2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.1第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應用跟蹤訓練含解析新人教A版選修2-3

PAGE第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應用[A組學業(yè)達標]1．由數(shù)字1,2,3組成的無重復數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為()A．15 B．12C．10 D．5解析：分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個；其次類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個；第三類組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個．由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)5個．答案：D2．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，則不同的二次函數(shù)的個數(shù)為()A．125 B．15C．100 D．10解析：若y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，則a≠0，要完成該事務，需分步進行：第一步，對于系數(shù)a有4種不同的選法；其次步，對于系數(shù)b有5種不同的選法；第三步，對于系數(shù)c有5種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×5×5＝100(個)．答案：C3．若三角形的三邊長均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿意b≤4≤c，則這樣的三角形有()A．10個 B．14個C．15個 D．21個解析：當b＝1時，c＝4；當b＝2時，c＝4,5；當b＝3時，c＝4,5,6；當b＝4時，c＝4,5,6,7.故共有10個這樣的三角形．答案：A4．把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24解析：擺好的3個座位共有4個空隙供3人(不妨記為甲、乙、丙)選擇就座，因此，可分三步：甲從4個空隙中任選一個空隙，有4種不同的選擇；乙從余下的3個空隙中任選一個空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個空隙中任選一個空隙，有2種不同的選擇．依據(jù)分步計數(shù)原理，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為4×3×2＝24.故選D.答案：D5．將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色，若只有4種顏色可供運用，則不同的染色方法共有()A．48種 B．72種C．96種 D．108種解析：①用四色時AC同色或BD同色．當AC同色時．AC有4種涂色方法．B有3種涂色方法．P有2種涂色方法．D有1種涂色方法．共有4×3×2×1＝24種不同的涂色方法．同理當BD同色時也有24種不同的涂色方法．②用三色時AC同色且BD同色AC有4種涂色方法BD有3種涂色方法P有2種涂色方法共有4×3×2＝24種不同的涂色方法綜上所述，共有24＋24＋24＝72種不同的涂色方法．答案：B6．如圖所示為一電路圖，則從A到B共有________條不同的單支線路可通電．解析：按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4(條)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)．答案：87．4名同學分別報名參與學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，則不同的報法有________種．解析：由于每個同學報哪個運動隊沒有限制，因此，每個同學都有3種報名方法，4個同學全部選完，才算完成這件事，故共有3×3×3×3＝81種不同的報法．答案：818．兩人進行乒乓球競賽，實行五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出輸贏為止，則全部可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不憐憫形)共有________種．解析：由題意知，競賽局數(shù)最少為3局，至多為5局．當競賽局數(shù)為3局時，情形為甲或乙連贏3局，共2種；當競賽局數(shù)為4局時，若甲贏，則前3局中甲贏2局，最終一局甲贏，共有3種情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，所以共有6種情形；當競賽局數(shù)為5局時，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最終一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以競賽局數(shù)為5局時共有2×6＝12(種)，綜上可知，共有2＋6＋12＝20(種)．答案：209．某文藝小組有20人，其中會唱歌的有14人，會跳舞的有10人，從中選出會唱歌與會跳舞的各1人參與演出，且既會唱歌又會跳舞的至多選1人，有多少種不同的選法？解析：第1類，首先從只會唱歌的10人中選出1人，有10種不同的選法，從會跳舞的10人中選出1人，有10種不同的選法，共有10×10＝100種不同的選法；第2類，從既會唱歌又會跳舞的4人中選1人，再從只會跳舞的6人中選1人，共有4×6＝24種不同的選法．所以一共有100＋24＝124種不同的選法．10．將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，有多少不同的種植方法.解析：分別用a，b，c代表3種作物，先支配第一塊田，有3種方法，不妨設放入a，再支配其次塊田，有2種方法b或c，不妨設放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法．(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法：①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法．綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法．[B組實力提升]11.用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，比3542大的四位數(shù)的個數(shù)是()A.360 B．240C.120 D．60解析：因為3542是能排出的四位數(shù)中千位為3的最大的數(shù)，所以比3542大的四位數(shù)是千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120個比3542大的四位數(shù)．答案：C12.4位同學參與某種形式的競賽，競賽規(guī)定：每位同學必需從甲、乙兩道題中任選一題作答，答對甲題得100分，答錯得－100分；答對乙題得90分，答錯得－90分．若4位同學的總得分為0，則這4位同學不同的得分狀況的種數(shù)是()A.48 B．36C.24 D．18解析：分兩類：第一類，都選甲題，則兩人正確兩人錯誤，全部可能的狀況有6種；其次類，都選乙題，則兩人正確兩人錯誤，全部可能的狀況有6種；第三種，若兩人選甲題，兩人選乙題，并且一對一錯，則全部的狀況有6×2×2＝24(種)．綜上，這4位同學不同的得分狀況的種數(shù)為6＋6＋24＝36.答案：B13.成都市的出租車車牌號規(guī)定為“川A·T××××”的格式，其中后四位為數(shù)字，那么成都市最多可以有________輛出租車．解析：后面四位每一位都可以在0～9這10個數(shù)字中任選1個數(shù)，且可以重復，故一共可以組成10×10×10×10＝104個車牌號，即最多有104輛出租車．答案：10414.用6種不同顏色為如圖所示的廣告牌著色，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的著色方法？解析：法一：分類：第一類，A，D涂同色，有6×5×4＝120種涂法，(用三色)其次類，A，D涂異色，有6×5×4×3＝360種涂法，(用四色)共有120＋360＝480種涂法．法二：分步：先涂B區(qū)，有6種涂法，再涂C區(qū)，有5種涂法，最終涂A，D區(qū)域，各有4種涂法，所以共有6×5×4×4＝480種涂法．15.用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解析：完成這件事可分為三類：第一類是個位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；其次步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，這類數(shù)的個數(shù)為4×4×3＝48.其次類是個位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個數(shù)字可以選擇，有3種選法；其次步，選取百位上的數(shù)字，