試題山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

試題山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B.C. D.2．下列橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)是的是（）A. B.C. D.3．設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為若以為直徑的圓與直線相切，則的面積為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.65．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.6．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）A如果，，n∥β，那么B.如果，，，那么α∥βC.如果m∥n，，，那么α∥βD.如果m∥n，，，那么7．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.8．已知兩圓相交于兩點(diǎn)，，兩圓圓心都在直線上，則值為（）A. B.C. D.9．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.10．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離11．已知，若，則（）A. B.2C. D.e12．下列說法錯(cuò)誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)的k取值范圍是___________.14．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，則使得成立的x的取值范圍是_________.15．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則_____________16．方程的曲線的一條對(duì)稱軸是_______，的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點(diǎn)，短軸長(zhǎng)等于雙曲線虛軸長(zhǎng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（12分）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（1）求通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為中點(diǎn)（1）求二面角的大小；（2）探究線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由20．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：的左、右焦點(diǎn)分別為，且橢圓C1與拋物線C2：y2=2px（p>0）在第一象限的交點(diǎn)為Q，已知.（1）求的面積（2）求拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．（10分）在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面為等腰直角三角形，，，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn)（1）求證：平面ABCD；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】取AC的中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到線距離的向量求法和投影的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點(diǎn)O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)C到直線距離為：.故選：D2、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)中的橢圓焦點(diǎn)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，A不是；對(duì)于B，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，B是；對(duì)于C，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，C不是；對(duì)于D，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，D不是.故選：B3、C【解析】據(jù)三角形中位線可得；再由雙曲線的定義求出，進(jìn)而求出的面積【詳解】雙曲線的方程為：，，設(shè)以為直徑的圓與直線相切與點(diǎn)，則，且，，∥.又為的中點(diǎn)，，又，，的面積為：.故選:C4、C【解析】結(jié)合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C5、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點(diǎn)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6、C【解析】AB.利用兩平面的位置關(guān)系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷；【詳解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故錯(cuò)誤；B.如果，，，那么α，β垂直，故錯(cuò)誤；C.如果m∥n，，則，又，那么α∥β，故C正確；D錯(cuò)誤，故選:C7、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.8、A【解析】由相交弦的性質(zhì)，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得的值，即可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程可得；進(jìn)而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得，則，故中點(diǎn)為，且其在直線上，代入直線方程可得，1，可得；故；故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意利用平面幾何圓的知識(shí)來分析解答.9、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的傾斜角最大，此時(shí)取最大值，即.故選：A.10、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.11、B【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】,.,解得：.故選：B12、C【解析】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對(duì)于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對(duì)于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對(duì)于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對(duì)于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對(duì)于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）故D正確.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：14、【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可得到答案；【詳解】，令，，單調(diào)遞減，且，，x的取值范圍是，故答案為：15、##31.5【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以.故答案為：16、①.x軸或直線②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質(zhì)即可求得對(duì)稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，又，解得，此時(shí)曲線與都關(guān)于直線對(duì)稱，曲線的對(duì)稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），2（2）【解析】（1）結(jié)合，聯(lián)立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為故即橢圓方程為：18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】由（1）得：，所以，所以.19、（1）（2）點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)，利用相等向量求出坐標(biāo)，利用線面平行的向量法代入公式計(jì)算即可.【小問1詳解】如下圖所示，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．所以，設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因?yàn)椋?，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問2詳解】假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，，，因?yàn)槠矫妫?，即所以，即解得所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)20、（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得出，即可得出結(jié)論；（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，，則，因此，無論取何值，總有；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無解，因此，不存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，由橢圓的定義可得，結(jié)合余弦定理可得出的值，從而可得面積.(2)設(shè),根據(jù)的面積結(jié)合橢圓的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線可得答案.【小問1詳解】由橢圓方程知a=2，b=1，，設(shè)，則即，求得所以的面積為【小問2詳解】設(shè)由（1）中，得又，，所以代入拋物線方程得，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22、(1)證明見解析，(2)【解析】（1）題中易得，，利用勾股定理可得，從而可證得線面垂直；（2）以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角的正