2024屆河北省L16聯(lián)盟普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省L16聯(lián)盟2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8的極差是（）A. B.5 C.5 D.8〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8中，最小的為1，最大的為9，則其極差為．故選：D．2.已知點是直線上相異的三點，為直線外一點，且，則的值是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗，即，因為點是直線上相異的三點，則點三點共線，則，解得.故選：A.3.某圓環(huán)的內外半徑分別為2和4，將其繞對稱軸旋轉一周后得到的幾何體體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，幾何體體積為大球的體積減去小球的體積，所以幾何體體積為．故選：C．4.已知函數(shù)的定義域為集合，值域為集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得或，所以函數(shù)定義域為集合，則值域為集合，所以.故選：D.5.已知點為平面內一動點，設甲：的運動軌跡為拋物線，乙：到平面內一定點的距離與到平面內一定直線的距離相等，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗當直線經過定點時，點的軌跡是過定點且垂直于該直線的另一條直線，當直線不經過該定點時，點的軌跡為拋物線，故甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：A．6.設函數(shù)，若存在使得既是的零點，也是的極值點，則的可能取值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，令，則或，當時，由，得，所以，則當時，由，得，由，得或，當時，不存在極值點，當時，得，綜上，，所以當時，.故選：B.7.過原點且傾斜角為的直線與圓相切，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗過原點且傾斜角為的直線的方程為，又直線與圓相切，圓心，半徑，可得圓心到直線的距離，即，即，即，即，解得：．故選：B．8.雙曲線的兩焦點分別為，過的直線與其一支交于，兩點，點在第四象限.以為圓心，的實軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點，且，則的漸近線方程是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意得：，設，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因為，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知正方體為中點，為BC中點，則（）A.直線PD與直線平行 B.直線與直線垂直C.直線PQ與直線相交 D.直線PQ與直線異面〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意，設正方體的棱長為2，以為坐標原點，如圖建立坐標系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，對于A，,0,，,0,，由于對于任意的都不會成立，則與不平行，則直線與直線不平行，A錯誤；對于B，,2,，,,，則有，則，即直線與直線垂直，B正確；對于C，直線與相交，故平面，直線平面，，所以PQ與直線是異面直線，C錯誤；對于D，,顯然兩直線不平行，假設直線與直線相交，則在同一平面上，,故存在實數(shù)使得，即，則無解，故與直線既不相交也不平行，是異面直線，D正確．故選：BD．10.已知函數(shù),則下列說法正確的是（）A.的圖像是中心對稱圖形 B.的圖像是軸對稱圖形C.是周期函數(shù) D.存在最大值與最小值〖答案〗BCD〖解析〗,對于A選項,不為常數(shù),故A錯誤.對于B選項,,則函數(shù)關于對稱.故B正確.對于C選項,,則函數(shù)周期為.故C正確.對于D選項,令由于為偶函數(shù),則只需要考慮部分即可.則.故D正確.故選:BCD.11.外接圓半徑為的滿足，則（）A. B.C.的面積是 D.的周長是〖答案〗AC〖解析〗由，有，故，其中角滿足又，當且僅當，，故,,結合為三角形的內角，而為銳角，故,,故有，所以為鈍角，且，由于為鈍角，故有，則結合函數(shù)的單調性有，故A正確，B錯誤；由，則，則三角形的面積，由，三角形的周長，故C正確，D錯誤．故選：AC．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記復數(shù)的共軛復數(shù)為，寫出一個滿足的復數(shù)：_______________．〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足對即可）〖解析〗令，則，故．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，滿足對，即可）．13.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，各項不等的數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，且，則______________．〖答案〗1〖解析〗由已知可得，，，，再由，，得，，聯(lián)立以上兩式可得：，（舍去），或，即．14.若隨機變量X，Y分別服從成功概率為的兩點分布，則的取值范圍是______________．〖答案〗〖解析〗因為隨機變量，分別服從成功概率為，的兩點分布，則，，，，所以或1，所以或或，因為或，且或，所以或，所以或，即的取值范圍是．四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線過橢圓右焦點，且交于兩點．（1）求的離心率；（2）設點，求的面積．解：（1）由題，，且在上有，解得．故橢圓的標準方程為，離心率．（2）因為直線經過，兩點，可得直線的方程為，聯(lián)立，解得或，所以直線與橢圓的另一交點為，則，又點到直線的距離．故的面積．16.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若在區(qū)間[0，2]上有且僅有一個零點，求的取值范圍.解：（1），當時，恒成立，在上單調遞增；當時，令，解得，令，解得，故上單調遞減，在和上單調遞增；當時，令，解得，令，解得，故在上單調遞減，在和上單調遞增.綜上，時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在和上單調遞增；時，在上單調遞減，在和上單調遞增.（2）當時，在區(qū)間[0，2]上，故不存在零點；當時，在上單調遞增，故在區(qū)間[0，2]上單調遞增，又時，，故在區(qū)間[0，2]上不可能存在零點；當時，上單調遞減，在上單調遞增；若，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，又，故只能在上有零點，由零點存在性定理有，解得.或，解得；故此時滿足條件；若，即時，在上單調遞減，則，此時均滿足題意，故滿足條件.綜上，.17.機器模型預測常常用于只有正確與錯誤兩種結果的問題.表1為根據(jù)模型預測結果與真實情況的差距的情形表格，定義真正例率，假正例率.概率閾值為自行設定的用于判別正(反)例的值，若分類器(分類模型)對該樣例的預測正例概率大于等于設定的概率閾值，則記分類器預測為正例，反之預測為反例.總例預測結果正例反例真實情況正例真正例假反例反例假正例真反例表1分類結果樣例劃分利用這些指標繪制出的ROC曲線可衡量模型的評價效果：將各樣例的預測正例概率與從大到小排序并依次作為概率閾值，分別計算相應概率閾值下的與.以為橫坐標，為縱坐標，得到標記點.依次連接各標記點得到的折線就是ROC曲線.圖1為甲分類器對于8個樣例的ROC曲線，表2為甲，乙分類器對于相同8個樣例的預測數(shù)據(jù).樣例數(shù)據(jù)甲分類器乙分類器樣例標號樣例屬性預測正例概率預測正例概率1正例0.230.342正例0.580.533反例0.150.134反例0620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲，乙分類器對于相同8個樣例的預測數(shù)據(jù)（1）當概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應點；（2）在圖2中繪制乙分類器對應的ROC曲線(無需說明繪圖過程)，并直接寫出甲，乙兩分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積；（3）按照上述思路，比較甲，乙兩分類器的預測效果，并直接寫出理想分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.解：（1）概率閾值為0.47時，真正例為，假反例為，假正例為，真反例為，則.所以橫坐標，縱坐標，故當概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應點對應點為.（2）乙分類器對應的ROC曲線如下圖所示.由已知題意可得，甲、乙分類器的ROC曲線都經過，作如下圖所示的輔助線，每個小直角三角形的面積都等于，大直角三角形的面積都等于，故所求面積為.所以，甲分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.作如下圖所示的輔助線，同理可得所求面積為.所以，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.（3）乙分類器的預測效果更好.由（2）分析可知，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積較甲的大些，故可認為乙分類器的預測效果更好.充要條件：所有真實屬性為正例的樣例的預測正例概率的最小值大于所有真實屬性為反例的樣例的預測正例概率的最大值.18.如圖，四棱錐中，平面平面，．設中點為，過點的平面同時垂直于平面與平面．（1）求；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）求平面截四棱錐所得多邊形的周長．解：（1）設，，，則，在中，，整理得，由題意得，則，即，解得，因此，即．（2）作中點，連接，，因為為中點，，所以，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，而，，平面，故，，，因為，，所以四邊形、四邊形都是平行四邊形，故，，而，所以，又因為為中點，所以，在平面中也有，由于，故，，，，由勾股定理得：，，故以為原點，，，為，，軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，設平面，平面，平面，平面的法向量分別為，，，則，即，取，則，同理可得，因為平面同時垂直于平面，平面，所以，，即，取，則，平面的法向量是，則，設平面與平面的夾角為，則，故，因此平面與平面夾角的正弦值為．（3）設是平面上一點，因為平面過點，則可以設，這是因為此時，因此可設，因為當平面與平面相交時，其交線必為直線且唯一，故只需討論平面與四棱錐的公共部分，當時，在直線上，因此平面過直線，故平面與平面，平面交于直線，與棱，分別交于，，故只需討論平面與棱，的交點：設平面與棱，的交點分別為，，則設，，令，則，解得，即，同理可得，故平面與平面交于，平面交于，因此平面截四棱錐所得截面多邊形為四邊形，故周長為．19.某箱中有個除顏色之外均相同的球，已知.箱中1個球為白球，其余為黑球.現(xiàn)在該箱中進行一取球實驗:每次從箱中等可能地取出一個球，若取出白球或取球次后結束實驗，否則進行相應操作進行下一次取球.設實驗結束時的取球次數(shù)為.（1）若取出黑球后放回箱中，求的數(shù)學期望;（2）若取出黑球后替換為白球放回箱中，求的最大值，并證明:.解：（1）每一次取到白球的概率為，取到黑球的概率為，當時，的所有可能取值為，且有，因此的分布列為：12…….，即，，兩式作差得，故，代入得.（2）由于取球次數(shù)最多為次，則當時，，分別令，，整理得，代入得，則的最大值在或處取得，且代入有，經檢驗，時也成立，因此.下面證明：，即證，等價于證明，等價于證明，等價于證明，又當時，，則，且有，所以上式成立，即得證.河北省L16聯(lián)盟2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8的極差是（）A. B.5 C.5 D.8〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8中，最小的為1，最大的為9，則其極差為．故選：D．2.已知點是直線上相異的三點，為直線外一點，且，則的值是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗，即，因為點是直線上相異的三點，則點三點共線，則，解得.故選：A.3.某圓環(huán)的內外半徑分別為2和4，將其繞對稱軸旋轉一周后得到的幾何體體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，幾何體體積為大球的體積減去小球的體積，所以幾何體體積為．故選：C．4.已知函數(shù)的定義域為集合，值域為集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得或，所以函數(shù)定義域為集合，則值域為集合，所以.故選：D.5.已知點為平面內一動點，設甲：的運動軌跡為拋物線，乙：到平面內一定點的距離與到平面內一定直線的距離相等，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗當直線經過定點時，點的軌跡是過定點且垂直于該直線的另一條直線，當直線不經過該定點時，點的軌跡為拋物線，故甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：A．6.設函數(shù)，若存在使得既是的零點，也是的極值點，則的可能取值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，令，則或，當時，由，得，所以，則當時，由，得，由，得或，當時，不存在極值點，當時，得，綜上，，所以當時，.故選：B.7.過原點且傾斜角為的直線與圓相切，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗過原點且傾斜角為的直線的方程為，又直線與圓相切，圓心，半徑，可得圓心到直線的距離，即，即，即，即，解得：．故選：B．8.雙曲線的兩焦點分別為，過的直線與其一支交于，兩點，點在第四象限.以為圓心，的實軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點，且，則的漸近線方程是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意得：，設，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因為，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知正方體為中點，為BC中點，則（）A.直線PD與直線平行 B.直線與直線垂直C.直線PQ與直線相交 D.直線PQ與直線異面〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意，設正方體的棱長為2，以為坐標原點，如圖建立坐標系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，對于A，,0,，,0,，由于對于任意的都不會成立，則與不平行，則直線與直線不平行，A錯誤；對于B，,2,，,,，則有，則，即直線與直線垂直，B正確；對于C，直線與相交，故平面，直線平面，，所以PQ與直線是異面直線，C錯誤；對于D，,顯然兩直線不平行，假設直線與直線相交，則在同一平面上，,故存在實數(shù)使得，即，則無解，故與直線既不相交也不平行，是異面直線，D正確．故選：BD．10.已知函數(shù),則下列說法正確的是（）A.的圖像是中心對稱圖形 B.的圖像是軸對稱圖形C.是周期函數(shù) D.存在最大值與最小值〖答案〗BCD〖解析〗,對于A選項,不為常數(shù),故A錯誤.對于B選項,,則函數(shù)關于對稱.故B正確.對于C選項,,則函數(shù)周期為.故C正確.對于D選項,令由于為偶函數(shù),則只需要考慮部分即可.則.故D正確.故選:BCD.11.外接圓半徑為的滿足，則（）A. B.C.的面積是 D.的周長是〖答案〗AC〖解析〗由，有，故，其中角滿足又，當且僅當，，故,,結合為三角形的內角，而為銳角，故,,故有，所以為鈍角，且，由于為鈍角，故有，則結合函數(shù)的單調性有，故A正確，B錯誤；由，則，則三角形的面積，由，三角形的周長，故C正確，D錯誤．故選：AC．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記復數(shù)的共軛復數(shù)為，寫出一個滿足的復數(shù)：_______________．〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足對即可）〖解析〗令，則，故．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，滿足對，即可）．13.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，各項不等的數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，且，則______________．〖答案〗1〖解析〗由已知可得，，，，再由，，得，，聯(lián)立以上兩式可得：，（舍去），或，即．14.若隨機變量X，Y分別服從成功概率為的兩點分布，則的取值范圍是______________．〖答案〗〖解析〗因為隨機變量，分別服從成功概率為，的兩點分布，則，，，，所以或1，所以或或，因為或，且或，所以或，所以或，即的取值范圍是．四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線過橢圓右焦點，且交于兩點．（1）求的離心率；（2）設點，求的面積．解：（1）由題，，且在上有，解得．故橢圓的標準方程為，離心率．（2）因為直線經過，兩點，可得直線的方程為，聯(lián)立，解得或，所以直線與橢圓的另一交點為，則，又點到直線的距離．故的面積．16.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若在區(qū)間[0，2]上有且僅有一個零點，求的取值范圍.解：（1），當時，恒成立，在上單調遞增；當時，令，解得，令，解得，故上單調遞減，在和上單調遞增；當時，令，解得，令，解得，故在上單調遞減，在和上單調遞增.綜上，時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在和上單調遞增；時，在上單調遞減，在和上單調遞增.（2）當時，在區(qū)間[0，2]上，故不存在零點；當時，在上單調遞增，故在區(qū)間[0，2]上單調遞增，又時，，故在區(qū)間[0，2]上不可能存在零點；當時，上單調遞減，在上單調遞增；若，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，又，故只能在上有零點，由零點存在性定理有，解得.或，解得；故此時滿足條件；若，即時，在上單調遞減，則，此時均滿足題意，故滿足條件.綜上，.17.機器模型預測常常用于只有正確與錯誤兩種結果的問題.表1為根據(jù)模型預測結果與真實情況的差距的情形表格，定義真正例率，假正例率.概率閾值為自行設定的用于判別正(反)例的值，若分類器(分類模型)對該樣例的預測正例概率大于等于設定的概率閾值，則記分類器預測為正例，反之預測為反例.總例預測結果正例反例真實情況正例真正例假反例反例假正例真反例表1分類結果樣例劃分利用這些指標繪制出的ROC曲線可衡量模型的評價效果：將各樣例的預測正例概率與從大到小排序并依次作為概率閾值，分別計算相應概率閾值下的與.以為橫坐標，為縱坐標，得到標記點.依次連接各標記點得到的折線就是ROC曲線.圖1為甲分類器對于8個樣例的ROC曲線，表2為甲，乙分類器對于相同8個樣例的預測數(shù)據(jù).樣例數(shù)據(jù)甲分類器乙分類器樣例標號樣例屬性預測正例概率預測正例概率1正例0.230.342正例0.580.533反例0.150.134反例0620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲，乙分類器對于相同8個樣例的預測數(shù)據(jù)（1）當概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應點；（2）在圖2中繪制乙分類器對應的ROC曲線(無需說明繪圖過程)，并直接寫出甲，乙兩分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積；（3）按照上述思路，比較甲，乙兩分類器的預測效果，并直接寫出理想分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.解：（1）概率閾值為0.47時，真正例為，假反例為，假正例為，真反例為，則.所以橫坐標，縱坐標，故當概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應點對應點為.（2）乙分類器對應的ROC曲線如下圖所示.由已知題意可得，甲、乙分類器的ROC曲線都經過，作如下圖所示的輔助線，每個小直角三角形的面積都等于，大直角三角形的面積都等于，故所求面積為.所以，甲分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.作如下圖所示的輔助線，同理可得所求面積為.所以，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.（3）乙分類器的預測效果更好.由（2）分析可知，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積較甲的大些，故可認為乙分類器的預測效果更好.充要條件：所有真實屬性為正例的樣例的預測正例概率的最小