2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練54幾何概型文含解析北師大版

課時(shí)規(guī)范練54幾何概型基礎(chǔ)鞏固組1.(2024廣東佛山綜合實(shí)力測(cè)試)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風(fēng)格獨(dú)特,深受人們寵愛.下圖即是一副窗花,是把一個(gè)邊長(zhǎng)為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長(zhǎng)為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個(gè)角處再剪出邊長(zhǎng)全為1的一些小正方形.若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是()A.37 B.C.57 D.2.(2024四川達(dá)州高三診斷)已知α∈[0,π],則滿意sinα<cosα的概率為()A.14 B.C.12 D.3.(2024寧夏吳忠中學(xué)高三月考)在正方體內(nèi)隨機(jī)放入n個(gè)點(diǎn),恰有m個(gè)點(diǎn)落入正方體的內(nèi)切球內(nèi),則π的近似值為()A.2mnC.6mn4.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖,若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A.1213 B.C.2129 D.5.(2024河南平頂山高三線上聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中把三角形的田稱為“圭田”,把直角梯形的田稱為“邪田”,稱底是“廣”,高是“正從”,“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田,廣分別為八步和十二步,正從為八步,其內(nèi)部有塊廣為八步,正從為五步的圭田,若將100棵果樹勻稱地種植在邪田,一年后,每棵果樹都有60kg果子收成,則此圭田中的收成約為()A.25kg B.50kgC.1500kg D.2000kg6.(2024全國(guó)1,理10)下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p37.已知圓柱OO'的底面半徑為1,高為6,若區(qū)域M表示圓柱OO'及其內(nèi)部,區(qū)域N表示圓柱OO'內(nèi)到下底面的距離大于1的點(diǎn)組成的集合,若向區(qū)域M中隨機(jī)投一點(diǎn),則所投的點(diǎn)落入?yún)^(qū)域N中的概率為()A.13 B.C.56 D.8.在區(qū)間[-π,π]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,記向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),則OA·OB≥4π2的概率為(A.1-π8 B.1-C.1-π2 D.1-9.(2024陜西漢中高三檢測(cè))設(shè)D是半徑為R的圓周上肯定點(diǎn),在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)C,連接CD得一弦,若A表示事務(wù)“所得弦的長(zhǎng)大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”,則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)=.

10.割補(bǔ)法在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補(bǔ)”,劉徽稱之為“以盈補(bǔ)虛”,即以多余補(bǔ)不足,是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn).下圖揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法,在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為.

綜合提升組11.已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=x+b.當(dāng)實(shí)數(shù)b∈[0,6]時(shí),圓C上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1的概率為()A.23 B.C.12 D.12.(2024河北衡水高三質(zhì)檢)圓周率是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值,一般用希臘字母π表示.我們也可以通過如下隨機(jī)模擬試驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值:在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)取2m個(gè)數(shù),構(gòu)成m個(gè)數(shù)對(duì)(x,y),設(shè)x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)有n對(duì),則通過隨機(jī)模擬的方法得到的π的近似值為()A.m+2nC.2m+413.已知O,A,B三地在同一水平面內(nèi),A地在O地正東方向2km處,B地在O地正北方向2km處,某測(cè)繪隊(duì)員在A,B之間的直線馬路上任選一點(diǎn)C作為測(cè)繪點(diǎn),用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪,O地為一磁場(chǎng),距離其不超過3km的范圍內(nèi)會(huì)對(duì)測(cè)繪儀等電子儀器形成干擾,使測(cè)量結(jié)果不精確,則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是()A.1-22 B.C.1-32 D.14.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則在該幾何體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)到線段AB的中點(diǎn)的距離不大于1的概率是.

15.記[m]表示不超過m的最大整數(shù).若在x∈18,12上隨機(jī)取1個(gè)實(shí)數(shù),則使得[log2x創(chuàng)新應(yīng)用組16.(2024山西試驗(yàn)中學(xué)高三月考)我們可以用隨機(jī)數(shù)法估計(jì)π的值,下面算法框圖表示其基本步驟(函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù),它能隨機(jī)產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)).若輸出的結(jié)果為521,則由此可估計(jì)π的近似值為()A.3.119 B.3.126C.3.132 D.3.15117.已知實(shí)數(shù)a,b滿意0<a<1,-1<b<1,則函數(shù)y=13ax3+ax2+b有三個(gè)零點(diǎn)的概率為參考答案課時(shí)規(guī)范練54幾何概型1.D窗花的面積為122-4×1=140,其中小正方形的面積為5×4×12=20,所以所求概率140-2.A∵α∈[0,π],sinα<cosα,∴0<α<π4,∴滿意sinα<cosα的概率為P=π3.C設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切球的半徑為1,正方體與其內(nèi)切球的體積分別為8,4π3,恰有m個(gè)點(diǎn)落入正方體的內(nèi)切球的概率為mn,依據(jù)幾何概型體積型概率得mn=44.C由題意知BC=2,B'C=5,設(shè)AC=x,則AB=AB'=x+2,在Rt△ACB'中,列勾股方程得52+x2=(x+2)2,解得x=214,所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為P=xx+2=5.C12×8×512×6.A設(shè)AB=b,AC=a,BC=c,則a2+b2=c2.所以以BC為直徑的圓面積為πc22,以AB為直徑的圓面積為πb22,以AC為直徑的圓面積為πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24-12×πc24-12ab=7.C由題意,易知圓柱OO'的體積為V=π×12×6=6π.因?yàn)閰^(qū)域N表示圓柱OO'內(nèi)到下底面的距離大于1的點(diǎn)組成的集合,所以區(qū)域N表示圓柱OO'內(nèi)的一個(gè)小圓柱(與圓柱OO'共上底面),且小圓柱的體積為V1=π×12×(6-1)=5π.依據(jù)幾何概型,得所投入的點(diǎn)落在區(qū)域N中的概率為P=V1V=58.B在區(qū)間[-π,π]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,則點(diǎn)(a,b)在以2π為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi),因?yàn)镺A=(a,4b),OB=(4a,b),則OA·OB=4a2+4b2.因?yàn)镺A·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,點(diǎn)(a,b)在以原點(diǎn)為圓心,以π為半徑的圓外,且在以2π為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi),所以O(shè)A·OB≥4π2的概率為P=4π29.13如圖,△DPQ為圓內(nèi)接正三角形,當(dāng)點(diǎn)C位于劣弧PQ上時(shí),弦DC>PD,所以由幾何概型的概率得P(A)=1310.14由題得S△ABC=12ah,S矩形=a∴S△ABC=S矩形.所以“盈”的區(qū)域的面積等于“虛”的區(qū)域的面積.而“虛”的區(qū)域占矩形區(qū)域的面積的四分之一,所以該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一,故該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為1411.A圓C的圓心坐標(biāo)為O(0,0),半徑為2,直線l為:x-y+b=0.當(dāng)b2=3,即b=32時(shí),圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l距離為1,當(dāng)b2=1,即b=2時(shí),圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l距離為1.所以當(dāng)b∈(2,32)時(shí),圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1,故概率為32-12.C依題有0<x<1,0<y<1,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成以1為邊長(zhǎng)的正方形,其面積為1.因?yàn)閤,y能與其面積為π4-12,由幾何概型概率計(jì)算公式得nm=13.A由題意,△AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地為一磁場(chǎng),距離其不超過3km的范圍為1個(gè)圓,與AB相交于C,D兩點(diǎn),作OE⊥AB,交AB于點(diǎn)E,則OE=2,所以CD=2,所以該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是1-CDAB=1-222=1-2214.13依據(jù)幾何體的三視圖可知,該幾何體是底面半徑為1,高為2的圓柱,其體積為2π,線段AB是底面的直徑,線段AB的中點(diǎn)是底面圓的圓心,幾何體內(nèi)到線段AB的中點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成了以底面圓心為球心,半徑為1的半球,其體積為12×43πr3×13=215.23若x∈1則log2x∈(-3,-1).要使得[log2x]為偶數(shù),則log2x∈[-2,-1).所以x∈14故所求概率P=1216.B模擬執(zhí)行該算法框圖,可知該框圖是計(jì)算滿意x,y,z∈(0,1)的1000組(x,y,z)數(shù)據(jù)中,滿意x,y,z∈(0,1)且x2+y2+z2<1的組數(shù),依據(jù)幾何概型概率公式可得x,y,z∈(0,1)且x2+y2+z2<1發(fā)生的概率為43π×13×18=π6,當(dāng)輸出結(jié)果為521時(shí),i=1001,m=521,x2+y2+z2<1發(fā)生的概率為P=5211000,∴5211000=π6,即π=317.516對(duì)y=13ax