2023-2024學(xué)年陜西省寧強(qiáng)縣天津高級(jí)中學(xué)高三3月統(tǒng)一聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年陜西省寧強(qiáng)縣天津高級(jí)中學(xué)高三3月統(tǒng)一聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．4．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．45．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．8．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．10．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長(zhǎng)除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長(zhǎng)度約為A． B．C． D．11．記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，且對(duì)中的任意兩項(xiàng)與（），其和，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則（）A． B．C． D．12．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則＝_______．14．已知點(diǎn)M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí)，該切線的方程為_______．15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___．16．設(shè)集合，，則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，證明：.20．（12分）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、（不與點(diǎn)、重合），直線與直線相交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線.21．（12分）已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）.（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）百年大計(jì)，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測(cè)2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳，在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【詳解】.故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡(jiǎn)為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.4．B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設(shè)，則，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．5．C【解析】

求出，直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù).【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱錐，并且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，，再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示：由三視圖得：該幾何體是一個(gè)三棱錐，且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，則，所以，，，，該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7．B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).8．A【解析】

選取中間值和，利用對(duì)數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.9．B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?，所以不合題意；選項(xiàng)，計(jì)算，不符合函數(shù)圖象；對(duì)于選項(xiàng)，與函數(shù)圖象不一致；選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.10．D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長(zhǎng)為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以需要燈帶的總長(zhǎng)度約為，故選D．11．D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng)，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，，，，只有是該數(shù)列中的項(xiàng)，同理可以得到，，，也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有，，或（舍，，根據(jù)，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．12．B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng)，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14．【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時(shí)有最小值1，此時(shí)M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15．【解析】

由題意，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題意，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)椴粷M足，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

先解不等式,再求交集的定義求解即可.【詳解】由題,因?yàn)?解得,即,則,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查解一元二次不等式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，由可得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得（舍去）或，所以，所以．?）由（1）知，，所以，所以．18．（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為（為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得，所以，..【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：主要考查極坐標(biāo)，參數(shù)方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的公式，及與解析幾何相關(guān)的直線與曲線位置關(guān)系的一些解題思路．19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）在上有解，，設(shè)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.（2）證明，只需證，記，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】（1）由題可得，在上有解，則，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn)，所以.（2）由，所以，要證明，只需證，即證.記在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn)，，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.20．（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)已知可得，結(jié)合離心率和關(guān)系，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率不為零，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到縱坐標(biāo)關(guān)系，求出方程，令求出坐標(biāo)，要證、、三點(diǎn)共線，只需證，將分子用縱坐標(biāo)表示，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由于，將代入橢圓方程，得，由題意知，即.又，所以，.所以橢圓的方程為.（2）解法一：依題意直線斜率不為0，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，消去得，由題意，得恒成立，設(shè)，，所以，直線的方程為.令，得.又因?yàn)?，，則直線，的斜率分別為，，所以.上式中的分子，.所以，，三點(diǎn)共線.解法二：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，直線的方程為.則，，，所以，即，，三點(diǎn)共線.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程消去，得.由題意，得恒成立，故，.直線的方程為.令，得.又因?yàn)椋?，則直線，的斜率分別為，，所以.上式中的分子所以.所以，，三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求方法解決相交弦問題，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.21．（1）見解析（2）【解析】

（1）分類討論的值，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)分別得出，，時(shí)，的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），.當(dāng)即時(shí)，，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的最小值為，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因?yàn)?，所以?所以，所以.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減所以的最小值為因?yàn)?，所以，所以，綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題，屬于中檔題.22．（1）；（2）117人；（3）分布列見解析，【解析】

（1）