專題09分式方程（2大考點4種題型）

專題09分式方程（2大考點+4種題型）思維導(dǎo)圖核心考點與題型分類聚焦考點一：分式方程及其解法考點二：分式方程應(yīng)用題題型一：分式方程的解法題型二：根據(jù)分式方程解的情況求值題型三：分式方程無解問題題型四：分式方程的實際應(yīng)用考點一：分式方程及其解法1、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解過程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母為0，那么這個解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步驟（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去分母，化成整式方程；（2）解這個整式方程，求出整式方程的根；（3）檢驗．有兩種方法：①將求得的整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，則這個根為增根，方程無解；如果最簡公分母不等于0，則這個根為原方程的根，從而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，則這個根為原方程的根，從而解出原方程的解；如果不成立，則這個根為增根，方程無解．分式方程組的概念由兩個或兩個以上的分式方程構(gòu)成的方程組叫做分式方程組．解分式方程組的方法找出分式方程組中相同的分式進(jìn)行換元，將分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組，解方程組，然后進(jìn)行檢驗．考點二：分式方程應(yīng)用題列方程（組）解應(yīng)用題時，如何找“相等關(guān)系”利用題目中的關(guān)鍵語句尋找相等關(guān)系；利用公式、定理尋找相等關(guān)系；從生活、生產(chǎn)實際經(jīng)驗中尋找相等關(guān)系．題型一：分式方程的解法【例1】．（2023下·上海虹口·八年級統(tǒng)考期末）用換元法解分式方程時，如果設(shè)，將原方程化為關(guān)于y的整式方程，那么這個整式方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先換元，再去分母整理成整式方程即可．【詳解】解：設(shè)，則原分式方程可化為：，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了換元法，確定換元的新未知數(shù)與原方程中代數(shù)式的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）在分式方程中，令，則原方程可化為關(guān)于y的方程是．【答案】【分析】利用換元法，將代入原方程，再將其化為整式方程即可．【詳解】解：設(shè)，則原方程可化為，即，故答案為：．【點睛】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程是常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解分式方程的特點，尋找解題技巧．【變式2】．（2023下·上海楊浦·八年級?？计谥校┯脫Q元法解方程，設(shè)，則得到關(guān)于的整式方程為．【答案】【分析】設(shè)，則，轉(zhuǎn)化后再進(jìn)一步整理得到整式方程即可．【詳解】解：設(shè)，∴，則原方程為：，整理得：，故答案為：．【點睛】本題考查了用換元法解分式方程，掌握換元法、變量代換法，通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期末）解方程：【答案】【分析】運(yùn)用乘法公式，分式的性質(zhì)解分式方程即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以：，得：，整理得：，∴，解得：，經(jīng)檢驗：是增根，故舍去，∴原方程的根是．【點睛】本題主要考查解分式方程，掌握乘法公式，解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2023下·上海虹口·八年級統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】【分析】去分母，整理得，求出方程的根，最后檢驗．【詳解】解：整理得：

解得：，經(jīng)檢驗是原方程的根，是原方程的增根，舍去．所以，原方程的根為【點睛】此題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟悉分式方程求解過程．題型二：根據(jù)分式方程解的情況求值【例2】．（2022下·上海普陀·八年級校考期中）已知關(guān)于的分式方程有增根，則．【答案】1【分析】先把分式方程化為整式方程得到，然后把代入得，再解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：去分母得，整理得，把代入得，解得；所以當(dāng)時，原方程有增根．故答案為．【點睛】本題考查了分式方程的增根：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．【變式1】．（2023下·上海普陀·八年級?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，解關(guān)于的方程會產(chǎn)生增根．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程計算即可求出的值．【詳解】解：解：去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程得：，故答案為：．【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式2】．（2022下·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)校考期末）已知方程只有一個根，求a的值．【答案】5或9或；【分析】去分母化為一元二次方程，分別討論一元二次方程有一根為x=1、有一根為x=2、有兩個相同根時，求得a的值再代入驗證即可；【詳解】解：去分母得：去括號得：①有一根為x=1時，代入得a=5，，則另一個根為x=0，此時分式方程只有一個根x=0，且分母不等于零，符合題意；②有一根為x=2時，代入得a=9，，則另一個根為x=1，此時分式方程只有一個根x=1，且分母不等于零，符合題意；③有兩個相同根時，48（5a）=0，a=，，，此時分式方程只有一個根x=，且分母不等于零，符合題意；∴a的值為5或9或；【點睛】本題考查了分式方程的增根，掌握分式方程的分母不能為零是解題關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才中學(xué)北校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的方程只有一個根，求的值，并直接寫出對應(yīng)的原方程的根．【答案】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有且僅有一個實數(shù)根，分情況討論，即可確定出k的值即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：．整理得：．∴．∵原方程只有一個實數(shù)根，∴．即．解得：．當(dāng)時，原方程的根為：．若整式方程中的，則增根為或，當(dāng)時，代入方程可得，，此時方程，解得：（舍去）當(dāng)時，代入方程可得，，此時方程為，解得：（舍去）綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點睛】本題考查了分式方程含參問題、一元二次方程根的情況，熟練掌握分式方程的計算方法和一元二次方程根的判別式當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根，是解題的關(guān)鍵．題型三：分式方程無解問題【例3】．（2021下·上海長寧·八年級上海市第三女子初級中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于方程無解，則的值是．【答案】1【分析】把原方程去分母化為整式方程，求出方程的解得到的值，由分式方程無解得到分式方程的分母為0，求出的值，兩者相等得到關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，關(guān)于方程無解，，，，解得：，故答案為：1．【點睛】本題考查了解分式方程、分式方程無解，熟練掌握解分式方程的步驟以及理解分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海浦東新·八年級?？计谀┤絷P(guān)于x的方程無實根，則m取值范圍是．【答案】或【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，分兩種情況，整式方程無解和分式方程有增根，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程為：，整理得：，∵分式方程無實數(shù)根，①整式方程無實數(shù)根，則：，解得：；②分式方程有增根，則：，∴，當(dāng)時：，解得：，當(dāng)時：，解得：，綜上：m取值范圍是或；故答案為：或．【點睛】本題考查分式方程解的情況求參數(shù)的取值范圍．解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無實數(shù)根的兩種情況，正確的計算．【變式2】．（2021下·上?！ぐ四昙壣贤飧街行？计谀┤絷P(guān)于x的方程無解，求實數(shù)的值．【答案】或或【分析】方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出的表達(dá)式，根據(jù)分式方程無解可得或或的表達(dá)式中分母為0，再代入的表達(dá)式中即可求出的值．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得：，解得：，當(dāng)時，此方程無解，原分式方程也無解，解得：，當(dāng)時，原分式方程無解，，或，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，綜上，的值為或或．【點睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解的特點，并能分情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．題型四：分式方程的實際應(yīng)用【例4】．（2022下·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ刑锪值谌袑W(xué)?？计谥校?G的速度很快，比4G速度每秒多95MB，一部1000MB的電影，5G比4G要快190秒，求5G的速度．【答案】100MB/秒【分析】設(shè)5G的速度是xMB/秒，則4G速度是（x95）MB/秒，根據(jù)“5G比4G要快190秒”列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)5G的速度是xMB/秒，則4G速度是（x95）MB/秒，由題意得：，解得：（舍去），經(jīng)檢驗，是原方程的根，∴5G的速度是100MB/秒．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022下·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)校考階段練習(xí)）若A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，且甲比乙早出發(fā)2小時．如果乙比甲每小時多行2千米，那么兩人恰好在AB中點相遇．求甲、乙兩人的速度各是每小時多少千米？【答案】甲的速度是每小時3千米，乙的速度是每小時5千米．【分析】設(shè)甲的速度是每小時x千米，則乙的速度是每小時（x＋2）千米，根據(jù)“行駛一半的路程甲所用時間比乙所用時間多2小時”列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲的速度是每小時x千米，則乙的速度是每小時（x＋2）千米，根據(jù)題意，得：，整理，得：，解得：，，經(jīng)檢驗：，都是原方程的解，但不符合題意，舍去，∴原方程的解是x＝3，則x＋2＝5，答：甲的速度是每小時3千米，乙的速度是每小時5千米．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解一元二次方程，關(guān)鍵是能夠表示兩人所用時間，然后根據(jù)題意列方程求解．【變式2】．（2022下·上海普陀·八年級校考期中）一項工程，如果甲、乙兩隊單獨完成，甲隊比乙隊多用5天，如果甲、乙兩隊合作，6天可以完成.求兩隊單獨完成此項工程各需多少天？【答案】甲隊單獨完成此項工程需15天，乙隊單獨完成此項工程需10天．【分析】設(shè)甲隊單獨完成此項工程需x天，則乙隊完成此項工程需（x?5）天，由甲、乙兩隊合作，6天可以完成，列出分式方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)甲隊單獨完成此項工程需x天，則乙隊完成此項工程需（x?5）天，根據(jù)題意得：，解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝15，經(jīng)檢驗：x＝15是原方程的解，且符合題意，則x?5＝10，答：甲隊單獨完成此項工程需15天，乙隊單獨完成此項工程需10天．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海靜安·八年級統(tǒng)考期末）某公司先從甲地用9000元購買了一批商品，后發(fā)現(xiàn)乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元從乙地補(bǔ)購了一批同樣的商品．公司按每件200元售完這兩批商品后，共賺了11000元．(1)設(shè)該公司從甲地購進(jìn)x件商品，請用含字母x的代數(shù)式表示從乙地購進(jìn)的商品件數(shù)是______；(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求該公司分別從甲乙兩地購進(jìn)這種商品各多少件．【答案】(1)(2)該公司從甲地購進(jìn)這種商品60件商品，從乙地購進(jìn)這種商品100件．【分析】（1）設(shè)從乙地購進(jìn)的商品件數(shù)是y件，依題意得，據(jù)此即可求解；（2）根據(jù)“乙地同一商品每件比甲地便宜30元”列分式方程，解方程即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)從乙地購進(jìn)的商品件數(shù)是y件，依題意得，整理得，∴，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得，解得或，經(jīng)檢驗，或都是分式方程的解，但不符合題意，舍去，∴，，答：該公司從甲地購進(jìn)這種商品60件商品，從乙地購進(jìn)這種商品100件．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．注意不要忘記檢驗．一、單選題1．（2022下·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ惺形鞒跫壷袑W(xué)?？计谥校┮阎匠蹋孩?；②③；④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：根據(jù)定義可知，①②③為分式方程，④不是分式方程，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才中學(xué)北校?？茧A段練習(xí)）分式方程經(jīng)過“去分母”和“去括號”步驟后得到的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分式方程變形后，兩邊同乘去分母，去括號得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：分式方程變形得：，去括號得：，故選：D．【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．3．（2023下·上海寶山·八年級校考階段練習(xí)）用換元法解方程時，設(shè)則原方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知方程變形后，將代入即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，即，由，得到方程化為關(guān)于y的整式方程是，故選：C．【點睛】此題考查了換元法解分式方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2023下·上?！ぐ四昙夒A段練習(xí)）方程的根是（）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】A【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：，，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴是原方程的增根，當(dāng)時，，∴是原方程的根，故選：A．【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意，解分式方程必須檢驗．5．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】先化分式方程為整式方程，分系數(shù)中含m和不含m兩種情況求解，含m用一元一次方程的無解知識求解；不含m時，用分式方程的增根求解．【詳解】將方程去分母得到：，即，∵分式無解，∴將代入中，解得，故選D．【點睛】本題考查分式方程無解的情況，正確理解分式方程無解的意義得到整式方程的解是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)校考期中）若x為實數(shù)，且滿足，則（）A． B． C．或 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)，方程變形后，求出的值，即為的值．【詳解】解：設(shè)，方程變形為，即，解得：或，當(dāng)時，化簡得，，方程無解，則故選：B【點睛】此題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．二、填空題7．（2023下·八年級單元測試）若關(guān)于的分式方程的解是，則．【答案】【分析】把代入分式方程計算，即可求解．【詳解】解：把代入分式方程得，，分式方程有意義，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查分式方程的解，掌握概念、正確計算是解題的關(guān)鍵．8．（2023下·上海寶山·八年級校考期中）已知解關(guān)于的方程產(chǎn)生增根，那么的值是．【答案】【分析】根據(jù)增根的概念，可知，由此即可求解．【詳解】解：∴，∵關(guān)于的方程產(chǎn)生增根，∴，把代入得，，故答案為：．【點睛】本題主要考查分式的增根的概念，理解并掌握分式中增根的含義是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才中學(xué)北校?？茧A段練習(xí)）用換元法解分式方程時，如果設(shè)，那么可將原方程變形后表示為關(guān)于y的一元二次方程一般形式：．【答案】【分析】將原分式方程中的全部換成y，最后去分母化成整式方程即可．【詳解】解：化簡得：，把代入得：，兩邊同時乘以y得：，故答案為：．【點睛】本題考查了整體換元法、去分母將分式方程化為整式方程，正確代入以及去分母是解題關(guān)鍵．10．（2023下·上海普陀·八年級?？茧A段練習(xí)）用換元法解分式方程時，如果設(shè)，那么原方程可以化為關(guān)于的整式方程是．【答案】【分析】把原方程化為，設(shè)，原方程可以化為，可得.【詳解】解：∵，∴，設(shè)，∴原方程可以化為，∴，故答案為：.【點睛】本題考查的是利用換元法解分式方程，掌握換元的方法是解本題的關(guān)鍵.11．（2023下·上海長寧·八年級上海市延安初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有增根，那么．【答案】【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值．【詳解】解：，去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程，解得．把代入整式方程無解．故答案為：．【點睛】本題主要考查分式方程的解法及增根問題，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法．12．（2023下·上海·八年級專題練習(xí)）方程的根是．【答案】【分析】先將分式方程化為整式方程，進(jìn)而根據(jù)因式分解法解一元二次方程，最后檢驗即可求解．【詳解】解：，去分母得：，分解因式得：，∴或，解得：，，檢驗：把代入得：，∴是原方程的增根，把代入得：，∴是原方程的根，即原方程的根是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟，是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程要進(jìn)行檢驗．13．（2023下·八年級單元測試）若關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【答案】10或或3【分析】分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．【詳解】解：（1）為原方程的增根，此時有，即，解得；（2）為原方程的增根，此時有，即，解得．（3）方程兩邊都乘，得，化簡得：．當(dāng)時，整式方程無解．綜上所述，當(dāng)或或時，原方程無解．故答案為：10或或3．【點睛】本題考查的是分式方程的解，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．三、解答題14．（2023下·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才中學(xué)北校?？茧A段練習(xí)）解方程：【答案】【分析】先去分母，把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．【詳解】解：去分母得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴原方程組的解為．【點睛】本題考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要驗根．15．（2023下·上海寶山·八年級校考階段練習(xí)）解方程：．【答案】，【分析】先去分母得到整式方程，解這個整式方程再驗根即可．【詳解】解：方程兩邊同乘得：，整理得：，配方得：，解得：或，即，，檢驗，時，，∴原方程的解為，．【點睛】本題考查了解分式方程，解一元二次方程，去分母化成整式方程是解題關(guān)鍵．16．（2023下·上海虹口·八年級上外附中校考期末）．【答案】【分析】根據(jù)分式方程的解法求解即可.【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，整理，得，解得：，經(jīng)檢驗，都是原方程的根，∴原方程的根為：.【點睛】本題考查了可化為一元二次方程的分式方程的解法，不要漏掉檢驗這一環(huán)節(jié).17．（2023下·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋海敬鸢浮浚?，【分析】利用完全平方公式將原方程變形為，令，則，求出一元二次方程的解后，再解分式方程即可．【詳解】解：，，，令，則，因式分解，得，解得或，當(dāng)時，，去分母，得，，，經(jīng)檢驗，是的解；當(dāng)時，，去分母，得，即，解得，經(jīng)檢驗，是的解；綜上可知，原方程的解為，，．【點睛】本題考查解分式方程、一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用完全平方公式、換元法將原方程進(jìn)行變形．18．（2021下·上海長寧·八年級上海市第三女子初級中學(xué)?？计谥校敬鸢浮俊痉治觥肯热シ帜笇⒎匠袒癁檎椒匠?，再解整式方程，檢驗即可得到答案．【詳解】解：去分母得：，移項合并同類項得：，，解得：，，當(dāng)時，，是原方程的解，當(dāng)時，，不符合題意，不是原方程的解，原方程的解為．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，注意要檢驗．19．（2021下·上海浦東新·八年級?？计谥校┙夥匠?【答案】【分析】方程兩邊同時乘以，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解一元二次方程，檢驗后可得原方程的解．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：，整理得：，∴，∴或，∴，，檢驗：當(dāng)時，，所以是增根，當(dāng)時，，所以原方程的解為．【點睛】本題考查了解分式方程，解一元二次方程，在解分式方程時注意要檢驗．20．若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是多少？【答案】m=1或m=2.【分析】方程兩邊都乘以最簡公分母x（x+1）化分式方程為整式方程，然后把增根代入進(jìn)行計算即可求出m的值．【詳解】方程兩邊都乘以x（x+1）得，2x2m1=（x+1）2，若分式方程產(chǎn)生增根，則x（x+1）=0，解得x=0或x=1，把代入整式方程，得解得；把代入整式方程，得解得∴m=1或m=2.【點睛】本題考查了分式方程的增根的問題，增根就是使分式方程的最簡公分母等于0的未知數(shù)的值，把分式方程化為整式方程代入求解即可．21．（2022上·上海黃浦·八年級上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)校考期中）關(guān)于的方程只有一個實數(shù)根，求：的值．【答案】的值為或【分析】先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，求解即可．【詳解】解：將轉(zhuǎn)化為整式方程可得：；當(dāng)時，方程為，解得經(jīng)檢驗，是原方程的解；當(dāng)時，方程為一元二次方程，判別式所以一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，由題意可得，一元二次方程必有一個根為分式方程的增根，由分式方程可得，方程的增根只可能為0或1，當(dāng)時，方程不成立，舍去；當(dāng)時，方程為，解得，將代入可得解得或經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，綜上：的值為或．【點睛】本題考查了解分式方程，注意：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個解，可能是轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運(yùn)用判別式增根等知識全面分析．22．（2023下·上海黃浦·八年級?？茧A段練習(xí)）甲乙兩人各加工30個零件，甲比乙少用1小時完成任務(wù)；乙改進(jìn)操作方法，使生產(chǎn)效率提高了一倍，結(jié)果乙完成30個零件的時間比甲完成24個零件所用的時間少1小時．問甲乙兩人原來每小時各加工多少個零件．【答案】6個、5個．【詳解】試題分析：甲乙原來生產(chǎn)零件之間有一定的等量關(guān)系．乙改進(jìn)之后，兩者之間又存在一定的等量關(guān)系．所以可以用二元一次方程組解答，分別設(shè)甲乙原來每小時加工零件分別為x,y個，根據(jù)題意列出方程．解：設(shè)甲乙兩人原來每小時各加工零件分別為x個、y個，由題意得，，解得：．經(jīng)檢驗它是原方程的組解，且符合題意．答：甲乙兩人原來每小時各加工零件分別為6個、5個．23．（2022下·上?！ぐ四昙壠谀W(xué)校到學(xué)習(xí)基地的公路距離為15千米，一部分人騎自行車先走，40分鐘后，其余的人乘坐汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，如果汽車的平均速度與自行車的平均速度的比是3:1，問：汽車與自行車的平均速度分別是多少？【答案】自行車的平均速度是15千米/小時，汽車的平均速度是45千米/小時.【詳解】試題分析：設(shè)自行車的平均速度是x千米/時，汽車的平均速度是3x千米/時，根據(jù)學(xué)校到學(xué)習(xí)基地的公路距離為15千米，部分同學(xué)騎自行車先走，40分鐘后，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)學(xué)習(xí)基地可列方程求解．試題解析：設(shè)自行車的平均速度是x千米/小時，汽車的平均速度是3x千米/小時，由題意得：，x=15，經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解且符合題意，∴3x=45，答：自行車的平均速度是15千米/小時，汽車的平均速度是45千米/小時.24．為慶?！傲弧被顒?鎮(zhèn)活動中心需要600個環(huán)保紙袋,原計劃由初二(1)班全體同學(xué)制作完成、在實際制作時,又有初二(2)班10名同學(xué)自愿加入?yún)⑴c制作,這樣,實際參加制作的同學(xué)人均制作的數(shù)量比原計劃少5個,那么初二(1)班共有多少名同學(xué)?【答案】30名【分析】設(shè)該班級共有x名同學(xué)，根據(jù)原計劃制作的個數(shù)實際每個學(xué)生做的個數(shù)＝5，可列出關(guān)于x的分式方程，