復(fù)變函數(shù)-第二章

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復(fù)變函數(shù)的主要研究對(duì)象是解析函數(shù).因?yàn)?，一方面它具有比較良好的性質(zhì)，如能展成冪級(jí)數(shù)，具有任意階導(dǎo)數(shù)，實(shí)、虛部皆為調(diào)和函數(shù)；另一方面這也是實(shí)際問題中應(yīng)用較為廣泛的一類函數(shù)，如平面無旋流體的流函數(shù)與勢函數(shù)，靜電場中的電通量和電位，它們皆與解析函數(shù)有密切聯(lián)系.第二章解析函數(shù)2024/10/30張曉斌編輯(47頁)第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)初等函數(shù)2024/10/302張曉斌編輯(47頁)1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義

2.解析函數(shù)的概念§2.1解析函數(shù)的概念2024/10/303張曉斌編輯(47頁)

一.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo).稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).2024/10/30張曉斌編輯(47頁)4

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零.

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)2024/10/305張曉斌編輯(47頁)例1問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？解(2)求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c

=(a+ib)

=0.②(zn)

=nzn-1

(n是自然數(shù)).證明對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有----實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣2024/10/306張曉斌編輯(47頁)③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]

=f

(z)±g

(z)，

[f(z)g(z)]

=f

(z)g(z)+f(z)g

(z)2024/10/307張曉斌編輯(47頁)④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g

(z)，

其中w=g(z).⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=

(w)互為單值的反函數(shù)，且

(w)

0.2024/10/308張曉斌編輯(47頁)例2解9例2解2024/10/30張曉斌編輯(47頁)102024/10/30張曉斌編輯(47頁)(1)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故.(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,

但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉.例如函數(shù)f(z)=x+2yi2024/10/3011張曉斌編輯(47頁)(3)可導(dǎo)與連續(xù)2024/10/30張曉斌編輯(47頁)12若w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w=f(z)點(diǎn)z0處連續(xù).?f(z)=x+2yi處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)！(3)可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w=f(z)點(diǎn)z0處連續(xù).?2024/10/30張曉斌編輯(47頁)13144.微分的概念:

復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.定義2024/10/30張曉斌編輯(47頁)15特別地,2024/10/30張曉斌編輯(47頁)2.4

解析函數(shù)定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）.如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點(diǎn).

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo).

(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析.2024/10/30張曉斌編輯(47頁)162024/10/3017張曉斌編輯(47頁)3.w=z2在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；定理1設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)

g(z)(g

(z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù).2024/10/3018張曉斌編輯(47頁)定理2設(shè)w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析.2024/10/3019張曉斌編輯(47頁)第一節(jié)內(nèi)容結(jié)束1.解析函數(shù)的充要條件

2.舉例2024/10/30張曉斌編輯(47頁)20§2函數(shù)解析的充要條件

如果復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析.

本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法.問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？2024/10/30張曉斌編輯(47頁)21一.解析函數(shù)的充要條件2024/10/30張曉斌編輯(47頁)222024/10/30張曉斌編輯(47頁)232024/10/30張曉斌編輯(47頁)24

記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).2024/10/3025張曉斌編輯(47頁)定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點(diǎn)z=x+iy

∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時(shí),有2024/10/30張曉斌編輯(47頁)26證明（由f(z)的可導(dǎo)C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導(dǎo)函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）.∵函數(shù)w=f(z)點(diǎn)z可導(dǎo)，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+

(Δz)Δz(1),且2024/10/3027張曉斌編輯(47頁)Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(

1+i

2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy)+i(bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=

1+i

2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy,Δv=bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy2024/10/3028張曉斌編輯(47頁)所以u(píng)(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微.

（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：2024/10/3029張曉斌編輯(47頁)2024/10/3030張曉斌編輯(47頁)定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.2024/10/3031張曉斌編輯(47頁)使用時(shí):i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，

ii)驗(yàn)證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意,并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡單拼湊成的.2024/10/3032張曉斌編輯(47頁)二.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)設(shè)z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則2024/10/30張曉斌編輯(47頁)33解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny2024/10/30張曉斌編輯(47頁)34僅在點(diǎn)z=0處滿足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則2024/10/30張曉斌編輯(47頁)35例2

求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為2024/10/3036張曉斌編輯(47頁)例3證明2024/10/3037張曉斌編輯(47頁)練習(xí):a=2,b=-1,c=-1,d=22024/10/3038張曉斌編輯(47頁)2024/10/3039張曉斌編輯(47頁)2024/10/3040張曉斌編輯(47頁)2024/10/3041張曉斌編輯(47頁)42例4證2024/10/30張曉斌編輯(47頁)432024/10/30張曉斌編輯(47頁)44例5解2024/10/30張曉斌編輯(47頁)45課堂練習(xí)答案2024/10/30張曉斌編輯(47頁)46參照以上例題可進(jìn)一步證明:2024/10/30張曉斌編輯(47頁)47第二節(jié)內(nèi)容結(jié)束第三次課內(nèi)容結(jié)束作業(yè)：習(xí)題冊(cè)第二章作業(yè)12024/10/30張曉斌編輯(47頁)1.指數(shù)函數(shù)

2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

3.對(duì)數(shù)函數(shù)

4.乘冪與冪函數(shù)

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)2024/10/30張曉斌編輯(43頁)48§3初等函數(shù)2024/10/30張曉斌編輯(43頁)49

本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它們的解析性.內(nèi)容簡介一.指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義2024/10/30張曉斌編輯(43頁)502024/10/30張曉斌編輯(43頁)512024/10/3052張曉斌編輯(43頁)

這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的.2024/10/3053張曉斌編輯(43頁)

54例1解2024/10/30張曉斌編輯(43頁)552024/10/30張曉斌編輯(43頁)56例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:2024/10/30張曉斌編輯(43頁)572024/10/30張曉斌編輯(43頁)58例3解2024/10/30張曉斌編輯(43頁)二.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù).即，(1)對(duì)數(shù)的定義2024/10/30張曉斌編輯(43頁)59故2024/10/3060張曉斌編輯(43頁)2024/10/30張曉斌編輯(43頁)612024/10/30張曉斌編輯(43頁)62特別

2024/10/3063張曉斌編輯(43頁)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2024/10/3064張曉斌編輯(43頁)例42024/10/3065張曉斌編輯(43頁)2024/10/30張曉斌編輯(43頁)662024/10/3067張曉斌編輯(43頁)2024/10/3068張曉斌編輯(43頁)2024/10/3069張曉斌編輯(43頁)三.乘冪與冪函數(shù)

乘冪ab定義

—多值—一般為多值2024/10/30張曉斌編輯(43頁)70—q支2024/10/3071張曉斌編輯(43頁)

(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a

的

n次根意義一致.(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a的n次冪意義一致.2024/10/3072張曉斌編輯(43頁)解例52024/10/3073張曉斌編輯(43頁)

冪函數(shù)zb定義①當(dāng)b=n(正整數(shù))w=zn在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù)2024/10/3074張曉斌編輯(43頁)2024/10/30張曉斌編輯(43頁)7576

除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當(dāng)b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，無窮多值.2024/10/30張曉斌編輯(43頁)四.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義2024/10/30張曉斌編輯(43頁)77正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)2024/10/3078張曉斌編輯(43頁)2024/10/3079張曉斌編輯(43頁)2024/10/30張曉斌編輯(43頁)802024/10/30張曉斌編輯(43頁)812024/10/3082張曉斌編輯(43頁)由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義(詳見P51)2024/10/3083張曉斌編輯(43頁)2024/10/3084張曉斌編輯(43頁)思考題：2024/10/3085張曉斌編輯(43頁)定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)2024/10/3086張曉斌編輯(43頁)2024/10/3087張曉斌編輯(43頁)5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)詳見P52

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

乘冪函數(shù)，三角函數(shù)．2024/10/30張曉斌編輯(43頁)8889第三節(jié)內(nèi)容結(jié)束第四次課內(nèi)容結(jié)束作業(yè)：習(xí)題冊(cè)第二章作業(yè)2,32024/10/30張曉斌編輯(43頁)*第四節(jié)平面場的復(fù)勢一、用復(fù)變函數(shù)表示平面向量場二、平面流速場的復(fù)勢三、靜電場的復(fù)勢四、小結(jié)與思考91一、用復(fù)變函數(shù)表示平面向量場平面定常向量場:

向量場中的向量都平行于某一個(gè)平面S,而且在垂直于S的任何一條直線上的所有點(diǎn)處的向量都是相等的;場中的向量也都與時(shí)間無關(guān).顯然,向量場在所有平行于S

的平面內(nèi)的分布情況是完全相同的,可以用So平面內(nèi)的場表示.9293例如,一個(gè)平面定常流速場(如河水的表面)平面電場強(qiáng)度向量為94二、平面流速場的復(fù)勢1.流函數(shù):如果它在單連域B

內(nèi)是無源場(即管量場),95流線962.勢函數(shù):