第二章-自動控制原理-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2-2傳遞函數(shù)2-3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換2-4信號流圖及梅遜公式2-5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：1、建立被控對象的數(shù)學(xué)模型2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法l

微分方程l

傳遞函數(shù)l

方塊圖l

信號流圖定義：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：控制系統(tǒng)各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱之為控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的兩種方法：機理分析法通過對系統(tǒng)各部分運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運動方程。實驗辨識法根據(jù)實驗數(shù)據(jù)來建立數(shù)學(xué)模型，即人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，得到的數(shù)學(xué)模型稱為辨識模型。此方法稱為系統(tǒng)辨識§2.1系統(tǒng)動態(tài)微分方程模型用微分方程描述系統(tǒng)輸入輸出變量的動態(tài)特性是建立數(shù)學(xué)模型的一種基本方法。

用機理分析法建立方程的步驟：

1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量2）從輸入端入手，依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律列出方程3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。所謂標(biāo)準(zhǔn)方程包含三方面的內(nèi)容：①將與輸入量有關(guān)的各項放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項放在方程的左邊；②各導(dǎo)數(shù)項按降冪排列；③將方程的系數(shù)通過元件或系統(tǒng)的參數(shù)化成具有一定物理意義的系數(shù)。簡單電路系統(tǒng)（預(yù)備知識）數(shù)學(xué)模型方程的建立例1確定輸入(自變量)和輸出變量(因變量)。

列寫下圖所示RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。(2.1)(2.2)(2)根據(jù)基本定律，列寫原始方程（歐姆定律、基爾霍夫定律）。(3)消去中間變量i，得到最終的方程。(2.3)(2.4)[例2]圖所示為一具有質(zhì)量、彈簧、阻尼器的機械位移系統(tǒng)。試列寫質(zhì)量m在外力

F（t）作用下，位移x（t）的運動方程。原因：工程中大多數(shù)系統(tǒng)都是非線性的非線性微分方程式求解復(fù)雜線性系統(tǒng)理論和方法比較成熟條件：變量間關(guān)系在平衡點附近的小范圍內(nèi)是線性的，把非線性方程局部線性化§2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化方法：將非線性函數(shù)y＝f(x)在平衡點()附近展開成泰勒級數(shù)，即yx圖2-3非線性特性的線性化由于增量Δx=很小，展開式中增量的高次項可以忽略，則上式可近似寫成線性化方程：非線性特性的線性化，實質(zhì)是以過平衡點的切線代替平衡點附近的曲線。和y0x0△x△y△y△x例1已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性化方程。解.

在工作點(x0,y0)處展開泰勒級數(shù)取一次近似，且令

既有)](cos[)(0txExy=§2.3傳遞函數(shù)

用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀，但是一旦系統(tǒng)中某個參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計。為此提出傳遞函數(shù)的概念1.拉氏變換的定義

像原像2.常見函數(shù)的拉氏變換（1）階躍函數(shù)（2）指數(shù)函數(shù)單位階躍函數(shù)（3）正弦函數(shù)歐拉定律3.拉氏變換的幾個重要定理（1）線性性質(zhì)

（2）微分定理證明：零初條件下有：

（3）積分定理零初始條件下有：進一步有：

零初始條件下有：（4）終值定理（5）初值定理（6）位移（滯后）定理實際應(yīng)用中，拉普拉斯變換不是推算，而是查表?。?）定義

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。三要素線性定常系統(tǒng)零初始條件輸出與輸入的拉氏變換之比§2.3.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：G(s)

U(s)Y(s)（2）性質(zhì)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，是對微分方程在零初始條件下進行拉氏變換得到的傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關(guān)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

[例]

RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為當(dāng)初始條件為零時，拉氏變換為例：試證明下圖(a)、(b)所示的機、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型)。機械系統(tǒng)電氣系統(tǒng)

這些典型環(huán)節(jié)是：比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)?！?.3.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)（1）比例環(huán)節(jié)(P)特點：輸出量與輸入量為一種固定的比例關(guān)系拉氏變換得傳遞函數(shù)：實例：電位器，放大器urucKUr(s)Uc(s)00000R1R2uruc（2）一階慣性環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)為：K—比例系數(shù)T—時間常數(shù)（3）積分環(huán)節(jié)(I)特點：輸出量與輸入量的積分成正比積分環(huán)節(jié)實例：RCiuou（4）微分環(huán)節(jié)(D)1）理想微分環(huán)節(jié)特點：輸出量為輸入量的微分

2）實際微分環(huán)節(jié)

（5）二階振蕩環(huán)節(jié)：（6）延遲環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)為：式中——延遲時間特點：輸出信號比輸入信號遲后一定的時間§2.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

結(jié)構(gòu)圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向。在引入傳遞函數(shù)后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)在結(jié)構(gòu)圖的方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。

引入結(jié)構(gòu)圖原因◆求傳遞函數(shù)時，須消去中間變量◆無法反映系統(tǒng)中信息的傳遞過程

G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-方框：應(yīng)用函數(shù)方框描述信號在控制系統(tǒng)中流通過程

◆

系統(tǒng)每一環(huán)節(jié)用一個方框表示，里面寫上它的傳遞函數(shù)

◆各變量用它的拉氏變換式表示G1(s)H(s)Y(s)（2）比較點

±X1X2Y(比較器)G1(s)X1G2(s)X2±Y（3）引出點：

相同的信號送到不同的地方Y(jié)1X1Y22.4.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

（1）環(huán)節(jié)

G(s)X(s)Y(s)寫出組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)畫出個體方框圖

從比較點入手，按信號流向依次連接成各個方框圖，即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

繪制結(jié)構(gòu)圖的步驟例：畫出下列RC電路的方塊圖。

例：建立如圖所示的雙T網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖X(s)G1(s)G2(s)U(s)Y(s)G(s)U(s)Y(s)1.環(huán)節(jié)的串聯(lián)2.4.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化串聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)G1(s)U(s)Y1(s)G2(s)U(s)Y2(s)U(s)±Y(s)并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。3.環(huán)節(jié)的反饋連接G(s)E(s)H(s)B(s)U(s)Y(s)±X(s)Y(s)負(fù)反饋：

正反饋：

當(dāng)H(s)=1時，稱為單位反饋系統(tǒng)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

4.比較點和引出點的移動(1)引出點的移動G(S)G(S)UYYYUYG(S)1）前移G(S)YUYG(S)1/G(S)UYY2）后移在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

(2)比較點的移動1）前移G(S)1/G(S)UYQ±G(S)UYQ±2）后移YQUG(s)G(s)G(s)UYQ±±在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框(3)交換或合并比較點相鄰比較點之間可以隨意調(diào)換位置和合并

±±1U12U33U2Y±±±±YY1U13U22U32U31U13U2總結(jié)（1）不同性質(zhì)的點不可交換，相同性質(zhì)的點可以交換。UYY1Y2UYY1Y2YU2U1Y1YU2U1Y1（2）比較點、引出點需要跨越方塊時，需要做相應(yīng)變換，兩者交換規(guī)律正好相反。

后移→前移←比較點×引出點×÷÷（3）變換后，轉(zhuǎn)換為串并聯(lián)或反饋回路，利用公式計算。

Y(s)U(s)－G1G2G3H1H2－＋1324653討論：有3種變換方法方法1.相加點3前移，與相加點2交換除G1（s）,

方法2.分支點4后移，與分支點5交換除G3（s）,方法3.相加點2后移，與相加點3交換乘G1（s）,例：求U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)

方法1.相加點3前移，討論：有？種變換方法－與相加點2交換3除G1（s）,Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)

方法2.分支點4后移，與分支點5交換除G3（s）,1/G3Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653方法3.相加點2后移，與相加點3交換乘G1（s）,Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3G1H1H2－＋Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋13246532.4.3系統(tǒng)傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)（也稱反饋控制系統(tǒng)）的典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：-

圖中，，為輸入、輸出信號，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。

由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對和對的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量。（1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(閉環(huán)下的開環(huán)傳遞函數(shù)）N(s)=0時主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。（2）給定作用下的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：令N(s)=0，則有：誤差傳遞函數(shù)為：誤差信號與輸入信號之比-給定作用下誤差傳遞函數(shù)誤差（3）擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)令U(s)=0，則有：傳遞函數(shù)為：+擾動作用下誤差傳遞函數(shù)（4）系統(tǒng)的總輸出和總誤差根據(jù)線性疊加原理：輸出：誤差：§2.5信號流圖與梅遜公式●

信號流圖也是一種表示系統(tǒng)各變量間關(guān)系的一種圖解法●

畫圖更簡便●

梅遜增益公式----簡便、直接的求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5.1信號流圖信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點和支路組成◆

每一節(jié)點表示一個變量◆

變量間的關(guān)系用支路上的符號a（傳輸）表示，如x2=ax1◆

箭頭表示信號作用方向一系統(tǒng)方程組信流圖的基本術(shù)語1、源節(jié)點：只有輸出支路，沒有輸入支路的節(jié)點稱為源點，它對應(yīng)于系統(tǒng)的輸入信號，或稱為輸入節(jié)點。2、匯節(jié)點：只有輸入支路，沒有輸出支路的節(jié)點稱為阱點，它對應(yīng)于系統(tǒng)的輸出信號，或稱為輸出節(jié)點。3、混合節(jié)點：既有輸入支點也有輸出支點的節(jié)點稱為混合節(jié)點。（1）節(jié)點：表示變量的點x1~x5，分3種。

③該通道的各支路乘積稱為前向通道增益②且每一個節(jié)點只通過一次①起點為輸入節(jié)點，終點為輸出節(jié)點（2）前向通道

（3）回路

①起點