10種 C．8種 D．16種【解析】解：根據(jù)題意，做出樹(shù)狀圖，注意第四次時(shí)球不能在甲的手中．分析可得，共有10種不同的傳球方式；故選：．例2．設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為45．【解析】解：先選出1個(gè)小球，放到對(duì)應(yīng)序號(hào)的盒子里，有種情況，例如：5號(hào)球放在5號(hào)盒子里，其余四個(gè)球的放法為，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9種，故將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法總數(shù)為種，故答案為：45．例3．工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓．若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓．則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是60．【解析】解：第一步任意選取一個(gè)螺栓，有6種方法，第二步，按照要求以此固定．不妨第一次固定緊螺栓1，則有如下的固定方法：1，3，5，2，4，6；1，3，5，2，6，4；1，3，6，4，2，5；1，5，2，4，6，3；1，5，3，6，2，4；1，5，3，6，4，2；1，4，2，6，3，5；1，4，2，5，3，6，1，4，6，3，5，2，1，4，6，2，5，3；有10種，共有種方法．故答案為：60．例4.有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法【解析】紅111223黃123121蘭321211取法共有150種.5．從，1，2，，20中選取四元數(shù)組，，，，且滿足，，，則這樣的四元數(shù)組，，，的個(gè)數(shù)是A． B． C． D．【解析】解：將連同其右邊的2個(gè)空位捆綁，連同其右邊的3個(gè)空位捆綁，連同其右邊的4個(gè)空位捆綁分別看作一個(gè)元素，四元數(shù)組，，，的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從11個(gè)元素中選取4個(gè)，故這樣的四元數(shù)組，，，的個(gè)數(shù)是．故選：．例6．定義“有增有減”數(shù)列如下：，滿足，且，滿足．已知“有增有減”數(shù)列共4項(xiàng)，若，，，2，3，，且，則數(shù)列共有A．64個(gè) B．57個(gè) C．56個(gè) D．54個(gè)【解析】解：由題意可知4個(gè)數(shù)值的數(shù)列中，只有2個(gè)數(shù)值，例如：，，，類型，共有種．只有2個(gè)數(shù)值相同，例如：，，，類型．共有：種；有3個(gè)數(shù)值相同，例如，，，類型，共有：種．滿足題目的數(shù)列類型共有：54種．故選：．例7．若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，則這樣的“十全十美數(shù)”共有個(gè)A．32 B．64 C．54 D．96【解析】解：任取一個(gè)“十全十美三位數(shù)”，包含含有一個(gè)0的三位數(shù)：109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，703，730，406，460，604，640，505，550，含有相同數(shù)字的三位數(shù)：，分別為：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，244，424，不含有0，并且沒(méi)有相同數(shù)字的三位數(shù)．，分別為：127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，235，253，352，325，523，532，共54個(gè)，故選：．例8．集合，2，3，4，．選擇的兩個(gè)非空子集和，要使中的最小數(shù)大于中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有49種．【解析】解：集合、中沒(méi)有相同的元素，且都不是空集，從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，有種選法，小的給集合，大的給集合；從5個(gè)元素中選出3個(gè)元素，有種選法，再分成1一個(gè)元素一組、2個(gè)元素一組，有兩種分法，較小元素的一組給集合，較大元素的一組的給集合，共有種方法；從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有種選法，再分成1個(gè)元素一組、3三個(gè)元素一組；2個(gè)元素一組、2個(gè)元素一組；3個(gè)元素一組、1一個(gè)元素一組，共三種分法，較小元素的一組給集合，較大元素的一組的給集合，共有種方法；從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有種選法，再分成1個(gè)元素一組、4個(gè)元素一組；2個(gè)元素一組、3個(gè)元素一組；3個(gè)元素一組、2個(gè)元素一組；4個(gè)元素一組、1兩個(gè)元素一組組，有四種分法，較小元素的一組給集合，較大元素的一組的給集合，共有種方法；總計(jì)為種方法．故答案為：49例9．定義域?yàn)榧希?，3，，上的函數(shù)滿足：①（1）；②，2，，；③（1）、（6）、成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)為155．【解析】解：經(jīng)分析，的取值的最大值為，最小值為，并且成以2為公差的等差數(shù)列，故（6）的取值為6，4，2，0，，．的取值為12，10，8，6，4，2，0，，，，，，所以能使中的（1）、（6）、成等比數(shù)列時(shí)，（1）、（6）、的取值只有兩種情況：①（1）、（6）、；②（1）、（6）、．，2，，，，或者，即得到后項(xiàng)時(shí)，把前項(xiàng)加1或者把前項(xiàng)減1．（1）當(dāng)（1）、（6）、時(shí)；將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從（1）變化到（6），第二步：從（6）變化的．從（1）變化到（6）時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應(yīng)從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種．從（6）變化到時(shí)有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種．根據(jù)分步乘法原理，共有種方法．（2）當(dāng)（1）、（6）、時(shí)，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從（1）變化到（6），第二步：從（6）變化的．從（1）變化到（6）時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到，故應(yīng)從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種．從（6）變化到時(shí)有6次變化，函數(shù)值從變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇6次增加1，對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為種．根據(jù)分步乘法原理，共有種方法．綜上，滿足條件的共有：種．故填：155．例10．由海軍、空軍、陸軍各3名士兵組成一個(gè)有不同編號(hào)的的小方陣，要求同一軍種不在同一行，也不在同一列，有2592種排法．【解析】解：假設(shè)海軍為，空軍為，陸軍為，先將，，，填入的小方陣，則有種，每個(gè)，，填入3名士兵均有種，故共有，故答案為：2592例11．設(shè)集合，2，3，，選擇的兩個(gè)非空子集和，使得中最大的數(shù)不大于中最小的數(shù)，則可組成不同的子集對(duì)49個(gè)．【解析】解：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，集合中最大的元素為1，此時(shí)集合有1種情況，集合的數(shù)目為，2，3，的非空子集數(shù)目，集合有種情況，此時(shí)可組成個(gè)不同的子集對(duì)，②，集合中最大的元素為2，此時(shí)集合可以為或，，有2種情況，集合的數(shù)目為，3，的非空子集數(shù)目，集合有種情況，此時(shí)可組成個(gè)不同的子集對(duì)，③，集合中最大的元素為3，此時(shí)集合可以為或，或，或，2，，有4種情況，集合的數(shù)目為，的非空子集數(shù)目，集合有種情況，此時(shí)可組成個(gè)不同的子集對(duì)，④，集合中最大的元素為3，此時(shí)集合的數(shù)目為，2，的子集數(shù)目，有種情況，集合必須為，有1種情況，此時(shí)可組成個(gè)不同的子集對(duì)，則一共可以組成個(gè)不同的子集對(duì)，故答案為：49．例12．若集合，，，，，且，，，，，，，，且，，，，用表示集合中的元素個(gè)數(shù)，則（E）A．200 B．150 C．100 D．50【解析】解：（1）時(shí)，，，的取值的排列情況有種；時(shí)，，，的取值的排列情況有種；時(shí)，有種；時(shí)，有種；（E）；（2）時(shí)：若，，的取值的排列情況有種；若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；時(shí)：若，，的取值的排列情況有種；若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；時(shí)：若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；若，有種；時(shí)：若，，的取值的排列情況有種；若，有種；若，有種；若，有種；；（E）．故選：．例13．某城市街道的平面圖如圖所示，若每個(gè)路口僅能沿右、左上、右上三個(gè)方向走，從至的路徑條數(shù)有條：若、兩處因故施工，不能通行，從至的路徑條數(shù)有條，則，分別為A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；288【解析】解：由于每個(gè)路口僅能沿右、左上、右上三個(gè)方向走，則從點(diǎn)到任意一點(diǎn)的路徑條數(shù)為自身左，右下，左下三個(gè)點(diǎn)的路徑條數(shù)之和，故在走到每個(gè)點(diǎn)的路徑條數(shù)如下圖所示故選：．例14．某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長(zhǎng)為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶叩膯挝?，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，2，，，則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蛐凶邆€(gè)單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處的所有不同走法共有A．22種 B．24種 C．25種 D．27種【解析】解：法一：根據(jù)題意，正方形的邊長(zhǎng)為2個(gè)單位，則其周長(zhǎng)是8，若拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處，則三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8或16，若三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5種組合，若三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2種組合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，這5種組合有種順序，1、2、5，1、3、4，這2種組合有種順序，則拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處的所有不同走法種，法二：同法一：分析可得三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8或16，若三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8，相當(dāng)于8個(gè)點(diǎn)數(shù)中用2個(gè)隔板，有種順序，若三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2種組合，每種組合有種順序，則此時(shí)有種順序，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處的所有不同走法種，故選：．例15．如圖所示，玩具計(jì)數(shù)算盤(pán)的三檔上各有7個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1（允許一側(cè)無(wú)珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為，，．例如，圖中上檔的數(shù)字和．若，，成等差數(shù)列，則不同的分珠計(jì)數(shù)法有種．A．12 B．24 C．16 D．32【解析】解：根據(jù)題意，，，的取值范圍都是從共8個(gè)數(shù)字，故公差范圍