2022-2024北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編：基本不等式

第1頁(yè)/共1頁(yè)2022-2024北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編基本不等式一、單選題1．（2024北京密云高一上期末）已知，則有（

）A．最大值0 B．最小值0C．最大值 D．最小值2．（2024北京西城高一上期末）已知，則的最小值為（

）A．－2 B．0 C．1 D．3．（2024北京西城高一上期末）在ΔABC中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（2023北京豐臺(tái)高一上期末）已知，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．26．（2023北京西城高一上期末）某物流公司為了提高運(yùn)輸效率，計(jì)劃在機(jī)場(chǎng)附近建造新的倉(cāng)儲(chǔ)中心．已知倉(cāng)儲(chǔ)中心建造費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與倉(cāng)儲(chǔ)中心到機(jī)場(chǎng)的距離s（單位：）之間滿足的關(guān)系為，則當(dāng)C最小時(shí)，s的值為（

）A．20 B． C．40 D．4007．（2023北京東城高一上期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2023北京八中高一上期末）已知，則x+2x的最小值為（

A． B．2 C． D．49．（2023北京密云高一上期末）已知函數(shù)，則此函數(shù)的最小值等于（

）A． B． C． D．10．（2023北京北師大附中高一上期末）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．21 B．25 C．29 D．3311．（2023北京豐臺(tái)高一上期末）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過(guò)比較線段OF與線段CF的長(zhǎng)度完成的無(wú)字證明為（）A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）12．（2022北京大興高一上期末）當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．13．（2022北京通州高一上期末）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為14．（2022北京東城高一上期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．215．（2022北京豐臺(tái)高一上期末）已知a>0，那么的最小值是（

）A． B． C． D．16．（2023北京第十二中學(xué)高一上期末）若對(duì)任意的都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．[2,+∞)二、填空題17．（2024北京順義高一上期末）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值且最大值為.18．（2024北京石景山高一上期末）已知，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為.19．（2024北京朝陽(yáng)高一上期末）若，則的最小值是．20．（2024北京東城高一上期末）設(shè)，則的最小值為.21．（2023北京平谷高一上期末）已知某產(chǎn)品總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．設(shè)年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為f（Q）（單位：元/件），那么f（Q）的最小值是．22．（2023北京通州高一上期末）已知，則的最大值為，最小值為．23．（2023北京大興高一上期末）若直角三角形斜邊長(zhǎng)等于12，則該直角三角形面積的最大值為；周長(zhǎng)的最大值為．24．（2023北京懷柔高一上期末）已知，則的最小值為.25．（2022北京懷柔高一上期末）函數(shù)的最小值是.26．（2022北京順義高一上期末）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值且最小值為.三、解答題27．（2023北京石景山高一上期末）有這樣一道利用基本不等式求最值的題：已知且求的最小值.小明和小華兩位同學(xué)都“巧妙地用了”，但結(jié)果并不相同.小明的解法：由于所以而那么則最小值為小華的解法：由于所以而則最小值為（1）你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯(cuò)誤？（2）請(qǐng)說(shuō)明你判斷的理由.

參考答案1．B【分析】利用基本不等式求最值即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：B.2．B【分析】由基本不等式求得最小值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．故選：B．3．D【分析】由sinB=cosA?sinC化簡(jiǎn)可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得,由，為單位向量，可得，，可得,可得，則由，利用基本不等式求解最小值．【詳解】中設(shè)，，，，即，，，，，，，，，根據(jù)直角三角形可得，，，，，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，，，P為直線上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得,設(shè)，，則，，,,，則,,故所求的最小值為,故選：D.【點(diǎn)睛】本題為平面向量的綜合題，考查解三角形、平面向量數(shù)量積、平面向量共線定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于綜合題，解題關(guān)鍵在于將三角形中數(shù)量關(guān)系利用向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)換，屬于較難題.4．C【分析】利用1的妙用，結(jié)合基本不等式求解最值即可．【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為12．故選：C．5．B【分析】根據(jù)基本不等式即可求解最值.【詳解】由于，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為4，故選：B6．A【分析】根據(jù)均值不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)C最小時(shí)，s的值為20.故選：A7．D【分析】利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：D8．C【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋瑒tx+2x≥2x?2x所以x+2x的最小值為故選：C9．D【分析】將函數(shù)配湊為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：D.10．A【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】∵，等式恒成立，∴，由于，所以∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．∴，∴，故的最小值為21．故選：A11．C【分析】由圖形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結(jié)合CF≥OF即可得出.【詳解】解：由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故選：C.12．B【分析】利用基本不等式直接求解.【詳解】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為故選：B13．A【分析】由基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.14．C【分析】根據(jù)重要不等式即可求最值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.故選：C.15．D【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)閍>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：D16．A【解析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)等號(hào)成立，所以，故選：A17．/【分析】利用均值不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：；18．【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：；.19．3【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴時(shí)取得最小值3.故答案為：3．20．5【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.21．1600【分析】由題意得到年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為，再利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)槟钞a(chǎn)品總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．所以年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為1600，故答案為：160022．【分析】由可推出，即得，即可得到最值.【詳解】因?yàn)槌闪?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，即，解得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：；.23．36；【分析】由條件，利用基本不等式可求面積的最大值和周長(zhǎng)的最大值.【詳解】設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為，則，，，由基本不等式可得，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故直角三角形面積的最大值為，又，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以直角三角形周長(zhǎng)的最大值為，故答案為：36，.24．【分析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.25．2【分析】直接利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為2.故答案為：2.26．【分析】利用基本不等式可得